5.1导数的概念及其意义练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

5.1导数的概念及其意义练习
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5
4．已知是函数的导函数，若，则（ ）
A． B．2 C． D．8
5．已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
6．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．物体自由落体的运动方程为（单位：m），当时，m/s，则下列说法错误的是（ ）
A．9.8 m/s是物体从0s到1s这段时间内的速度
B．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的速度
C．9.8 m/s是物体在s这一时刻的速度
D．9.8 m/s是物体从1s到s这段时间内的平均速度
10．如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
11．已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意（），下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知反双曲正切函数，则（ ）
A．是奇函数
B．的定义域是
C．曲线在点处的切线方程为
D．函数有且仅有3个零点
三、填空题
13．函数，设在区间与的平均变化率为a，b，则a，b的大小关系为_______.
14．如图，已知曲线，是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，设点Q的横坐标为x，则割线PQ的斜率是______（用含x的式子表示）．
15．曲线在点处的切线方程为____________.
16．已知曲线与的两条公切线的夹角正切值为，则________．
四、解答题
17．若一物体运动方程如下（位移单位：，时间单位：
求：
(1)物体在内的平均速度；
(2)物体的初速度；
(3)物体在时的瞬时速度.
18．（1）求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；
（2）求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
19．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为，其中为体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：）．
（1）求从至，蜥蜴的体温下降了多少？
（2）从到，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么实际意义？
（3）求并解释它的实际意义．
20．已知曲线上的两点和，求：
(1)割线AB的斜率；
(2)过点A的切线的斜率；
(3)点A处的切线的方程．
21．已知三个函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x.
（1）指出三个函数在[0，＋∞)上的单调性；
（2）取x1＝0，x2＝2，x3＝4，x4＝6，Δx＝2.求三个函数分别在区间[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4)上的平均变化率(列成表格即可)；
（3）分析三个函数在[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4，…)上随自变量的增加，其平均变化率的变化情况.
22．已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线所在的直线方程；
(3)若抛物线上的点M到直线的距离最短，求点M的坐标和最短距离．
答案
1．D
2．A
3．D
4．C
5．B
6．B
7．C
8．A
9．ABD
10．CD
11．AD
12．AC
13．a < b
14．
15．
16．
17．（1）解：由已知在时，其时间变化量为，
其位移变化量为，
故所求平均速度为；
（2）解：求物体的初速度，即求物体在时的瞬时速度.
因为物体在附近位移的平均变化率为
所以物体在处位移的瞬时变化率为，
即物体的初速度.
（3）解：因为物体在附近位移的平均变化率为
，
故物体在时的瞬时速度为，即物体在时的瞬时速度为．
18．（1）∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2
＝3Δx－(Δx)2，
（2）∵Δy＝f(1＋Δx)－f（1）＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
19．（1），即从到，蜥蜴的体温下降了16℃．
（2）蜥蜴的体温下降的平均变化率为，
它表示从到这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃．
（3）∵，
∴当趋于0时，趋于，即，
它表示太阳落山后时，蜥蜴的体温下降的速度为．
20.（1）由已知可得，.
（2）令，，
根据导数的定义可得，.
①当切点为点时，根据导数的几何意义知；
②当切点不是点时.
设切点坐标为，，则，
又，所以有，解得，
因为，所以此时无解.
综上所述，过点A的切线的斜率.
（3）由（2）知，曲线在点A处的切线的斜率，
代入点斜式方程有，，整理可得切线的方程为.
21．(1)根据一次函数、二次函数和指数函数性质可知.函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x在[0，＋∞)上都是增函数.
(2)列表：
函数区间 [0,2] [2,4] [4,6] [6,8]
f1(x)＝2x 2 2 2 2
f2(x)＝x2 2 6 10 14
f3(x)＝2x 6 24 96
(3)由上表可知：函数f1(x)＝2x随着自变量的增大，在自变量增量Δx的条件下，各区间上的函数平均变化率都相等，这说明函数呈匀速增长状态；
函数f2(x)＝x2在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明函数值随自变量增长的速度越来越快；
函数f3(x)＝2x在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明f3(x)的函数值随自变量增长的速度越来越快，并且比f2(x)的增长速度快的多.
22．(1)根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是
．
．
将分别代入两曲线方程得到，．
又，，则，解得，，．
(2)由（1）知，；当时，，故切线方程
为，即．
由（1）知，，当时，，故切线方程为，即．
综上所述，公切线所在的直线方程为．
(3)要使抛物线上的点M到直线的距离最短，则抛物线在点M处
的切线斜率应该与直线相同，
则，
解得．又因为点M在抛物线上，解得，
所以最短距离即d为点M到直线的距离，
代入点到直线的距离公式得．即最短距离为．