人教A版( 2019) 必修第二册6.1平面向量的概念课时作业二
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.如图所示,梯形ABCD为等腰梯形,则两腰上的向量与的关系是( )
A.= B. C.> D.<
2.分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有( )
A.4个 B.6个 C.8个 D.12个
3.下列说法错误的是( )
A.向量与向量长度相等
B.单位向量都相等
C.向量的模可以比较大小
D.任一非零向量都可以平行移动
4.下列说法正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若,则
C.若,则
D.若,(),则与是平行向量
5.在等式①; ②;③;④;⑤若,则;正确的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.已知向量,是单位向量,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
7.与向量共线的单位向量是( )
A.和 B.
C.和 D.
8.对于单位向量、,下列一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.下列说法正确的是( )
A.与是非零向量,则与同向是的必要不充分条件
B.是互不重合的三点,若与共线,则三点在同一条直线上
C.与是非零向量,若与同向,则与反向
D.设为实数,若,则与共线
10.下列说法中正确的是( )
A.若为单位向量,则 B.若与共线,则或
C.若,则 D.是与非零向量共线的单位向量
11.下列说法中正确的是( )
A.力是既有大小,又有方向的量,所以是向量
B.若向量,则
C.在四边形中,若向量,则该四边形为平行四边形
D.速度、加速度与位移的合成与分解,实质上就是向量的加减法运算
12.下列结论中正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D.“”的充要条件是“且”
三、填空题
13.对下列命题:(1)若向量与同向,且,则;(2)若向量,则与的长度相等且方向相同或相反;(3)对于任意向量,若与的方向相同,则;(4)由于方向不确定,故不与任意向量平行;(5)向量与平行,则向量与方向相同或相反.其中正确的命题的个数为________
14.给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;③的充要条件是且.其中正确命题的序号是_______.
15.下列结论正确的序号是_______.
①若,都是单位向量,则;
②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量;
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量;
④直角坐标平面上的x轴,y轴都是向量.
16.下列几种说法:(1)所有的单位向量均相等;(2)平行向量就是共线向量;(3)平行四边形中,一定有;(4)若,则.其中所有的正确的说法的序号是_________.
四、解答题
17.如图,和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形,设的边长为a,写出图中给出的长度为的所有向量中,
(1)与向量相等的向量;
(2)与向量共线的向量;
(3)与向量平行的向量.
18.已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地,再从地按南偏东方向飞行到达地,再从地按西南方向飞行到达地.画图表示向量,并指出向量的模和方向.
参考答案:
1.B
【分析】根据向量的大小和方向来判断,另外再根据向量除了相等,是不能比较大小的来判断.
【详解】与是等腰梯形的两腰,则它们必不平行,但长度相同,故,
又向量不是实数,是不能比较大小的.
故选:B.
2.C
【分析】由图形一一列出可得答案.
【详解】如图,以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为:
,共8个.
故选:C.
3.B
【分析】A.由相反向量判断;B.由单位向量判断;C.由向量的长度是数量判断;D.由相等向量判断.
【详解】A.和长度相等,方向相反,故正确;
B.单位向量长度都为1,但方向不确定,故错误;
C.向量的长度可以比较大小,即模长可以比较大小,故正确;
D.向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零向量都可以平行移动,故正确.
故选:B.
4.D
【分析】根据相等向量,共线向量的定义判断可得;
【详解】解:对于,单位向量的模长相等,但方向不一定相同,所以错误;
对于,当时,其模长与可能相等或,或,所以错误;
对于,当时,不一定有,因为要且与同向,所以错误;
对于,,(),则与是平行向量,正确.
故选:.
【点睛】本题考查了平面向量的基本概念应用问题,属于基础题.
5.C
【解析】由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质,即可判断正误,进而确定答案.
【详解】零向量与任何向量的数量积都为0,错误;
0乘以任何向量都为零向量,正确;
向量的加减、数乘满足结合律,而向量点乘不满足结合律,错误;
向量模的平方等于向量的平方,正确;
不一定有,故错误;
故选:C
【点睛】本题考核查了向量,利用向量相关概念、性质判断正误,属于基础题.
6.C
【分析】根据单位向量的概念进行分析即可.
【详解】单位向量的模长都为,方向不一定相同,所以正确,
故选:C.
7.A
【分析】设,求出,再由与共线的单位向量是,求出结果.
【详解】解:设,,,
向量,,的模为,
故与向量,,共线的单位向量是,
即或,
故选:A.
8.D
【分析】根据单位向量的定义可知,,这样即可判断出答案.
【详解】解:都是单位向量,方向不一定相同,故A错误;两个向量夹角不确定,故B错误;只有两个向量同向时,C才正确;
∵,故一定成立,故D正确.
故选:D.
【点睛】本题考查了单位向量的定义,属于基础题.
