第2课时 全概率公式
一、单选题
1. 已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是( )
A. 0.01245 B. 0.02625
C. 0.02865 D. 0.05786
1. B 提示 记“随机选一人是男人”为事件A1, “随机选一人是女人”为事件A2，“此人恰好是色盲”为事件B，显然A1与A2互斥，且A1＋A2为样本空间Ω.由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.5×5%＋0.5×0.25%＝0.02625
2. 现有8道四选一的单选题，学生小亮对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.小亮从这8道题中随机选择1题，他做对该题的概率为( )
A. 0.4125 B. 0.6025
C. 0.7375 D. 0.7975
2. C 提示 记小亮“选到有思路的题”为事件A1, “选到没有思路的题”为事件A2，“他做对该题”为事件B，显然A1与A2互斥，且A1＋A2为样本空间Ω，且P(A1)＝＝， P(A2)＝＝.由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.9＋×0.25＝0.7375
3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球、30个白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率为( )
A. B.
C. D.
3. A 提示 设A表示“第一个人取得黄球”，B表示“第二个人取得黄球”，则由全概率公式得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝
4. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间生产的次品率为0.15，第2车间生产的次品率为0.12，两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1, 2车间生产的成品比例为2∶3.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品是合格品的概率为( )
A. 0.6 B. 0.85
C. 0.868 D. 0.88
4. C 提示 设B：从仓库中随机提出的一台是合格品，Ai：提出的一台是第i车间生产的，i＝1, 2，则有B＝A1B＋A2B，由题意得P(A1)＝， P(A2)＝， P(B|A1)＝0.85, P(B|A2)＝0.88.由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868
5. 若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检测被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检测者，用该试剂来检测，结果呈现阳性的概率为( )
A. 0.0198 B. 0.049
C. 0.05 D. 0.0688
5. D 提示 记“被检测者患病”为事件A，“用该试剂检测呈现阳性”为事件B，则P(A)＝0.02, P()＝1－0.02＝0.98, P(B|A)＝0.99, P(B|)＝0.05，故所求概率P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.02×0.99＋0.98×0.05＝0.0688
二、多选题
6. (多选)有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2, 3台车床加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．已知第1, 2, 3台车床加工的零件数分别占总数的20%, 30%, 50%，则( )
A. 任取一个零件是第1台车床加工的次品的概率为0.01
B. 任取一个零件是次品的概率为0.058
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
6. ABD 提示 记事件B为“任取一个零件为次品”，Ai为“零件为第i台车床加工”(i＝1, 2, 3)，显然A1, A2, A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω.根据题意，得P(A1)＝0.2, P(A2)＝0.3, P(A3)＝0.5, P(B|A1)＝0.05, P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.06.对于选项A，所求概率为P(A1B)＝P(A1) P(B|A1)＝0.2×0.05＝0.01，故A正确；对于选项B，所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.2×0.05＋0.3×0.06＋0.5×0.06＝0.058，故B正确；对于选项C，所求概率为P(A2|B)＝＝＝＝，故C错误；对于选项D，所求概率为P(A3|B)＝＝＝＝，故D正确
三、填空题
7. 已知P(BA)＝0.35, P(B)＝0.1，则P(B)＝________.
7. 0.45
8. 已知P(A)＝， P(B|A)＝， P(B|)＝，则P(B)＝________， P(A|B)＝________.
8.
9. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有3%的二等种子．已知一等小麦种子结出的麦穗每只含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有49%的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每只含有50颗以上的麦粒的概率为________(用最简分数作答)．
9. 提示 设所求概率为p，则由全概率公式得0.03p＋0.97×0.5＝0.49，解得p＝
10. 甲箱中有3个黑球、2个蓝球和3个红球，乙箱中有4个黑球、2个蓝球和2个红球(除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同)．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1球．分别以A1, A2, A3表示由甲箱取出的球是黑球、蓝球和红球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则P(B|A1)＝________， P(B)＝________.
