6.3二项式定理专项练习
一、单选题
1．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
2．的二项展开式中，奇数项的系数和为（ ）
A． B． C． D．
3．的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
4．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
5．若（a，b为有理数），则a=（ ）
A．-25 B．25 C．40 D．41
6．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．设，且，若能被13整除，则a等于（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
8．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
9．在的展开式中，x2项的系数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
二、多选题
10．已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．若且，则实数m的值可以为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1
12．已知的展开式中共有7项，则（ ）
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项
D．有理项共4项
13．已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
三、填空题
14．若的二项展开式中系数最大的项为第7项，则______．
15．已知，则的值为______．
16．已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为______．
17．的展开式中，项的系数为，则实数___________.
四、解答题
18．在的展开式中,求：
(1)第3项的二项式系数
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)求系数绝对值最大的项.
19．在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.
(1)求展开式中二项式系数最大的项.
(2)求的展开式中的常数项.
20．已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为，
(1)求的值；
(2)求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项．
21．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，
(1)求n；
(2)求展开式中系数最大的项．
22．求的展开式中：
(1)各项系数之和；
(2)各项系数的绝对值之和；
(3)系数最小的项.6.3二项式定理专项练习解析版
一、单选题
1．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
【答案】B
【解析】由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
2．的二项展开式中，奇数项的系数和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，令、计算即可求解.
【详解】设，
令可得，
令可得，
两式相加可得：，
所以奇数项系数之和为，
故选：C.
3．的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【答案】C
【分析】由二项式定理求解
【详解】.
故选：C
4．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
5．若（a，b为有理数），则a=（ ）
A．-25 B．25 C．40 D．41
【答案】D
【解析】先求得二项式的展开式的通项公式，然后令求解.
【详解】二项式的展开式的通项公式为：，
则，
故选：D
6．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据二项式定理将多项式进行展开，利用整除的性质即可得到结论.
【详解】
，
∵能被11整除，
∴要使能被11整除，则能被11整除，
∵，∴，则，解得，
故选：C.
7．设，且，若能被13整除，则a等于（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】B
【分析】由且可以被13整除，即其展开式中不含的项为余项，该余项与a的和能被13整除，即可得参数值.
【详解】由，展开式通项为，又可以被13整除，
所以展开式中的项均可被13整除，余项为，
要使能被13整除，且，则.
故选：B
8．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】根据末尾两项二项式系数和可求得，进而确定第项的二项式系数最大，利用展开式第项构造方程求得后，结合特殊角三角函数值可得结果.
【详解】由题意知：，解得：，展开式的第项的二项式系数最大，
，即，，又，或.
故选：D．
9．在的展开式中，x2项的系数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
【答案】B
【解析】把看做一个整体，即可得到的通项公式为：Tr+1 ，再求出的通项公式Tk+1 xr﹣2021k，再结合条件列式即可得解.
【详解】在的展开式中，通项公式为Tr+1 .
对于，通项公式为Tk+1 xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.
令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，
故k＝0，r＝2，
故x2项的系数为 45，
故选：B.
【点睛】本题考查了二项展开式，其关键点是把多项式中的两项看做一个整体，即可得到二项展开式，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.
二、多选题
10．已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】原式可化为，则其展开式的通项公式为，然后利用赋值法求解即可
【详解】解：由，得
，则
其展开式的通项公式为，
对于A，令，则，所以A错误，
对于B，令，则，所以B正确；
对于C，在中令，则，所以C错误；
对于D，，所以D正确，
故选：BD
11．若且，则实数m的值可以为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】AD
【分析】令后可求，再令可得关于的方程，从而可求的值.
【详解】因为，
令，则，
令，则，
则，故即或.
故选：AD．
12．已知的展开式中共有7项，则（ ）
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项
D．有理项共4项
【答案】ACD
【分析】由题意可得，对于A，所有项的二项式系数和为，对于B，令可求出所有项的系数和，对于C，由二项式展开式的系数特征求解即可，对于D，求出二项式展开式的通项公式，可求出所有的有理项
【详解】因为的展开式中共有7项，
所以，
对于A，所有项的二项式系数和为，所以A正确，
对于B，令，则所有项的系数和为，所以B错误，
对于C，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，
对于D，的展开式的通项公式为，当时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，
故选：ACD
13．已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
【答案】ABD
【分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.