9.ABC
【分析】A选项:根据相等向量的定义即可判断;
B选项:根据向量共线的性质,可知A、B、C三点共线;
C选项:与同向,则与反向,显然正确;
D选项:如果,则无法得知与共线.
【详解】与同向,但不一定与相等,,若,则与同向,
且有=,与同向是的必要不充分条件,A正确.
与共线,则有=,故一定有三点在同一条直线上,B正确.
与同向,则与反向,C正确.
时,与不一定共线,D错误.
故选:ABC
10.CD
【分析】根据向量的基本概念,以及零向量和单位向量的定义,逐项判定,即可求解.
【详解】对于A中,向量的方向不一定相同,所以A错误;
对于B中,向量与的长度不一定相等,所以B错误;
对于C中,由,根据零向量的定义,可得,所以C正确;
对于D中,由,可得与向量同向,
又由的模等于,所以是与非零向量共线的单位向量,所以D正确.
故选:CD.
11.AD
【分析】根据向量的定义,共线向量的定义,逐项判定,即可求解.
【详解】对于A中,根据向量的定义,力是既有大小,又有方向的量,所以是向量,所以A正确;
对于B中,向量,则或与共线,所以B错误;
对于C中,在四边形中,若向量、则只有一组对边平行,不一定是平行四边形,所以C错误;
对于D中,根据向量的运算法则,可得速度、加速度与位移的合成与分解,实质上就是向量的加减法运算,所以D正确.
故选:AD.
12.BC
【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可.
【详解】对于A,两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同;
对于B,由平面向量相等可得B正确;
对于C,若A,B,C,D是不共线的四点,则当时,且,故四边形ABCD为平行四边形;
当四边形ABCD为平行四边形时,且,故且同向,故,故C正确;
对于D,当且方向相反时,即使,也不能得到,故D错误;
故选:BC
13.1
【分析】根据向量的定义以及相关概念,对选项进行逐一分析即可.
【详解】(1)向量不可比较大小,故(1)错误;
(2)向量的模长相等,不能确定方向的关系,故(2)错误;
(3)当向量模长相等,且方向相同时,则向量相等,故(3)正确;
(4)与任意向量平行,故(4)错误;
(5)若与有一个向量是零向量,则方向不确定,故(5)错误.
故正确的命题个数为.
故答案为:.
【点睛】本题考查向量的定义、性质和相关概念,属基础题.
14.②
【解析】根据向量的基本概念与性质判定即可.
【详解】①不正确,共线向量不一定在同一条直线上,也可能在两条平行直线上;
②正确 ∵,∴且,
又A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形为平行四边形.
反之,若四边形为平行四边形,则且,∴;
③不正确,当且方向相反时,,但不能得到,故且不是的充要条件,而是必要不充分条件.
故答案为:②
【点睛】本题主要考查了向量的基本概念与性质,属于基础题型.
15.②③
【解析】根据题意,对题目中的命题进行分析、判断正误即可.
【详解】解:对于①,,都是单位向量,则不一定有,①错误;
对于②,物理学中的作用力与反作用力大小相等,方向相反,
是一对共线向量,②正确;
对于③,如图所示,
方向为南偏西的向量与北偏东的向量在一条直线上,
是共线向量,③正确;
对于④,直角坐标平面上的轴、轴只有方向,没有大小,
不是向量,④错误;
综上,正确的命题序号是②③.
故答案为:②③.
【点睛】本题通过命题真假的判断考查了平面向量的概念与应用问题,属于基础题.
16.(2) (3)
【分析】根据向量的概念判断.
【详解】(1)单位向量的方向可能不相同,因此单位向量不一定相等,(1)错;
(2)平行向量就是共线向量,(2)正确;
(3)平行四边形中,方向相同,大小相等,一定有,(3)正确;
(4)时,虽然有,,但的方向可能不相同,(4)错.
故答案为:(2)(3).
【点睛】本题考查向量概念,掌握向量概念是解题基础.只要注意向量不仅有大小,还有方向,从两个方面考虑就不会出错.
17.(1),;(2),,,,;(3),,,,.
【分析】(1)利用相等向量定义可得解;
(2)利用共线向量定义可得解;
(3)利用平行向量定义可得解.
【详解】(1)与向量相等的向量,即与向量大小相等,方向相同的向量,有,;
(2)与向量共线的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有,,,,;
(3)与向量平行的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有,,,,.
18.答案见解析.
【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量,然后在三角形中求向量的模和方向.
【详解】以为原点,正东方向为轴正方向,正北方向为轴正方向建立直角坐标系.
由题意知点在第一象限,点在x轴正半轴上,点在第四象限,
向量如图所示,
由已知可得,
为正三角形,所以.
又,,
所以为等腰直角三角形,
所以,.
故向量的模为,方向为东南方向.