6.2.4向量的数量积课时练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

高中数学高一下 人教2019A版必修第二册
6-2 平面向量的运算（4） 课时练习
一、单选题
1．已知非零向量、满足，且，则的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形
2．若非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．已知菱形的对角线，点在另一对角线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量与的夹角为，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
6．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．若向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．若点均位于单位圆上，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．若单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，E点在边AC上，设AD与BE交于点P，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．已知 是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A． 的夹角是 B． 的夹角是
C． D．或
12．已知平面向量满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，则____________.
14．已知向量，，，_______．
15．在中，，若O为外接圆的圆心，则的值为__________．
16．已知平面向量，，的夹角为，则________．
17．已知等边的边长为，P为它所在平面内一点，且，则的最大值为___________.
三、解答题
18．已知，，．求：
(1)；
(2)．
19．已知空间三个向量 的模均为1，它们相互之间的夹角均为.
(1)求证：向量垂直于向量；
(2)已知，求k的取值范围.
20．已知单位向量的夹角为，向量，向量.
(1)若∥，求x的值；
(2)若，求.
21．已知向量满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
22．设，是两个不共线的非零向量.
(1)记，，，那么当实数为何值时，，，三点共线？
(2)若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小？
23．已知，，且．
(1)求与的夹角；
(2)求．
答案及解析：
1．D
【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状。
【解析】解：因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，
由， 的角平分线与垂直，
为等腰三角形，且，
且，
，又，
，
，
三角形为等边三角形．
故选：D．
2．C
【分析】设与的夹角为，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得，进而得答案.
【解析】解：根据题意，设与的夹角为，则，
若，则，
即，
又由，则，
故选：C．
3．B
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【解析】由已知可得.
故选：B.
4．B
【分析】设，则为的中点，且，可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【解析】设，则为的中点，且，如下图所示：
，所以，.
故选：B.
5．A
【解析】利用向量数量积的定义即可求解.
【解析】由，则，，
又向量与的夹角为，
所以.
故选：A
6．C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【解析】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
7．A
【分析】根据投影向量的求法求解即可
【解析】因为，，
所以在上的投影为，
又与同向的单位向量为
则在上的投影向量为，
故选：A
8．A
【分析】由可求得，利用向量线性运算和数量积的运算性质可求得，由可求得最大值.
【解析】设为圆心，则，
，解得：；
；
，.
故选：A.
9．B
【分析】先求出，然后用夹角公式求解.
【解析】由，得，
所以，所以，
又，所以.
故选：B.
10．C
【分析】利用向量数量积的几何意义求解.
【解析】如图：
由向量数量积的几何意义得：，
故选：C.
11．D
【分析】向量模平方转化为的二次函数的最小值问题.
【解析】设的夹角为，由题可知，
，
，是两个单位向量，且的最小值为，
的最小值为，则，
解得，与的夹角为或，
或，
或.
故选: D
12．D
【解析】利用求出，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可.
【解析】，即，
．．
故选：D．
13．
【分析】已知，可借助两边平方带入、即可完成求解.
【解析】将两边平方，得，得.
故答案为：.
14．
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【解析】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
15．10
【分析】作出边垂线，利用向量的运算将用表示，得有向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另一个向量的投影的乘积即可求得答案
【解析】过作，垂足分别为，
因为O为外接圆的圆心，
所以分别为的中点，
所以
,
故答案为：10
16．
【分析】利用向量数量积定义可求得，由数量积的运算律可求得结果.
【解析】，.
故答案为：.
17．7
【分析】求出，再利用向量的三角不等式建立关系，求解作答.
【解析】等边的边长为，令，则有：
由，即，得，
所以的最大值为7.
故答案为：7
18．(1)3
(2)
【分析】利用平方法进行求解﹒
(1)
由，得，则，所以；
(2)
因为，所以．
19．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）证明，由垂直关系的向量表示即可得证；
（2）利用数量积的运算律，结合，即可得到关于k的不等式，求解即可
(1)
证明： 因为，且 之间的夹角均为，
所以，
所以向量垂直于向量；
(2)
，
所以.
因为，
所以，解得或.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由，可得存在实数，使得，然后将，代入化简可求出x的值，
（2）由，可得，再将，代入化简可求出x的值，从而可求出
（1）
因为，所以存在实数，使得，
即，
则有，，
解得；
（2）
由，有，
即，
解得，
故，
所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由，即可求解；
（2）由，代入即可求解.
（1）
解：因为，
可得，解得.
（2）
解：因为，所以.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据，，三点共线，可得，列方程组即可求解；
（2）由条件可得，再根据，可得最小值，即可求解实数的值.
(1)
解：∵，，三点共线，
∴，
∵，，
∴，
∴，解得.
(2)
解：∵且与夹角为，
∴，
∴，
∴当时，取得最小值，
∴当时，的值最小.
23．(1)
(2)2
【分析】（1）根据向量的数量积运算律求解即可；
（2）根据向量模的运算求解即可.
【解析】（1）∵，，
由化简得，∴
∵，∴
（2）
．