【详解】A：由二项式知：，正确；
当时，有，当有，
B：由上，可得，正确；
C：由上，可得，错误；
D：由二项式通项知：，则，，…，，所以，正确.
故选：ABD.
三、填空题
14．若的二项展开式中系数最大的项为第7项，则______．
【答案】12
【分析】由二项式系数性质可得答案.
【详解】的二项展开式有项，
因为系数最大的项为第7项，由二项式系数性质可得.
故答案为：12.
15．已知，则的值为______．
【答案】
【分析】根据题目等式结构，要求系数和，赋值即可.
【详解】令带入等式两边可得，.
故答案为:.
16．已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为______．
【答案】64
【分析】由题意，列出不等式组，可解得，利用赋值法求系数和，即得解
【详解】由题意知，则，
解得，又，因此，
则令，可得的系数和为．
故答案为：64
17．的展开式中，项的系数为，则实数___________.
【答案】
【解析】由，分别写出和的展开式通项，分别令的指数为，求出对应的参数值，代入通项可得出关于的等式，进而可求得实数的值.
【详解】，
的展开式通项为，所以，的展开式通项为，
令，可得，
由题意可得，解得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．
四、解答题
18．在的展开式中,求：
(1)第3项的二项式系数
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)求系数绝对值最大的项.
【答案】(1)； (2)；(3).
【分析】写出二项式的通项公式.
(1)根据二项式的通项公式可以求出此问；
(2)根据奇数项的二项式系数和公式可以直接求出此问题；
(3)设出系数绝对值最大的项为第（r +1）项,根据二项式的通项公式,列出不等式组,解这个不等式组即可求出此问题.
【详解】二项式的通项公式为：.
(1)第3项的二项式系数为,第三项的系数为；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)设系数绝对值最大的项为第（r +1）项,
则,
又,所以r =2.
∴系数绝对值最大的项为．
【点睛】本题考查了二项式通项公式的应用,考查了奇数项的二项式系数和公式,考查了数学运算能力.
19．在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.
(1)求展开式中二项式系数最大的项.
(2)求的展开式中的常数项.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由二项式系数关系及组合数性质得，进而写出二项系数最大项即可；
（2）由（1）知二项式为，分别求出前后两个二项式的常数项，即可得结果.
【详解】（1）依题意，由组合数的性质得.
所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为.
（2）由（1）知，，
因为二项式的展开式的通项为，
所以的常数项为，的常数项为，
所以的展开式中的常数项为.
20．已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为，
(1)求的值；
(2)求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二项式系数和公式可得答案；
（2）求出的通项，利用的指数为整数可得答案.
【详解】（1）的二项展开式中所有项的二项式系数之和，
所以.
（2），
因此时，有理项为，
有理项是第一项和第七项.
21．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，
(1)求n；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）根据要求列出方程，求出的值；（2）求出二项式展开式的通项，列出不等式组，求出的取值范围，从而求出，得到系数最大项.
(1)
由题意得：，解得：或，因为，所以（舍去），从而
(2)
二项式的展开式通项为：，则系数为，要求其最大值，则只要满足，即，解得：，因为，所以，所以系数最大项为
22．求的展开式中：
(1)各项系数之和；
(2)各项系数的绝对值之和；
(3)系数最小的项.
【答案】(1)-1
(2)
(3)
【分析】（1）设，令求解；
（2）令，与令得到的两式相加减求解；
（3）的展开式的通项公式为：，将问题转化为求系数的绝对值的最大值即可.
（1）
解：设，
令，得；
所以的展开式各项系数之和为-1；
（2）
令，得，
两式相减得：，
两式相加得：，
所以的展开式各项系数的绝对值之和为，
；
（3）
的展开式的通项公式为：
，
系数的绝对值为，设第r+1项的系数绝对值最大，
则，解得，
则，即系数的绝对值的最大值为，
因为13为奇数，
所以，即第14项的系数最小，
所以系数最小的项为
