5.3.1函数的单调性 提升训练-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

5.3.1函数的单调性
一、单选题（本大题共7小题）
1. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
2. 函数是上的单调函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4. 函数在区间单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
6. 设为实数，函数，且是偶函数，则的单调递增区间为( )
A. B. ，
C. D.
7. 已知在区间上不单调，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题）
8. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
9. 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数，则的解所在的区间不可能是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数，若，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 当时，
三、填空题（本大题共3小题）
12. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
13. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ．
14. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共3小题）
15. 已知函数．
Ⅰ若在处的切线方程为，求，的值；
Ⅱ若在上为增函数，求的取值范围．
16. 已知函数．
当时，求函数的单调区间；
若函数存在单调增区间，求实数的取值范围．
17. 已知函数
若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间
若时，函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
解：由图象单调性可得，
当 ， ，时，，
当 ，时，，
等价于 或
的解集为 ，．
故选A．

2.【答案】
解：函数是上的单调函数，
即或舍在上恒成立，
，解得，
则的取值范围是．
故选D．

3.【答案】
解：由函数的图象，知当时，是单调递减的，所以；
当时，先单调递减，后单调递增，最后单调递减，所以先负后正，最后为负．
故选：．

4.【答案】
解：，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立．，
而在区间上单调递减，，
，
故的取值范围是：．
故本题选A．

5.【答案】
解：当时，，排除，
当时，
，
令，，
当，，函数是增函数，
当，，函数是减函数，，，，
存在，使得，且当，，即，函数是增函数，
当，，即，函数是减函数，不正确．
故选D．

6.【答案】
解：因为，
所以．
因为是偶函数，
所以对恒成立，
即，
所以，则．
令，解得或，
所以的单调递增区间为，．
故选：．

7.【答案】
解：函数，
，函数的定义域为，
函数在上不单调，
在区间上有解，
在上有解，
在上有解，
由得：或，
或，
解得：或，
故选C．

8.【答案】
解：，
若在上不单调，
令，
则函数与轴在有交点，
时，显然不成立
时，因为的对称轴为，
只需，即，
解得或，
即在区间上不单调的一个充要条件是或，
则在区间上不单调的充分不必要条件是集合的真子集，
所以正确的是和．
故选BC．

9.【答案】
解：当时，函数是开口向下的抛物线，只有两个单调区间，故C错误．
若函数有个单调区间，则，且其导函数必有个零点，
有个零点，
故，解得，则D错误．
当时，存在两个相异的根，，，
当，
故函数存在两个递增区间和一个递减区间，
符合题意，
当时，存在两个相异的根，，且，
当，
故函数存在两个递减区间和一个递增区间，
符合题意，
综上符合题意的的取值范围是，故AB正确．
故选AB．

10.【答案】
解：由，得，
则，即．
，，
由，解得，舍，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，
，，且，
的解所在区间可能是．
故选AD．

11.【答案】
解：对于选项A：设，函数单调递增，
则，即，所以，故A正确；
对于选项B：设，所以，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增；
所以不恒成立，故错误；
对于选项C：因为，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以不恒成立，故错误；
对于选项D：因为，
故，函数单调递增，
故
，
即，
由，
，
所以，
即，故正确．
故选．

12.【答案】
解：因为的定义域为，
所以，
由，解得，
即函数的递增区间为，
若函数在上单调递增，
则，即．
故答案为．

13.【答案】
解：在上单调递增，
在上恒成立，，，
由基本不等式得：当且仅当，即时取等号，
，即．
故答案为：．

14.【答案】
解：．
若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，
所以恒成立，得
因为，
所以，由可知，．
若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，
所以，得，结合可知，．
综上，若函数在区间上单调，则实数的取值范围为或．
所以若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为．
故答案为．

15.【答案】解：Ⅰ，，其中，
在处的切线方程为，
，解之得，
由此可得函数表达式为，得．
切点在直线上，可得，解之得．
综上所述，且；
Ⅱ在上为增函数，
，即在上恒成立
结合为正数，可得在上恒成立
而在区间上，故．
满足条件的实数的取值范围为．
16.【答案】解：当时，其定义域为．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，的单调减区间为，单调增区间为．
其定义域为，
若函数存在单调增区间，则在区间上有解，
即在区间上有解．
分离参数得，令，则依题意，只需即可．
，
即所求实数的取值范围为．
17.【答案】解：，由题意得
则，， ，
当时， ，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的单减区间为；的单增区间为．
若时，，
若函数在区间上是减函数，则 在上恒成立 ，
即，设，，
所以在上单调递增， ，
所以
即的取值范围为．