5.3 三角函数的诱导公式 课件（共35张ppt）

(共35张PPT)
5.3三角函数诱导公式
由三角函数定义可得(诱导公式一)
终边相同的角的三角函数的值相等.
注意：(1)利用公式一，可以把任意角的三角函数值转换为 0°到360°角的三角函数值。
(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现。
一、复习回顾
x
y
O
1
-1
30
150
-30
x
y
O
1
-1
210
30
M1
P1
P2
M2
sin1500＝ ;sin(－300)= ;sin2100=___
sin30 = ；
二、基础知识讲解
150
-30
x
y
O
1
-1
210
30
M1
P1
P2
M2
210o =180o+30o
150o =180o-30o
x
y
O
1
-1
30
思考：以上几个角的三角函数值都与300的三角函数值什么关系 这些角的终边与300角的终边又有何关系
二、基础知识讲解
p＋a
p-a
x
y
O
1
-1
a
关于y轴对称
-a
x
y
O
1
-1
a
关于x轴对称
思考1：分别与角a的终边关于原点、y轴、x轴对称的角如何用角a 进行表示？
它们的三角函数值之间有什么关系？
x
y
O
1
-1
a
关于原点对称
二、基础知识讲解
x
y
O
1
-1
p+a
a
P
(x,y)
P’
(-x,-y)
问题1：角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，
则sinα= ？ cosα= ？ tanα= ？
y
x
问题2： 设π＋α交单位圆于P′，则P′坐标是什么？
公式二：
α与π＋α的终边关于原点对称
推导π＋α的诱导公式：
y
O
1
-1
a
-a
公式三：
α与－α关于x轴对称
sinα=y cosα=x tanα=
sin(-α)= cos(-α)= tan(-α)=
-y
x
推导-α的诱导公式：
x
P(x,y)
x
y
O
1
-1
a
π-a
P(x,y)
公式四：
α 与π-α关于y轴对称
sin(π-α)= cos(π-α)= tan(π-α)=
y
-x
sinα=y cosα=x tanα=
P′(-x,y)
推导 π –α 的诱导公式：
公式二：
公式三：
公式四：
公式一：
三角函数的诱导公式
（α 可以是任意角）
二、基础知识讲解
函数名不变，符号看象限！
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可以通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的角的象限来判断。
“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
即：
如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象限角，所以sin(π+a)=-sina
公式一~四可用下面的话来概括：
思考2：如果α为锐角，你能得到什么结论？
α
a
b
c
的终边
α的终边
O
x
y
思考3：若α为一个任意给定的角，那么 的终边与角 的终边有什么关系？
思考4：点P1（x，y）关于直线y=x对称的点P2的坐标是什么？
P1(x，y)
O
x
y
的终边
P2(y，x)
诱导公式五：
思考6： 与 有什么内在联系？
诱导公式六：
的正弦（余弦）函数值，分别等于 的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
简记为“函数名称变，符号看象限”.
诱导公式可统一为 的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？
奇变偶不变，符号看象限.
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指 中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.
诱导公式的推广与规律
－cos α
－sin α
－cos α
sin α
三、题型探究
利用诱导公式求值
[例1] 求下列各三角函数式的值.
(1)cos 210°;
探究点一
(4)cos(－1 920°).
解　（1）cos 210°＝cos(180°＋30°)
(4)cos(－1 920°).
解　cos(－1 920°)＝cos 1 920°
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°
反思感悟
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
探究点二
利用诱导公式化简和证明
√
探究点三
诱导公式在条件求值中的应用
方法总结
(2)定公式.依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
(3)得结论.根据选择的诱导公式,将已知和未知联系起来,使用整体思想求解.
利用诱导公式化简
核心素养之数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN
典例　化简下列各式：
引申探究
解　当n＝2k(k∈Z)时，
当n＝2k＋1(k∈Z)时，
素养
评析
(1)三角函数式的化简方法
①利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
②常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.
③注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
(2)理解运算对象、掌握运算法则、求得运算结果，通过运算促进数学思维发展，提升数学运算的数学核心素养.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.明确各诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将任意角转化为0～2π之间的角
公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角
公式三 将负角转化为正角
公式四 将0～π内的角转化为0～ 之间的角
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”.