6.1平面向量的概念课时作业三-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

人教A版（ 2019） 必修第二册6.1平面向量的概念课时作业三
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个命题正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
2．下列关于向量的描述正确的是
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆
3．有下列命题：
①若，则；
②若，则四边形是平行四边形；
③若，，则；
④若，，则.
其中，假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．对于任意向量、，下列命题中正确的是（ ）
A．若满足且与同向，则 B．
C． D．
5．下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足且与同向，则；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若∥∥，则∥．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
6．已知，是夹角为60°的单位向量，则（ ）
A．7 B．13 C． D．
7．设，是非零向量，若对于任意的，都有成立，则
A． B． C． D．
8．已知向量，，则与共线的单位向量为
A． B．
C．或 D．或
二、多选题
9．下列结论中正确的是（ ）
A．与是否相等与，的方向无关 B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量
C．若，都是单位向量，则 D．向量与相等
10．下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则 D．对任一向量，是一个单位向量
11．下列说法正确的是（ ）
A．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量
B．若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点
C．若向量与不共线，则与都是非零向量
D．若，，则
12．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则的长度相等而方向相同或相反
B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C．若两个非零向量与满足，则
D．若空间向量，满足，且与同向，则
三、填空题
13．同起点而不平行的两个向量求和用通常采用______法则，当第二个向量的起点和第一个向量的终点重合时求和，通常采用______法则.由此可知，若干个起点，终点依次相接的向量和是以______为起点，______为终点的向量.
14．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有__________个.
15．若，是夹角为的两个单位向量，向量，则________．
16．如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有_____________个.
四、解答题
17．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
18．已知，，与的夹角是，计算
（1）；
（2）.
参考答案：
1．B
【解析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案．
【详解】解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；
若与不共线，则与都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；
共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；
两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．
故选：B．
【点睛】本题考查命题的真假判断与运用，考查了平行向量、向量相等的概念，属于基础题．
2．D
【解析】根据向量的方向性可判断A；根据平面向量数量积定义及夹角范围可判断B；共线向量有同向和反向两种，可判断C；根据向量模的定义可判断D.
【详解】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误；
对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误；
对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；
对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量中单位向量的概念和定义，注意向量的方向性，属于基础题.
3．C
【分析】根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可.
【详解】，则的方向不确定,则不一定相等, ①错误;
若,则的方向不一定相同,所以四边形不一定是平行四边形,②错误;
若,,则,③正确；
若，，则时,不一定成立,所以④错误.
综上,假命题的是①②④,共3个.
故选:C.
【点睛】本题主要考查平面向量的概念,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
4．B
【分析】A. 根据平面向量不能比较大小判断.B. 根据平面向量的三角形法则判断.C.根据 平面向量的数量积定义判断.D. 根据平面向量的三角形法则判断.
【详解】A. 平面向量不能比较大小，故错误.
B. 由平面向量的三角形法则知，正确.
C. 因为，所以，故错误.
D. 由平面向量的三角形法则知，，故错误.
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的概念，三角形法则以及数量积的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
5．A
【解析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
【详解】解：对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；
对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；
对于④，向量是可以自由平移的矢量，
当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；
对于⑤，时，若，则与不一定平行．
综上，以上正确的命题个数是0．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量的基本概念，涉及零向量、单位向量、平行向量、相等向量等，意在考查学生对于基础知识的掌握情况.
6．C
【分析】结合单位向量的定义及数量积的公式，求出，进而可求.
【详解】解：，所以.
故选:C.
【点睛】本题考查了单位向量的定义，考查了向量的数量积公式，考查了向量模的求解.本题的关键是求出模的平方.一般求向量的模时，可通过向量的平方等于模的平方这一性质，先求出向量平方的值，再求模；也可由模的坐标表示进行求解.
7．D
【分析】画出，，根据向量的加减法，分别画出的几种情况，由数形结合可得结果.
【详解】由题意，得向量是所有向量中模长最小的向量，如图，
当，即时，最小，满足，对于任意的，
所以本题答案为D.
【点睛】本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.
8．D
【解析】根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.
【详解】因为，，则，
所以，
设与共线的单位向量为，
则，
解得 或
所以与共线的单位向量为或.
故选：D.
【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.
9．AB
【分析】由向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义判断各选项．
【详解】对于C，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D，向量与互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB正确．
故选：AB．
10．ABCD
【分析】对于A，根据向量的概念判断，对于BCD，举例判断.
【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；
对于D，当时，无意义，故D错误．
故选：ABCD
11．CD
【分析】由平行向量的定义判断选项A不正确；由相等向量可得B不正确；由反证法可得C正确；由相等的传递性可得D正确．
【详解】有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确．两个相等的非零向量可以在同一直线上，故B不正确．若向量与不共线，则与都是非零向量，否则不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾，故C正确．若，则，的长度相等且方向相同；若，则，的长度相等且方向相同，所以，的长度相等且方向相同，故，故D正确．
故选：CD．
12．BC
【分析】A中结合模长与向量的关系可判断错误；B中结合向量可平移和共线的概念判断正确；
C中可判断与为相反向量，正确；D中向量大小不能进行比较，错误
【详解】A. 若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；
B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；
C. 若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；
D. 若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.
故选：BC
【点睛】本题考查对平面向量及空间向量基本概念的辨析，命题真假的判断，属于基础题
13． 平行四边形 三角形 第一个向量的起点 最后一个向量的终点
【分析】根据向量加法的平行四边形法则与三角形法则适用条件即可解答.
【详解】（1）同起点而不平行的两个向量求和用通常采用平行四边形法则，以两个向量为邻边作平行四边形，过共同起点的对角线所表示向量即为和向量；（2）当第二个向量的起点和第一个向量的终点重合时求和，通常采用三角形法则；（3）若干个起点，终点依次相接的向量和是以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量.
故答案为(1). 平行四边形 (2). 三角形 (3). 第一个向量的起点 (4). 最后一个向量的终点
【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边法则和三角形法则，属于容易题.
14．11
【分析】画图列举即可
【详解】马在处有两条路可走，在处有三条路可走，在处有八条路可走.如图，以点为起点作向量，共3个；以点为起点作向量，共8个所以共有11个.
故填11
【点睛】本题考查向量的概念，考查数形结合思想是基础题
15．
【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积化简求解即可．
【详解】解：因为，是夹角为的两个单位向量，
所以，，
故，
故答案为：．
16．39
【分析】数出与所占同样大小的矩形个数，再根据向量和向量模的定义求解即可.
【详解】图中占图的矩形，在整个的矩形中共能数出10个这么大的矩形，则这些矩形的对角线共有个，向量有方向，每一条对角线有两个方向，则模与的模相等的向量有个。则模与的模相等的向量（除本身）共有个.
故答案为：39个.
17．（1）见解析；（2）米
【解析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量.
（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.
【详解】（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题.
18．（1）（2）-3
【解析】（1）转化，利用数量积的的分配律和数量积的定义，即得解；
（2）转化，即得解
【详解】（1）；
（2）.
【点睛】本题考查了数量积的模长公式、运算律和定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题