2022-2023学年北师大版九年级数学下册2.2 二次函数的图象与性质 同步练习题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年北师大版九年级数学下册2.2 二次函数的图象与性质 同步练习题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 146.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-28 05:41:38 | ||
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文档简介
《2.2 二次函数的图象与性质》同步练习题
一．选择题（共31小题）
1．把二次函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+2 B．y＝﹣（x+1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 D．y＝﹣（x+1）2﹣2
2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
3．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：
①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．
其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：
①当x＞2时，M＝y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M＝2，则x＝1．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：
①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．
你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．关于二次函数y＝（x﹣3）2+5，下列说法中不正确的是（ ）
A．它的开口方向是向上
B．它的对称轴是直线x＝3
C．它的顶点坐标（3，5）
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
7．直角坐标平面上将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）
A．（0，0） B．（1，﹣2） C．（0，﹣1） D．（﹣2，1）
8．若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝1
C．当x＝1时，y的最大值为﹣4
D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．
10．把抛物线y＝2x2﹣3向右平移1个单位，再向上平移4个单位，则所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2+1 B．y＝2（x﹣1）2+1
C．y＝2（x+1）2﹣7 D．y＝2（x﹣1）2﹣7
11．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．你认为其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣1 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1
13．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝4和x1 x2＝3，那么二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴、且经过点（0，1）的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3
15．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x﹣1）2+2
16．关于二次函数y＝（x+2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．当x＝﹣2时，有最大值﹣3
C．抛物线的对称轴是直线x＝2
D．抛物线的顶点坐标是（2，﹣3）
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
18．把二次函数y＝﹣x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝2+3
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列四个结论：①b＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）
A．y＝2x2﹣2 B．y＝2x2+2 C．y＝2（x﹣2）2 D．y＝2（x+2）2
21．关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
23．把一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h＝20t﹣5t2，则小球从抛出到落地的运动时间为（ ）
A． B．4s C．2s D．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
（1）a+b+c＞0
（2）方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零
（3）y随x的增大而增大
（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限，
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
25．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．把抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2
27．下列图形中，阴影部分面积为1的是（ ）
A． B．
C． D．
28．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
29．抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣5的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝﹣5
30．抛物线y＝x2﹣6x+21的顶点坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣3） B．（﹣6，3） C．（6，3） D．（6，﹣3）
31．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
二．填空题（共4小题）
32．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列5个结论：①abc＞0；②a+2b+4c＝0；③2a﹣b＞0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b），其中正确的结论为 ．（注：只填写正确结论的序号）
33．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＞a+c；③2a﹣b＝0；④b2﹣4ac＜0．其中正确的结论有 个．
34．已知二次函数y＝x2+bx+3的图象的顶点的横坐标是1，则b＝ ．
35．已知某二次函数的图象具有下列特征：①开口方向向下，②以y轴为对称轴，③图象与x轴没有交点．试写出满足以上条件的一个二次函数的解析式（任写一个符合条件的即可） ．
《2.2 二次函数的图象与性质》同步练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共31小题）
1．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），先向右平移1个单位，再向上平移2个单位那么新抛物线的顶点为（1，2）．
可设新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k代入2得：y＝﹣（x﹣1）2+2．
故选：A．
2．【解答】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
