人教A版2019必修第二册 同步备课试题 6-3-2 -3平面向量的正交分解及平面向量加、减运算的坐标表示（含解析）

6.3.2 -3平面向量的正交分解及平面向量加、减运算的坐标表示
（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·高一课前预习）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·甘肃兰州·高一统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·北京平谷·高一统考期末）已知向量，， 且，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高一假期作业）设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2022·高一课时练习）已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．点的坐标是
B．点的坐标是
C．当是原点时，点的坐标是
D．当是原点时，点的坐标是
8．（2021秋·山东·高一阶段练习）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2021·高一课时练习）已知数轴上的点，，，，则___________.
10．（2023·高一课时练习）设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为______．
11．（2023·高一课时练习）已知三个力，，，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力______．
12．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知在中，，，，为中点，则的坐标为 __．
四、解答题
13．（2022·高一课前预习）如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标
15．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）（1）已知向量，，，求；
（2）化简：．
16．（2022秋·湖南邵阳·高一统考期中）设向量.
(1)求；
(2)若，，求的值；
17．（2022秋·广东韶关·高一校考阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B C D的坐标分别是（-1，3） （3，4） （2，2），
(1)求向量BC；
(2)求顶点A的坐标.
18．（2021·高一课时练习）已知梯形的顶点坐标为、、，且，，求点的坐标．
19．（2022·高一课时练习）求线段AB中点的坐标：
(1)A（3，1），B（－2，3）；
(2)A（－6，－3），B（4，－3）．
20．（2022秋·山东东营·高一统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
21．（2022秋·山东东营·高一统考期中）已知点，，，，且点满足，其中，
(1)若，点P在直线上，求实数；
(2)若，求点P的坐标x，y满足的关系式.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022秋·河南许昌·高一统考期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·江苏常州·高一统考期末）设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（ ）.
A． B． C．3 D．6
3．（2022秋·四川德阳·高一四川省罗江中学校校考阶段练习）已知、满足，点C在内，且，设.若，则( )
A． B．4 C． D．
4．（2022秋·江苏镇江·高一统考期末）某人向东偏北60°方向走50步，记为向量；向北偏西60°方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·高一单元测试）如图所示的各个向量中，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．相等向量的坐标相同，与向量的起点、终点的位置无关
B．当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标
C．两向量和的坐标与两向量的顺序无关
D．两向量差的坐标与两向量的顺序无关
三、填空题
7．（2022秋·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，当绕原点逆时针旋转得到，则的坐标为___________.
8．（2022秋·四川内江·高一统考期末）已知点，，是函数，图象上的动点，若，则的最大值为______.
四、解答题
9．（2022秋·江苏淮安·高一金湖中学校联考阶段练习）已知向量，满足，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若设与的夹角为，求的大小．
10．（2022秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）某公园有三个警卫室A B C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.
(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x y的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？
11．（2022·高一课时练习）已知点及．
(1)当t为何值时，点P在x轴上 点P在y轴上 点P在第二象限
(2)O，A，B，P四点能否构成平行四边形 若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
12．（2022秋·广东中山·高一统考期末）数学探究：用向量法研究三角形的性质，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义，向量运算与几何图形性质的这种内在联系，是我们自然地想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便，简捷呢？请求解下列问题：
(1)用向量方法证明：三条中线交于一点（称为三角形的重心）
(2)设三顶点的坐标分别为求重心的坐标.
6.3.2 -3平面向量的正交分解及平面向量加、减运算的坐标表示
（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·高一课前预习）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】判断与的正负，从而可得点A所在的象限.
【详解】因为分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，，，所以可知点A位于第四象限.
故选：D
2．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解作答.
【详解】因为点，所以.
故选：B
3．（2022秋·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设平面直角坐标系为O，则.
【详解】设平面直角坐标系为O，由题得，.
则.
故选：C
4．（2022秋·甘肃兰州·高一统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两点的坐标直接可得向量.
【详解】由，，
得，
故选：C.
5．（2022秋·北京平谷·高一统考期末）已知向量，， 且，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，， 且，
所以，所以，解得.
故选：A
6．（2022·全国·高一假期作业）设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，结合题意求解即可.
【详解】由题可知：，
即.
故选：D.
二、多选题
7．（2022·高一课时练习）已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．点的坐标是
B．点的坐标是
C．当是原点时，点的坐标是
D．当是原点时，点的坐标是
【答案】ABC
【分析】根据向量的概念，以及向量的坐标表示，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，向量与终点、始点的坐标差有关，
所以点的坐标不一定是，故A错误；
同理点的坐标不一定是，故B错误；
当是原点时，点的坐标是，故C错误；
当是原点时，点的坐标是，故D正确.