10. 提示 P(B|A1)＝＝， P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝·＋·＋·＝
四、解答题
11. 某学校有甲、乙两家餐厅，赵同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.6；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.8.求赵同学第2天去甲餐厅用餐的概率．
11. 记赵同学“第1天去甲餐厅用餐”为事件A1，“第1天去乙餐厅用餐”为事件A2，“第2天去甲餐厅用餐”为事件B，显然A1与A2互斥，且A1＋A2为样本空间Ω.根据题意得P(A1)＝P(A2)＝0.5, P(B|A1)＝0.6, P(B|A2)＝0.8.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.所以赵同学第2天去甲餐厅用餐的概率为0.7
12. 有甲、乙、丙三个同样的箱子，甲箱中有2个红球、6个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，丙箱中有3个红球、5个白球．
(1) 随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；
(2) 从甲、乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率．
12. (1) 根据题意，记事件A1：从甲箱中取一球为红球，事件A2：从乙箱中取一球为红球，事件A3：从丙箱中取一球为红球，记事件B：取得的三球都为红球，且事件A1, A2, A3相互独立，所以P(B)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＝××＝，所以三球都为红球的概率为 (2) 记事件C：该球为红球，事件D1：取甲箱，事件D2：取乙箱，事件D3：取丙箱．因为P(C|D1)＝， P(C|D2)＝， P(C|D3)＝，所以P(C)＝P(D1)·P(C|D1)＋P(D2)·P(C|D2)＋P(D3)·P(C|D3)＝×＋×＋×＝，所以该球为红球的概率为
13. 假设有两箱同种型号的零件，里面分别装有25件、10件，而且一等品分别有20件、6件．现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，求：
(1) 先取出的零件是一等品的概率；
(2) 两次取出的零件均为一等品的概率．
13. 设Ai表示“任取的一箱为第i箱”( i＝1, 2), Bj表示“第j次取到的是一等品”(j＝1, 2)，显然A1, A2互斥且A1＋A2＝Ω.由题意知P(A1)＝P(A2)＝. (1) P(B1|A1)＝＝， P(B1|A2)＝＝.由全概率公式得P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＝×＋×＝，即所求概率为 (2) 因为P(B1B2|A1)＝＝， P(B1B2|A2)＝＝，由全概率公式得P(B1B2)＝P(A1)·P(B1B2|A1)＋P(A2)P(B1B2|A2)＝＝，即所求概率为第2课时 全概率公式
一、单选题
1. 已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是( )
A. 0.01245 B. 0.02625
C. 0.02865 D. 0.05786
2. 现有8道四选一的单选题，学生小亮对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.小亮从这8道题中随机选择1题，他做对该题的概率为( )
A. 0.4125 B. 0.6025
C. 0.7375 D. 0.7975
3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球、30个白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率为( )
A. B.
C. D.
4. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间生产的次品率为0.15，第2车间生产的次品率为0.12，两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1, 2车间生产的成品比例为2∶3.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品是合格品的概率为( )
A. 0.6 B. 0.85
C. 0.868 D. 0.88
5. 若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检测被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检测者，用该试剂来检测，结果呈现阳性的概率为( )
A. 0.0198 B. 0.049
C. 0.05 D. 0.0688
二、多选题
6. (多选)有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2, 3台车床加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．已知第1, 2, 3台车床加工的零件数分别占总数的20%, 30%, 50%，则( )
A. 任取一个零件是第1台车床加工的次品的概率为0.01
B. 任取一个零件是次品的概率为0.058
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
三、填空题
7. 已知P(BA)＝0.35, P(B)＝0.1，则P(B)＝________.
8. 已知P(A)＝， P(B|A)＝， P(B|)＝，则P(B)＝________， P(A|B)＝________.
9. 某块农田上播种的一等小麦种子中含有3%的二等种子．已知一等小麦种子结出的麦穗每只含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有49%的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每只含有50颗以上的麦粒的概率为________(用最简分数作答)．
10. 甲箱中有3个黑球、2个蓝球和3个红球，乙箱中有4个黑球、2个蓝球和2个红球(除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同)．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1球．分别以A1, A2, A3表示由甲箱取出的球是黑球、蓝球和红球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则P(B|A1)＝________， P(B)＝________.
四、解答题
11. 某学校有甲、乙两家餐厅，赵同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.6；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.8.求赵同学第2天去甲餐厅用餐的概率．
12. 有甲、乙、丙三个同样的箱子，甲箱中有2个红球、6个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，丙箱中有3个红球、5个白球．
(1) 随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；
(2) 从甲、乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率．
13. 假设有两箱同种型号的零件，里面分别装有25件、10件，而且一等品分别有20件、6件．现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，求：
(1) 先取出的零件是一等品的概率；
(2) 两次取出的零件均为一等品的概率．