3．【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在x的正半轴上，且是x＝1，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∴ab＜0，∴①正确；
∵根据图象可知：抛物线和x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，∴②正确；
把x＝1代入y＝ax2+bx+c得：y＝a+b+c＜0，∴③错误；
∵根据图象可知：当x＞1时，y随x值的增大而增大，∴④正确；
∵当y＜0时，﹣1＜x＜3，∴⑤错误；
正确的有3个，
故选：C．
4．【解答】解：∵当y1＝y2时，即﹣x2+4x＝2x时，
解得：x＝0或x＝2，
∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；
∴①错误；
∵抛物线y1＝﹣x2+4x，直线y2＝2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴②正确；
∵抛物线y1＝﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，
∴③正确；
∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；
当M＝2，2x＝2，x＝1；
x＞2时，y2＞y1；
当M＝2，﹣x2+4x＝2，x1＝2+，x2＝2﹣（舍去），
∴使得M＝2的x值是1或2+，
∴④错误；
∴正确的有②③两个．
故选：B．
5．【解答】解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．
∵对称轴x＝﹣＝﹣，∴b＝a＜0，
∴ab＞0．故①正确；
②如图，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．
故②正确；
③如图，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，
∴b+2c＞0．
故③正确；
④如图，当x＝﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0．
∴a﹣2b+4c＞0，
故④正确；
⑤如图，对称轴x＝﹣＝﹣，则．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．
故选：D．
6．【解答】解：A、由抛物线可看出a＝1＞0，故开口向上，故此选项不符合题意；
B、抛物线的对称轴是直线x＝3，故此选项不符合题意；
C、它的顶点坐标（3，5），故此选项不符合题意；
D、当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项符合题意．
故选：D．
7．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（1，﹣2），
∵图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴新抛物线的顶点为（0，﹣1）．
故选：C．
8．【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3），
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确．
B、根据抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1，正确．
C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x＝1时，y的最小值为﹣4，而不是最大值．故本选项错误．
D、当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．正确．
故选：C．
9．【解答】解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0；
B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；
C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；
D、错误，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴﹣＞0．
故选：D．
10．【解答】解：抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），
∵向右平移1个单位，向上平移4个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（1，1），
∴所得抛物线的解析式是y＝2（x﹣1）2+1．
故选：B．
11．【解答】解：∵抛物线过点（1，0），
∴a+b+c＝0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，所以②错误；
∵点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；
∵b＝2a，a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴a﹣2b+c＝a﹣4a﹣3a＝﹣6a，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴a﹣2b+c＝﹣6a＜0，所以④错误．
故选：C．
12．【解答】解：∵A在直线y＝x上，
∴设A（m，m），
∵OA＝，
∴m2+m2＝（）2，
解得：m＝±1（m＝﹣1舍去），
∴m＝1，
∴A（1，1），
∴平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2+1，
故选：C．
13．【解答】解：∵已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝4和x1 x2＝3，
∴x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）
故选：C．
14．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴可排除B、D选项，
将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1＝（0﹣2）2+1＝5，故A选项错误，
代入C中，得（x﹣2）2﹣3＝（0﹣2）2﹣3＝1，故C选项正确．
故选：C．
15．【解答】解：y＝x2﹣2x+3，
＝（x2﹣2x+1）+2，
＝（x﹣1）2+2．
故选：D．
16．【解答】解：A，由抛物线可看出a＝1＞0，故开口向上，正确；
B，由于开口方向向上，y有最小值，且在顶点，即x＝﹣2时，y有最小值﹣3，错误；
C，抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，错误；
D，抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3），错误．
故选：A．
17．【解答】解：从题中给出的图象可以看出，对称轴为直线x＝﹣3，a＜0，
又点A、B位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，
则y1＞y2．
故选：C．
18．【解答】解：y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x2+4x+4）+1+3＝﹣（x+2）2+4
故选：C．
19．【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，而对称轴在y轴左侧，∴a、b同号，即b＜0，正确；
②∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，正确；
③∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，正确；
④∵由图象可知当x＝﹣1时，对应的函数值y＝a﹣b+c＞0，错误．
故选：C．
20．【解答】解：二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位，得y＝2x2+2．
故选：B．
21．【解答】解：∵这个函数的顶点是（1，2），
∴函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
故选：C．
22．【解答】解：①当x＝1时，y＝a+b+c＝0，故①错误；
②当x＝﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，
∴y＝a﹣b+c＜0，
