17.2勾股定理的逆定理及应用 培优天天练（含答案）
文档属性
| 名称 | 17.2勾股定理的逆定理及应用 培优天天练（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 257.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-27 07:40:22 | ||
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文档简介
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17.2勾股定理的逆定理及应用 培优天天练
班级：______姓名：_______ 时间：40分钟
1、 选择题
1. 下列说法正确的是( )
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题
2. 【2023 西安交大附中模拟】如图，每个小正方形的边长为1，则网格中的△ABC是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
*4。【中考·绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题
5.【教材P33练习T2变式】已知下列命题：
①若a＞b，则a2＞b2；
②若a＞1，则(a－1)0＝1；
③两个全等三角形的面积相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是________
6. 【2021 玉林】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20 n mile，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿__________方向航行．
(第6题) (第7题)
7. 如图，已知在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且AF:FB＝3:1.
EF与DE的位置关系为______
*8. 【2022 黄冈】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是__________(结果用含m的式子表示)．
三．解答题
9. 【中考·呼和浩特】如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
(2)求证：△ABC的内角和等于180°；
10.【中考·河北】已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B>0.
尝试 化简整式A.
发现 A＝B2，求整式B.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B的值．
直角三角形三边 n2－1 2n B
勾股数组Ⅰ / 8
勾股数组Ⅱ 35 /
11. 某中学有一块四边形空地ABCD，如图所示．为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m,
BC＝24 m.
(1)求出空地ABCD的面积；
(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，
求∠BPC的度数．
*12.【探究题】(1)【操作发现】
如图①，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝________.
(2)【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝
，PC＝1.求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
(3)【灵活运用】
如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝
，BP＝，PC＝1.求∠BPC的度数．
答案
1.B 2.A 3.A 4.B
5.0 6. 北偏东50° 7. EF⊥DE 8. m2＋1
9.（1）解：∠A＋∠B<∠C.
（2）证明：如图，过点B作MN∥AC，
则∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C.
∵∠MBA＋∠ABC＋∠NBC＝180°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
即△ABC的内角和等于180°.
10. 解：尝试 A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2
＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2.
发现 ∵A＝B2，B>0，
∴B＝n2＋1.
联想 17；37
11.(1). 解：连接AC.在Rt△ACD中，AC＝＝
＝10(m)．在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，
而102＋242＝262，即AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ACB－S△ACD
＝AC·BC－AD·CD＝×10×24－×8×6＝96(m2)．
答：空地ABCD的面积是96 m2.
(2) 解：96×200＝19 200(元)．
答：共需投入19 200元．
12.（1）. 45°
(2) 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图②，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A，连接PP′，则AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝ ，∠PBP′＝60°，
∠AP′B＝∠BPC，∴△BPP′是等边三角形．
∴PP′＝BP＝ ，∠BP′P＝60°.
又∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2＋PP′2＝AP2.
∴△PP′A是直角三角形，且∠AP′P＝90°.
∴∠BPC＝∠AP′B＝90°＋60°＝150°.
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
则∠MP′B＝180°－150°＝30°，
∴BM＝BP′＝.
在Rt△BP′M中，由勾股定理得P′M＝，∴AM＝1＋＝.
在Rt△ABM中，由勾股定理得AB＝＝.
(3). 解：如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，∴∠CDP＝45°.易得△CPB≌△CDA，
∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝1.
∴AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋CP2)＝9.
∵AP2＝9，∴AD2＋DP2＝AP2.
∴∠ADP＝90°.∴∠ADC＝135°.∴∠BPC＝135°.
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17.2勾股定理的逆定理及应用 培优天天练
班级：______姓名：_______ 时间：40分钟
1、 选择题
1. 下列说法正确的是( )
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题
2. 【2023 西安交大附中模拟】如图，每个小正方形的边长为1，则网格中的△ABC是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
*4。【中考·绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题
5.【教材P33练习T2变式】已知下列命题：
①若a＞b，则a2＞b2；
②若a＞1，则(a－1)0＝1；
③两个全等三角形的面积相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是________
6. 【2021 玉林】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20 n mile，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿__________方向航行．
(第6题) (第7题)
7. 如图，已知在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且AF:FB＝3:1.
EF与DE的位置关系为______
*8. 【2022 黄冈】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是__________(结果用含m的式子表示)．
三．解答题
9. 【中考·呼和浩特】如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
(2)求证：△ABC的内角和等于180°；
10.【中考·河北】已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B>0.
尝试 化简整式A.
发现 A＝B2，求整式B.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B的值．
直角三角形三边 n2－1 2n B
勾股数组Ⅰ / 8
勾股数组Ⅱ 35 /
11. 某中学有一块四边形空地ABCD，如图所示．为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m,
BC＝24 m.
(1)求出空地ABCD的面积；
(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，
求∠BPC的度数．
*12.【探究题】(1)【操作发现】
如图①，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝________.
(2)【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝
，PC＝1.求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
(3)【灵活运用】
如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝
，BP＝，PC＝1.求∠BPC的度数．
答案
1.B 2.A 3.A 4.B
5.0 6. 北偏东50° 7. EF⊥DE 8. m2＋1
9.（1）解：∠A＋∠B<∠C.
（2）证明：如图，过点B作MN∥AC，
则∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C.
∵∠MBA＋∠ABC＋∠NBC＝180°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
即△ABC的内角和等于180°.
10. 解：尝试 A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2
＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2.
发现 ∵A＝B2，B>0，
∴B＝n2＋1.
联想 17；37
11.(1). 解：连接AC.在Rt△ACD中，AC＝＝
＝10(m)．在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，
而102＋242＝262，即AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ACB－S△ACD
＝AC·BC－AD·CD＝×10×24－×8×6＝96(m2)．
答：空地ABCD的面积是96 m2.
(2) 解：96×200＝19 200(元)．
答：共需投入19 200元．
12.（1）. 45°
(2) 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图②，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A，连接PP′，则AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝ ，∠PBP′＝60°，
∠AP′B＝∠BPC，∴△BPP′是等边三角形．
∴PP′＝BP＝ ，∠BP′P＝60°.
又∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2＋PP′2＝AP2.
∴△PP′A是直角三角形，且∠AP′P＝90°.
∴∠BPC＝∠AP′B＝90°＋60°＝150°.
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
则∠MP′B＝180°－150°＝30°，
∴BM＝BP′＝.
在Rt△BP′M中，由勾股定理得P′M＝，∴AM＝1＋＝.
在Rt△ABM中，由勾股定理得AB＝＝.
(3). 解：如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，∴∠CDP＝45°.易得△CPB≌△CDA，
∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝1.
∴AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋CP2)＝9.
∵AP2＝9，∴AD2＋DP2＝AP2.
∴∠ADP＝90°.∴∠ADC＝135°.∴∠BPC＝135°.
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