5.5.2简单的三角恒等变换 基础同步练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

绵阳市博美高中2022-2023年高一下基础同步练习（5.5.2恒等变换）
姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知cos θ＝－，－180°<θ<－90°，则cos 等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．已知函数，，则（ ）
A． B．在区间上有个零点
C．的最小正周期为 D．为图象的一条对称轴
4．该函数的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
5．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)
A．c6．魏晋南北朝时期，祖冲之利用害圆术以正边形，求出圆周率约，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知是锐角，那么下列各值中，能取得的值是（ ）
A． B． C． D．
8．下列三角式中，值为1的是（ ）
A． B． C． D．
9．(多选)已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为2 B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)关于直线x＝－对称 D．f(x)在上单调递增
三、填空题
10．已知，则__．
11．计算tan 20°＋4sin 20°＝________
12．计算cos 29°cos 31°－cos 2°
四、解答题
13．知<α<3π，试化简：＋cos .
14.已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x∈，求函数的值域．
15．(教材227页例10改编)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．
16．已知函数，，是方程的两个不相等的实根，且的最小值为.
（1）求函数的解析式；
（2）若，的值域是，求m的取值范围
参考答案：
1．B
【分析】由条件等式两边平方，结合同角三角函数的平方关系及二倍角正弦公式有，即可求.
【详解】由题设知：，
∴.
故选：B.
2．答案　B
解析　由－180°<θ<－90°可知－90°<<－45°，故cos ＝＝.
3．A
【分析】根据正弦型函数图象性质即可求解.
【详解】由题可知，
所以函数的值域为，故A正确；
令，即即，
令，，所以，
所以有两个零点，故B错误；
,故C错误；
令即，
没有任何能使得，故D错误；
故选:A.
4．C
【分析】根据辅助角公式化简结合三角函数的性质即得.
【详解】因为，又，
所以函数的最大值是2.
故选：C.
5．答案　C
解析　a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，c＝sin 25°，y＝sin x在0°≤x≤90°时上单调递增，∴a6．A
【分析】将代入，结合三角恒等变换思想化简可得结果.
【详解】将代入，
可得
.
故选：A.
7．AC
【分析】由于，，，所以由正弦函数的性质可得，，从而可得答案
【详解】解：因为，
又是锐角，所以，，
可得，，
可得，．
可得，，，．
故选：AC．
8．ABC
【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案.
【详解】A选项,，故正确.
B选项，，故正确.
C选项，，故正确.
D选项，，故错误
故选：ABC
9．答案　BCD
解析　∵f(x)＝sin 2x＋
＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋，
∴f(x)max＝＋＝，最小正周期T＝＝π.
当x＝－时，sin＝－1，
∴直线x＝－为对称轴．
当x∈时，2x－∈，
∴f(x)在上单调递增，
综上有B，C，D正确，A不正确．
10．
【分析】及角的范围即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
又，所以.
故答案为:.
11．答案　
解析　原式＝＋4sin 20°
＝＝
＝＝＝.
12．（解　(1)cos 29°cos 31°－cos 2°
＝[cos(29°＋31°)＋cos(29°－31°)]－cos 2°
＝cos 60°＋cos(－2°)－cos 2°
＝.
13.解　因为<α<3π，所以<<，
所以cos α<0，sin <0.
故原式＝＋cos
＝＋cos ＝＋cos
＝－sin ＋cos .
14.解　(1)因为f(x)＝(sin x＋cos x)2－2sin2x
＝sin2x＋2sin xcos x＋cos2x－2sin2x
＝2sin xcos x＋cos2x－sin2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，2x∈[0，π]，
所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以函数f(x)的值域是.
15解　如图，连接OC，设∠COB＝θ，
则0°<θ<45°，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ
＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ
＝(sin 2θ＋cos 2θ)－＝cos(2θ－45°)－.
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S(矩形ABCD)max＝(m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质，可知函数最小正周期，再根据三角函数的周期性即可求出，进而求出函数的解析式；
（2）由题意可知，又的值域是，可知，结合的图象可知，，由此即可求出结果.
【详解】（1）
.
.
因为的最小值为π，
所以的最小正周期，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由，可得，
因为的值域是，所以，
结合的图象可知，
解得，
所以m的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：（1）因为的最小值为，所以的最小正周期，是求解函数解析式的关键；（2）根据的图像和函数的值域，求出是解决第（2）问的关键点.