故②正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，
∵对称轴为0＜x＝﹣＜1，
∴2a+b＜0，
故③正确；
④对称轴为x＝﹣＞0，a＜0
∴a、b异号，即b＞0，
由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0
∴abc＜0，
故④错误；
∴正确结论的序号为②③．
故选：B．
23．【解答】解：根据题意得；h＝0，
0＝20t﹣5t2
t＝4或t＝0（舍去）．
则小球从抛出到落地的运动时间为4s．
故选：B．
24．【解答】解：（1）利用图象可知，x＝1时函数值在x轴上方，∴a+b+c＞0，
故此选项正确；
（2）结合图象可知方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零，故此选项正确；
（3）y随x的增大而增大，根据二次函数增减性得出，对称轴两侧增减性不同，故此选项错误；
（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限，结合图象可知b＜0，c＜0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝x+bc的图象一定不过第四象限，故此选项错误．
故选：C．
25．【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，故本选项正确，
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为x＝＝﹣1，
∴2a＝b，
∴2a+b＝4a，a≠0，
故本选项错误，
③∵x＝﹣1时y有最大值，
由图象可知y≠0，故本选项错误，
④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，
两边相加整理得5a﹣b＝﹣c＜0，即5a＜b，故本选项正确．
故选：B．
26．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（2，1）．可设新抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+k，代入得y＝（x﹣2）2+1．
故选：A．
27．【解答】解：A、S梯＝1.5；
B、S△＝；
C、S△＝；
D、S阴影＝1．
故选：D．
28．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
29．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，抛物线对称轴是直线x＝3．
故选：B．
30．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x）+21＝（x2﹣12x+36﹣36）+21＝（x﹣6）2+3，
∴抛物线y＝x2﹣6x+21的顶点坐标是（6，3）．
故选：C．
31．【解答】解：∵y＝2（x+1）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3），
故选：D．
二．填空题（共4小题）
32．【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，则2a﹣b＝0，所以③错误；
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵x＝时，y＝0，
∴a+b+c＝0，即a+2b+4c＝0，所以②正确；
∵a＝b，a+b+c＞0，
∴b+2b+c＞0，即3b+2c＞0，所以④正确；
∵x＝﹣1时，函数值最小，
∴a﹣b+c＜am2﹣mb+c（m≠1），
∴a﹣b≤m（am﹣b），所以⑤错误．
故答案为②④．
33．【解答】解：∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝1＝﹣，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故②正确；
∵对称轴x＝1＝﹣，∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，故③错误；
根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故④错误．
正确的有2个，
故答案为：2．
34．【解答】解：∵二次函数图象的顶点横坐标为1，
∴对称轴x＝﹣＝1，
解得b＝﹣2．
故答案为：﹣2．
35．【解答】解：∵二次函数的图象具有下列特征：①开口方向向下，②以y轴为对称轴，③图象与x轴没有交点，
∴满足以上条件的一个二次函数的解析式（任写一个符合条件的即可）为y＝﹣x2﹣1．
故答案为：y＝﹣x2﹣1．
一．选择题（共31小题）
1．把二次函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+2 B．y＝﹣（x+1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 D．y＝﹣（x+1）2﹣2
2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
3．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：
①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．
其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：
①当x＞2时，M＝y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M＝2，则x＝1．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：
①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．
你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．关于二次函数y＝（x﹣3）2+5，下列说法中不正确的是（ ）
A．它的开口方向是向上
B．它的对称轴是直线x＝3
C．它的顶点坐标（3，5）
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
7．直角坐标平面上将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）
A．（0，0） B．（1，﹣2） C．（0，﹣1） D．（﹣2，1）
8．若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝1
C．当x＝1时，y的最大值为﹣4
D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．
10．把抛物线y＝2x2﹣3向右平移1个单位，再向上平移4个单位，则所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2+1 B．y＝2（x﹣1）2+1
C．y＝2（x+1）2﹣7 D．y＝2（x﹣1）2﹣7
11．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．你认为其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣1 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1
13．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝4和x1 x2＝3，那么二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴、且经过点（0，1）的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3
15．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x﹣1）2+2
16．关于二次函数y＝（x+2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．当x＝﹣2时，有最大值﹣3
C．抛物线的对称轴是直线x＝2
D．抛物线的顶点坐标是（2，﹣3）
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
18．把二次函数y＝﹣x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝2+3
