内江名校高2025届高一下学期开学考试数学试题
一、单选题(共40分)
1.已知集合,那么( )
A. B. C. D.
2.命题“,”的否定是( )
A., B., C., D.,
3.若,则下列不等式中正确的是( )
A.a<b B. C. D.
4.已知角的终边经过点,,则( )
A. B. C. D.
5.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上,才有疗效;而低于500mg,病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药2500mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,那么距下次注射这种药物最多不能超过( )小时.(精确到0.1h,参考数据:,,)
A.2.2 B.5.8 C.7.0 D.8.2
8.定义在上的奇函数在上是减函数,若,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题(共20分)
9.若“x<1”是“x<m”的必要不充分条件,则实数m的值可以是( )
A.-3 B.-2 C.-1 D.2
10.若实数m,n>0,满足2m+n=1.以下选项中正确的有( )
A.mn的最大值为 B.的最小值为
C.的最小值为 D.的最小值为
11.已知函数,则下列结论正确的是( )
A. B.函数在上单调递增
C.不等式的解集为 D.当时,方程有三个不等实根
12.下列命题是真命题的是( )
A.若函数的定义域为,则函数的定义域为
B.函数(其中a>0且)的图象过定点
C.函数的单调递减区间为
D.已知在上是增函数,则实数a的取值范围是
三、填空题(共20分)
13.已知扇形的弧长为,圆心角为,则该扇形的面积为______.
14.已知函数,则______.
15.已知是幂函数,且在上是减函数,则实数m的值为______.
16.已知函数,记函数(其中0<b<1)的4个零点分别为,,,,且,则的值为______.
四、解答题(共70分)
17.已知集合,,.
(1)求,;
(2)若,求m的取值范围.
18.已知是第二象限角,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
19.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备,经过市场分析,全年投入固定成本2500万元,每生产x百辆新能源汽车需另投入成本万元,且,由市场调研知,每一百辆车的售价为500万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(注:利润=销售额-成本)
(1)求2023年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式.
(2)当2023年的年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
20.在①不等式的解集为,②当x=1时,取得最大值4,③,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.
问题:已知函数,且______.
(1)求的解析式;
(2)若在上的值域为,求m+n的值.
21.已知函数(a>0且)的图象经过点和.
(1)求函数的解析式;
(2)令,求的最小值及取最小值时x的值.
22.已知函数定义域为,函数.
(1)解不等式;
(2)若存在两个不等的实数a,b使得,且,求实数m的取值范围.
内江名校高2025届高一下学期开学考试数学试题
参考答案
1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.A 7.C 8.A
9.ABC 10.AD
11.ACD
【详解】因为,所以,A项正确;
作出函数图象如图,
函数在和上单调递增,B项错误;
令,由图形得,C项正确;
结合函数图象,直线与图象有三个交点时,,D项正确.
故选:ACD.
12.BD
【详解】对于A,的定义域为,即,,
的定义域为,A错误;
对于B,,图象过定点,B正确;
对于C,令,由知:,
在上单调递增,在上单调递减,
又在上单调递增,的单调递减区间为,C错误;
对于D,在上是增函数,,解得:,
即实数的取值范围为,D正确.故选:BD.
13. 14.0 15.2
16.8
【详解】
函数的零点可以看做与图象交点的横坐标,和的图象如图所示,
根据二次函数的对称性得到,
由图可知,,,则,所以.故答案为:8.
17.(1) (2)
【详解】(1),
所以.
(2)因为,所以,
若,则,解得:,
若,则,解得:,
所以m的取值范围为:.
18.(1); (2).
【详解】(1)由,
可得,即,
解得或.
因为是第二象限角,所以.
(2)
19.(1);
(2)年产量为100百辆时,该企业所获利润最大,最大利润为1800万元.
【详解】(1)当时,
;
当时,,
所以;
(2)当时,,
所以;
当时,,
当且仅当,即时等号成立.
故,
所以当2023年的年产量为100百辆时,该企业所获利润最大,最大利润为1800万元.
20.(1) (2)5
【详解】(1)若选①:由函数,且不等式的解集为,
即是方程两个实数根,且,
可得,解得,
所以;
若选②:由题意可得,解得,
故;
若选③:因为,所以图象的对称轴方程为,
则,即,
因为,所以,
故.
(2)因为在上的值域为,所以,即,
因为图象的对称轴方程为,所以在上单调递减,
则,
解得,即.
21.(1)
(2)的最小值为,且取最小值时x的值为.
【详解】(1)依题意可得,解得,
所以.
(2)由(1)知,,
所以,
因为,所以,当且仅当时,等号成立,
又,所以,此时.
所以的最小值为,且取最小值时x的值为.
22.(1) (2)
【详解】(1)函数定义域为,关于原点对称,
,所以易知,在上单调递增,
因为,是奇函数,
由可得,
所以,解得:.
故不等式的解集为:.
(2)由可得,
所以,不妨设,则,
因为,令,则,
所以,
,所以,
令,
因为,所以,
所以,
所以,所以
所以实数m的取值范围为:.