故选：ABC
8．（2021秋·山东·高一阶段练习）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据平行四边形的性质，分情况利用向量的相等，建立方程，可得答案.
【详解】由题意，设，，，第四个顶点，
当，时，或，
由，，，
则或，解得或；
当，时，或，
由，，，
则或，解得或；
故点的坐标为，，.
故选：ABC.
三、填空题
9．（2021·高一课时练习）已知数轴上的点，，，，则___________.
【答案】
【分析】由数轴上点的坐标以及，分别计算向量和向量的模，再由点的位置关系求出向量的模.
【详解】解：已知点，，则，又，所以在的两侧，且，所以.
故答案为：.
10．（2023·高一课时练习）设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为______．
【答案】
【分析】分别求出，的表达式，利用定义求出，的夹角即可.
【详解】①，
②,
得，
得，
，
11．（2023·高一课时练习）已知三个力，，，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力______．
【答案】
【分析】根据及向量的加法的坐标运算即可求解.
【详解】由题意可得，且，，，
所以
即，解得，即
故答案为：
12．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知在中，，，，为中点，则的坐标为 __．
【答案】
【分析】先求，，再用，表示，根据向量的坐标运算求出答案即可．
【详解】，，，
，.
因为为中点，
所以
故答案为：．
四、解答题
13．（2022·高一课前预习）如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标
【答案】答案见解析
【分析】根据图中数据可得各向量的坐标.
【详解】， ，
， .
14．（2021·全国·高一专题练习）已知点，，求点的坐标．
【答案】
【分析】根据向量的坐标表示即可求出结果.
【详解】设，因为，
所以，所以，解得，
所以的坐标为.
15．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）（1）已知向量，，，求；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据向量的坐标运算计算即可；
（2）根据向量的线性运算计算即可．
【详解】（1），，，
,,
,,,,；
（2）
．
16．（2022秋·湖南邵阳·高一统考期中）设向量.
(1)求；
(2)若，，求的值；
【答案】(1)1
(2)2
【分析】（1）先求得，然后求得.
（2）根据列方程组，化简求得，进而求得.
(1)
，；
(2)
，
所以，解得：，所以.
17．（2022秋·广东韶关·高一校考阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B C D的坐标分别是（-1，3） （3，4） （2，2），
(1)求向量BC；
(2)求顶点A的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点B C的坐标即可求解的坐标；
（2）设顶点A的坐标为，由四边形ABCD为平行四边形，有，从而即可求解.
(1)
解：因为点B C的坐标分别是（-1，3） （3，4），
所以；
(2)
解：设顶点A的坐标为，
因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是（2，2），
所以，即，
所以，解得，
所以顶点A的坐标为.
18．（2021·高一课时练习）已知梯形的顶点坐标为、、，且，，求点的坐标．
【答案】
【分析】分析可得，利用平面向量的坐标运算可求得点的坐标.
【详解】设点，由题意可得，即，所以，解得，
因此，点的坐标为.
19．（2022·高一课时练习）求线段AB中点的坐标：
(1)A（3，1），B（－2，3）；
(2)A（－6，－3），B（4，－3）．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）运用线段中点坐标公式进行求解即可；
（2）运用线段中点坐标公式进行求解即可
(1)
因为A（3，1），B（－2，3），
所以线段AB中点的横坐标为：，纵坐标为：，即线段AB中点的坐标为；
(2)
因为A（－6，－3），B（4，－3），
所以线段AB中点的横坐标为：，纵坐标为：，即线段AB中点的坐标为.
20．（2022秋·山东东营·高一统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据平行四边形的性质以及平面向量的线性运算法则.
(2) 以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，满足题意,可求出各点的坐标.
【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
21．（2022秋·山东东营·高一统考期中）已知点，，，，且点满足，其中，
(1)若，点P在直线上，求实数；
(2)若，求点P的坐标x，y满足的关系式.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据向量的坐标运算化简条件求出点的坐标，结合点在直线上，列方程求；(2)根据向量坐标运算化简条件，消去，可得，满足的关系式.
【详解】（1）由题意可知：，，，
因为，
故，即，化简可得，
因为点P在直线上，故，解得：
（2）由，得：，
代入，得：，消去，得：
【能力提升】
一、单选题
1．（2022秋·河南许昌·高一统考期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用新定义，根据两个向量坐标形式的运算法则，即可求解
【详解】由题意可得，
把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，即把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，
则
，
设，则，
解得，
所以
故选：D
2．（2022秋·江苏常州·高一统考期末）设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（ ）.
A． B． C．3 D．6
【答案】A
【分析】表示出在上投影向量，结合已知条件即可求得答案.
【详解】由题意可知：在上投影向量为 ，
故在上投影向量的模为，
故选：A
3．（2022秋·四川德阳·高一四川省罗江中学校校考阶段练习）已知、满足，点C在内，且，设.若，则( )
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】由知，根据题意，作出图像，根据几何关系即可求解.