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列四个结论：①b＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）
A．y＝2x2﹣2 B．y＝2x2+2 C．y＝2（x﹣2）2 D．y＝2（x+2）2
21．关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
23．把一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h＝20t﹣5t2，则小球从抛出到落地的运动时间为（ ）
A． B．4s C．2s D．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
（1）a+b+c＞0
（2）方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零
（3）y随x的增大而增大
（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限，
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
25．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．把抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2
27．下列图形中，阴影部分面积为1的是（ ）
A． B．
C． D．
28．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
29．抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣5的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝﹣5
30．抛物线y＝x2﹣6x+21的顶点坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣3） B．（﹣6，3） C．（6，3） D．（6，﹣3）
31．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
二．填空题（共4小题）
32．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列5个结论：①abc＞0；②a+2b+4c＝0；③2a﹣b＞0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b），其中正确的结论为 ．（注：只填写正确结论的序号）
33．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＞a+c；③2a﹣b＝0；④b2﹣4ac＜0．其中正确的结论有 个．
34．已知二次函数y＝x2+bx+3的图象的顶点的横坐标是1，则b＝ ．
35．已知某二次函数的图象具有下列特征：①开口方向向下，②以y轴为对称轴，③图象与x轴没有交点．试写出满足以上条件的一个二次函数的解析式（任写一个符合条件的即可） ．
《2.2 二次函数的图象与性质》同步练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共31小题）
1．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），先向右平移1个单位，再向上平移2个单位那么新抛物线的顶点为（1，2）．
可设新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k代入2得：y＝﹣（x﹣1）2+2．
故选：A．
2．【解答】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
3．【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在x的正半轴上，且是x＝1，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∴ab＜0，∴①正确；
∵根据图象可知：抛物线和x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，∴②正确；
把x＝1代入y＝ax2+bx+c得：y＝a+b+c＜0，∴③错误；
∵根据图象可知：当x＞1时，y随x值的增大而增大，∴④正确；
∵当y＜0时，﹣1＜x＜3，∴⑤错误；
正确的有3个，
故选：C．
4．【解答】解：∵当y1＝y2时，即﹣x2+4x＝2x时，
解得：x＝0或x＝2，
∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；
∴①错误；
∵抛物线y1＝﹣x2+4x，直线y2＝2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴②正确；
∵抛物线y1＝﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，
∴③正确；
∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；
当M＝2，2x＝2，x＝1；
x＞2时，y2＞y1；
当M＝2，﹣x2+4x＝2，x1＝2+，x2＝2﹣（舍去），
∴使得M＝2的x值是1或2+，
∴④错误；
∴正确的有②③两个．
故选：B．
5．【解答】解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．
∵对称轴x＝﹣＝﹣，∴b＝a＜0，
∴ab＞0．故①正确；
②如图，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．
故②正确；
③如图，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，
∴b+2c＞0．
故③正确；
④如图，当x＝﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0．
∴a﹣2b+4c＞0，
故④正确；
⑤如图，对称轴x＝﹣＝﹣，则．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．
故选：D．
6．【解答】解：A、由抛物线可看出a＝1＞0，故开口向上，故此选项不符合题意；
B、抛物线的对称轴是直线x＝3，故此选项不符合题意；
C、它的顶点坐标（3，5），故此选项不符合题意；
D、当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项符合题意．
故选：D．
7．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（1，﹣2），
∵图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴新抛物线的顶点为（0，﹣1）．
故选：C．
8．【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3），
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确．
B、根据抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1，正确．
C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x＝1时，y的最小值为﹣4，而不是最大值．故本选项错误．
D、当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．正确．
故选：C．
9．【解答】解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0；
B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；
C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；
D、错误，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴﹣＞0．
故选：D．
10．【解答】解：抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），
∵向右平移1个单位，向上平移4个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（1，1），
