2.2 基本不等式 巩固习题-2022-2023学年高一上学期数学人教版（2019）必修第一册（含答案）

2.2基本不等式
一、单选题（本大题共7小题）
1. 设，则的最大值是( )
A. B. C. D.
2. 若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3. 已知，，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4. 若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 已知，且，则有( )
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
6. 若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 设正实数，满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共1小题）
8. 下列说法正确的是( )
A. 若，，，则的最大值为
B. 若，则函数的最大值为
C. 若，，，则的最小值为
D. 函数的最小值为
三、填空题（本大题共5小题）
9. 若，则的最小值是 ．
10. 已知，，且，则的最大值为 ，的最小值为 ．
11. 已知，，且，若恒成立，则的最小值为 ，实数的取值范围为 ．
12. 设，则的最小值为 ．
13. 已知实数，满足，，且，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
14. 已知，为正实数，且满足．
求的最大值；
求的最小值．
15. 求下列各式的最小值：
Ⅰ已知正实数，满足，求的最小值．
Ⅱ设，求函数的最小值．
16. 某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围阴影部分所示种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为米，如图所示，池塘所占面积为平方米，其中．
试用表示；
若要使最大，则的值分别为多少？
17. 已知，且，若恒成立，求实数的取值范围．
18. 已知，，，均为正实数．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若，求证：．
1.【答案】
解：，可得，，
，
当且仅当，即时，取等号，
，故的最大值是．
故选：．

2.【答案】
解：，
则
，
当且仅当，即时取等号，
此时，满足题意．
即的最小值，
故选：．

3.【答案】
【解答】
由题意，得，，，所以，当且仅当即时取等号故选D．

4.【答案】
解：由题意，设，解得，，其中，，
，，整理得，
又由
，
当且仅当，即，
即时，等号成立，
的最小值为．
故选：．

5.【答案】
【解析】因为，所以因为，所以因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以故选A．

6.【答案】
因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为故选C．

7.【答案】
解：设，，
则
当且仅当，即，时取等号，
故．
故选D．

8.【答案】
解：对于，若，，满足，
则，
当且仅当时取得最小值，故A错误
对于，若，即，
则函数
，
当且仅当时取得最大值，故B正确
对于，若，，满足，
则，即，
解得，
当且仅当时等号成立，
即的最大值为，故C错误
对于，函数，
，
，
当且仅当，即时等号成立，即函数的最小值为，故D正确．
故选BD．

9.【答案】
解：，，
，
当且仅当即时取等号，
时， 取最小值．
故答案为：．

10.【答案】
解：，，，， ，
则，当且仅当时取等号，即的最大值为．

，
当且仅当且，
即，时取等号，
故的最小值为．

11.【答案】
解：由，，，即，
可得
．
当且仅当，且，即，时取等号，
则的最小值为，即的最小值为，
因为恒成立，
所以，即，解得．
故实数的取值范围是．
故答案为；．

12.【答案】
解：，，，
则；
由基本不等式有：
；
当且仅当时，
即：，时，即：或时，等号成立，
故的最小值为；
故答案为：．

13.【答案】
解：，，
设，，
则，且，
，
当且仅当，即时取等号，此时，有解．
故答案为．

14.【答案】解：，则，可得，
令，则，
，
又，当且仅当，即时等号成立，
，
故的最大值为；
由可知：，
令，则，
，当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．

15.【答案】解：Ⅰ因为正实数，满足，
所以
当且仅当且，即，时，等号成立．
所以的最小值为．
Ⅱ由题意，设，则
则
当且仅当时，即时，即时，等号成立．
所以函数的最小值为．
16.【答案】解：由题意得，，，则，
，
其中，
由可知，，，，
，
当且仅当时等号成立，
所以，
此时，解得，
故使最大，则的值分别为，．
17.【答案】解：
，
当且仅当时，等号成立，
恒成立，
，解得，，
即实数的取值范围为．
18.【答案】证明：Ⅰ
，
当且仅当时等号成立．
Ⅱ
，
当且仅当时等号成立．
而，
所以．