【详解】根据题意可作出如图所示的几何图形，
∵，∴.
∵，故可分别作向量在方向上的分向量，，
其中.
∵点在内，且，∴，即.
又，∴，∴.
故选：C.
4．（2022秋·江苏镇江·高一统考期末）某人向东偏北60°方向走50步，记为向量；向北偏西60°方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】如图，由步为单位长度，建立平面直角坐标系，
则，，，
由可得，解得，
所以，
故选：A
二、多选题
5．（2022·高一单元测试）如图所示的各个向量中，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】建立空间直角坐标系，可得向量,由此以向量为基底分别表示，，由向量的坐标运算判断选项A,B,C,D,可得正确答案.
【详解】如图，建立空间直角坐标系：则 ，
故 ，A选项正确，
，B选项错误，
，C选项正确，
，D选项错误，
故选：BD.
6．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．相等向量的坐标相同，与向量的起点、终点的位置无关
B．当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标
C．两向量和的坐标与两向量的顺序无关
D．两向量差的坐标与两向量的顺序无关
【答案】ABC
【分析】根据向量的坐标表示及向量的线性运算法则即可得到答案.
【详解】对于A、B：由向量坐标表示的定义，即可判断出A、B正确；
对于C：因为加法满足交换律，所以两向量和的坐标与两向量的顺序无关.故C正确；
对于D：因为减法不满足交换律，所以两向量差的坐标与两向量的顺序有关.故D错误.
故选：ABC
三、填空题
7．（2022秋·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，当绕原点逆时针旋转得到，则的坐标为___________.
【答案】
【分析】由三角函数的定义，结合两角和与差的正弦、余弦公式求解
【详解】设点在角的终边上，可得，
则点在角的终边上，坐标为
故答案为：
8．（2022秋·四川内江·高一统考期末）已知点，，是函数，图象上的动点，若，则的最大值为______.
【答案】##
【分析】由题可得，然后利用向量的坐标关系可得，然后利用函数单调性即得.
【详解】由题可知，又，，，
∴，
∴，即
∴，
当时，函数与为增函数，
所以在为增函数
∴的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
9．（2022秋·江苏淮安·高一金湖中学校联考阶段练习）已知向量，满足，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若设与的夹角为，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直数量积为，得出，从而确定向量，不共线，可作为一组基底，再根据共线定理得出实数的值；
（2）根据两向量的夹角公式的需要，首先求出两向量的数量积，再求出的模长，最后代入夹角公式即可.
（1）
由可得：，
即，又由，得，，
代入解得：，所以，是不共线的向量.
由题可设：，因为，是不共线的向量，
所以且，解得．
（2）
由于，
，
由与的夹角为：，
由于，所以．
10．（2022秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）某公园有三个警卫室A B C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.
(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x y的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？
【答案】(1)
(2)两人约有小时不能通话
【分析】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x y的值；（2）表示出点的坐标之后可以把坐标表示，立出不等式解不等式即可.
【详解】（1）因为，所以，
因此建立如图所示的平面直角坐标系，
，
设保安甲从C出发小时后达点D，所以有，
设，由，
即，当时，，
由
；
（2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为，
于是有，
因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，
所以有，所以
解之：或，又
所以两人约有小时不能通话.
11．（2022·高一课时练习）已知点及．
(1)当t为何值时，点P在x轴上 点P在y轴上 点P在第二象限
(2)O，A，B，P四点能否构成平行四边形 若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据，求出，再根据点的位置可求出结果；
（2）根据与共线可得结论.
（1）
解：．
①若点P在x轴上，则，所以；
②若点P在y轴上，则，所以；
③若点Р在第二象限，则，所以．
（2）
解：因为，即，所以，故与共线，
即三点共线，故O，A，B，P四点不能构成平行四边形．
12．（2022秋·广东中山·高一统考期末）数学探究：用向量法研究三角形的性质，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义，向量运算与几何图形性质的这种内在联系，是我们自然地想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便，简捷呢？请求解下列问题：
(1)用向量方法证明：三条中线交于一点（称为三角形的重心）
(2)设三顶点的坐标分别为求重心的坐标.
【答案】(1)证明见解析；
(2)重心的坐标为.
【分析】（1）令、交于点，连接，，利用向量共线证明点共线即可作答.
（2）利用向量的坐标运算，结合（1）的结论计算作答.
(1)
令交于点，连接，如图，点分别为边的中点，
则，，有，
，而D是边BC中点，，
于是得，即三点共线，
所以三条中线交于一点.
(2)
由（1）知，，即，
设点，而，则有，，
，即，
所以重心的坐标为.