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9.4 矩形、菱形、正方形
9.4.2 矩形的判定
知识总结：
1.矩形的判定方法总结：(1)有一个角是直角的_________是矩形；
(2)_______个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线_________的平行四边形是矩形.
注：对角线相等的四边形不一定是矩形，反例：____________.
2.两条平行线之间的距离处处_______.平行线的位置确定后，它们之间的距离为定值，不随垂线段位置的改变而改变.
基础练习
1.要使□ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )
A.∠A＋∠B＝180° B.∠B＋∠C＝180° C.∠A＝∠B D.∠B＝∠D
2.如图，在△ABC中，点D为BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，当AB，AC满足__________时，四边形AEDF是矩形.
3.如图，已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D为底边BC的中点，若以点D为圆心，AC长为半径作弧，以点A为圆心，DC长为半径作弧，两弧相交于直线AC的右侧于点E，连接AE，CE.
求证：四边形ADCE是矩形.
4.如图，□ABCD的对角线AC与BD交于点0，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )
A.AO＝OC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.BD平分∠ABC
5.如图是一个木质的平行四边形框架，木匠师傅常常通过测量平行四边形框架的对角线是否相等来检验框架是否为矩形，请问木匠师傅此种检验方法依据的道理是_________________.
6.如图，在□ABCD中，点M，N是BD上两点，且BMDN，AC2MO . 求证：四边形AMCN是矩形.
7.如图，直线//，下列关于S△ABC和S△BCD的说法正确的是( )
A.S△ABC ＞S△BCD B.S△ABC ＜S△BCD C.S△ABC S△BCD D.无法判定
8.如图，在□ABCD和□ABDE中，已知CE4，S△ABD5，则点A到直线CD的距离为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
综合拓展
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,过点B作DE的垂线，交DE的延长线于点F，已知DE＝1，AD＝，则四边形BCDF的面积为( )
A. B. C.4 D.
10.如图,在△ABC中,AB＝3,AC＝4,BC＝5,点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为_________.
11.如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，∠BAD和∠ADC的平分线交边BC于点F，BE，AF交于点G，连接CE交DF于点H. 求证：(1)CE平分∠BCD； (2)四边形EGFH是矩形.
12.（矩形的判定与性质综合) 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AD＝3，EC＝2，∠ABF＝60°，求BD的长.
13.(中考创新题)如图，点A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中作出3个以A，B为顶点的格点矩形.
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9.4 矩形、菱形、正方形
9.4.2 矩形的判定
知识总结：
1.矩形的判定方法总结：(1)有一个角是直角的__平行四边形__是矩形；
(2)__3__个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线__相等__的平行四边形是矩形.
注：对角线相等的四边形不一定是矩形，反例：__等腰梯形__.
2.两条平行线之间的距离处处__相等_.平行线的位置确定后，它们之间的距离为定值，不随垂线段位置的改变而改变.
基础练习
1.要使□ABCD成为矩形，需要添加的条件是( C )
A.∠A＋∠B＝180° B.∠B＋∠C＝180° C.∠A＝∠B D.∠B＝∠D
2.如图，在△ABC中，点D为BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，当AB，AC满足__AB⊥AC(答案不唯一___时，四边形AEDF是矩形.
3.如图，已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D为底边BC的中点，若以点D为圆心，AC长为半径作弧，以点A为圆心，DC长为半径作弧，两弧相交于直线AC的右侧于点E，连接AE，CE.
求证：四边形ADCE是矩形.
证明：如解图，连接DE，由题可知，AE=DC=BD，DE=AC=AB，
∴四边形ABDE是平行四边形， ∴ AE//BC ∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD.∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形.
4.如图，□ABCD的对角线AC与BD交于点0，要使它成为矩形，需再添加的条件是( B )
A.AO＝OC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.BD平分∠ABC
5.如图是一个木质的平行四边形框架，木匠师傅常常通过测量平行四边形框架的对角线是否相等来检验框架是否为矩形，请问木匠师傅此种检验方法依据的道理是__对角线相等的平行四边形是矩形___.
6.如图，在□ABCD中，点M，N是BD上两点，且BMDN，AC2MO . 求证：四边形AMCN是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，∴OB - BM＝OD - DN，即OM＝ON,∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，∴MN＝2MO,
∵AC＝2MO，∴MN＝AC，四边形AMCN是矩形.
7.如图，直线//，下列关于S△ABC和S△BCD的说法正确的是( C )
A.S△ABC ＞S△BCD B.S△ABC ＜S△BCD C.S△ABC S△BCD D.无法判定
8.如图，在□ABCD和□ABDE中，已知CE4，S△ABD5，则点A到直线CD的距离为( B )
A.4 B.5 C.6 D.7
综合拓展
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,过点B作DE的垂线，交DE的延长线于点F，已知DE＝1，AD＝，则四边形BCDF的面积为( B )
A. B. C.4 D.
10.如图,在△ABC中,AB＝3,AC＝4,BC＝5,点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为_____.
11.如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，∠BAD和∠ADC的平分线交边BC于点F，BE，AF交于点G，连接CE交DF于点H. 求证：(1)CE平分∠BCD； (2)四边形EGFH是矩形.
证明：(1)∵四边形ABGD是平行四边形，∴AD//BC，AD＝BC，AB//DC，AB＝DC.∴∠DAF＝∠AFB,
∵∠BAD的平分线交BC于点F，∴∠BAF＝∠DAF＝∠BAD.∴∠BAF＝∠AFB.∴AB＝BF.
同理可得CD＝CF，AE＝AB，∴AB＝BF＝CF＝CD＝DE＝AE,∴∠DEC＝∠DCE,
∵∠DEC＝∠BCE,∴∠BCE＝∠DCE,∴CE平分∠BCD；
(2)∵AD//BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
又∵AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC，∴∠BAF＋∠ABG＝90°.
∴∠AGB＝180°-(∠BAF＋∠ABG)＝90°.
由(1)可知，CE平分∠BCD，同理可得∠AFD＝90°，∠BEC＝90°
∴∠EGF＝∠AFD＝∠BEC＝90°.∴四边形EGFH是矩形.
12.（矩形的判定与性质综合) 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AD＝3，EC＝2，∠ABF＝60°，求BD的长.
(1)证明：∵在□ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，∴AD＝BC，AD//BC,∠AEF＝90°.
∵CF＝BE，∴EF＝EC＋CF＝EC＋BE＝BC＝AD.
又∵AD//EF，∴四边形AEFD是平行四边形.
∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；
(2)解：∵AD＝3，∴BC＝EF＝3.
∵EC＝2，∴BE＝CF＝1.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC,∴∠DCF＝∠ABF＝60°.
在Rt△CDF中，∠CDF＝90°-∠DCF＝30°.∴CD＝2CF＝2，DF＝＝
∵BF＝BE＋EF＝1＋3＝4，∴在Rt△BDF中，BD＝＝. ∴BD的长为.
13.(中考创新题)如图，点A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中作出3个以A，B为顶点的格点矩形.
解：以A，B为顶点的3个格点矩形如解图所示.
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