∴所得抛物线的解析式是y＝2（x﹣1）2+1．
故选：B．
11．【解答】解：∵抛物线过点（1，0），
∴a+b+c＝0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，所以②错误；
∵点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；
∵b＝2a，a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴a﹣2b+c＝a﹣4a﹣3a＝﹣6a，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴a﹣2b+c＝﹣6a＜0，所以④错误．
故选：C．
12．【解答】解：∵A在直线y＝x上，
∴设A（m，m），
∵OA＝，
∴m2+m2＝（）2，
解得：m＝±1（m＝﹣1舍去），
∴m＝1，
∴A（1，1），
∴平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2+1，
故选：C．
13．【解答】解：∵已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝4和x1 x2＝3，
∴x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）
故选：C．
14．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴可排除B、D选项，
将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1＝（0﹣2）2+1＝5，故A选项错误，
代入C中，得（x﹣2）2﹣3＝（0﹣2）2﹣3＝1，故C选项正确．
故选：C．
15．【解答】解：y＝x2﹣2x+3，
＝（x2﹣2x+1）+2，
＝（x﹣1）2+2．
故选：D．
16．【解答】解：A，由抛物线可看出a＝1＞0，故开口向上，正确；
B，由于开口方向向上，y有最小值，且在顶点，即x＝﹣2时，y有最小值﹣3，错误；
C，抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，错误；
D，抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3），错误．
故选：A．
17．【解答】解：从题中给出的图象可以看出，对称轴为直线x＝﹣3，a＜0，
又点A、B位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，
则y1＞y2．
故选：C．
18．【解答】解：y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x2+4x+4）+1+3＝﹣（x+2）2+4
故选：C．
19．【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，而对称轴在y轴左侧，∴a、b同号，即b＜0，正确；
②∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，正确；
③∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，正确；
④∵由图象可知当x＝﹣1时，对应的函数值y＝a﹣b+c＞0，错误．
故选：C．
20．【解答】解：二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位，得y＝2x2+2．
故选：B．
21．【解答】解：∵这个函数的顶点是（1，2），
∴函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
故选：C．
22．【解答】解：①当x＝1时，y＝a+b+c＝0，故①错误；
②当x＝﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，
∴y＝a﹣b+c＜0，
故②正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，
∵对称轴为0＜x＝﹣＜1，
∴2a+b＜0，
故③正确；
④对称轴为x＝﹣＞0，a＜0
∴a、b异号，即b＞0，
由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0
∴abc＜0，
故④错误；
∴正确结论的序号为②③．
故选：B．
23．【解答】解：根据题意得；h＝0，
0＝20t﹣5t2
t＝4或t＝0（舍去）．
则小球从抛出到落地的运动时间为4s．
故选：B．
24．【解答】解：（1）利用图象可知，x＝1时函数值在x轴上方，∴a+b+c＞0，
故此选项正确；
（2）结合图象可知方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零，故此选项正确；
（3）y随x的增大而增大，根据二次函数增减性得出，对称轴两侧增减性不同，故此选项错误；
（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限，结合图象可知b＜0，c＜0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝x+bc的图象一定不过第四象限，故此选项错误．
故选：C．
25．【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，故本选项正确，
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为x＝＝﹣1，
∴2a＝b，
∴2a+b＝4a，a≠0，
故本选项错误，
③∵x＝﹣1时y有最大值，
由图象可知y≠0，故本选项错误，
④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，
两边相加整理得5a﹣b＝﹣c＜0，即5a＜b，故本选项正确．
故选：B．
26．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（2，1）．可设新抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+k，代入得y＝（x﹣2）2+1．
故选：A．
27．【解答】解：A、S梯＝1.5；
B、S△＝；
C、S△＝；
D、S阴影＝1．
故选：D．
28．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
29．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，抛物线对称轴是直线x＝3．
故选：B．
30．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x）+21＝（x2﹣12x+36﹣36）+21＝（x﹣6）2+3，
∴抛物线y＝x2﹣6x+21的顶点坐标是（6，3）．
故选：C．
31．【解答】解：∵y＝2（x+1）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3），
故选：D．
二．填空题（共4小题）
32．【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，则2a﹣b＝0，所以③错误；
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵x＝时，y＝0，
∴a+b+c＝0，即a+2b+4c＝0，所以②正确；
∵a＝b，a+b+c＞0，
∴b+2b+c＞0，即3b+2c＞0，所以④正确；
∵x＝﹣1时，函数值最小，
∴a﹣b+c＜am2﹣mb+c（m≠1），
∴a﹣b≤m（am﹣b），所以⑤错误．
故答案为②④．
33．【解答】解：∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝1＝﹣，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故②正确；
∵对称轴x＝1＝﹣，∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，故③错误；
根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故④错误．
正确的有2个，
故答案为：2．
34．【解答】解：∵二次函数图象的顶点横坐标为1，
∴对称轴x＝﹣＝1，
解得b＝﹣2．
故答案为：﹣2．
35．【解答】解：∵二次函数的图象具有下列特征：①开口方向向下，②以y轴为对称轴，③图象与x轴没有交点，
∴满足以上条件的一个二次函数的解析式（任写一个符合条件的即可）为y＝﹣x2﹣1．
故答案为：y＝﹣x2﹣1．