5.1.1 变化率问题 同步练习
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，定义域为，设分别表示在区间上的平均变化率，则（ ）
A． B．
C． D．无法确定
3．已知是函数的导函数，若，则（ ）
A． B．2 C． D．8
4．某汽车启动阶段的路程函数为，则秒时，汽车的加速度是（ ）
A．16 B．9 C．10 D．26
5．设在处可导，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在处的导数为2，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
7．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数在处连续，则
B．函数的不连续点是和
C．若函数，满足，则
D．
二、多选题
9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的（ ）
A． B．
C． D．
10．若当，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．曲线上点处的切线斜率为
D．曲线上点处的切线斜率为
11．已知点，在函数的图像上，若函数从到的平均变化率为，则下面叙述正确的是（ ）
A．曲线的割线AB的倾斜角为
B．曲线的割线AB的倾斜角为
C．曲线的割线AB的斜率为
D．曲线的割线AB的斜率为
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．叫做函数值的增量
B．叫做函数在上的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
三、填空题
13．设函数在处的导数为2，则__________.
14．若，则______．
15．已知自由落体运动中，物体下落的距离s（单位：m）与时间t（单位：s）满足的函数关系为，则处于100 m高的物体在开始落下到1秒这段时间中的平均速度是______m/s．
16．已知函数在处的导数为11，则=___________.
四、解答题
17．已知函数，，，求实数a，b的值.
18．已知自由落体的物体的运动方程为，求：
(1)物体在到这段时间内的平均速度；
(2)物体在时刻的瞬时速度.
19．一个质点沿直线运动，运动方程为，其中t的单位为s，s的单位为m．
(1)计算内的平均速度v；
(2)求当t＝0，1，2，3s时的瞬时速度；
(3)求t＝1s到3s的平均加速度a．
20．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在时的瞬时速度；
(3)求到时的平均速度．5.1.1 变化率问题 同步练习
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：因为函数，
所以，
故选：C
2．如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，定义域为，设分别表示在区间上的平均变化率，则（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
所以在区间上的平均变化率由大变小，即．
故选：A
3．已知是函数的导函数，若，则（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【详解】
故选：C
4．某汽车启动阶段的路程函数为，则秒时，汽车的加速度是（ ）
A．16 B．9 C．10 D．26
【答案】D
【详解】设汽车的速度函数为，则，
，所以秒时，汽车的加速度是.
故选：D
5．设在处可导，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为在处可导,
所以，由导数的定义可得：.
故选：A
6．已知函数在处的导数为2，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】根据极限与导数的关系可知，
故选:D.
7．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为,
所以,
故选:A.
8．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数在处连续，则
B．函数的不连续点是和
C．若函数，满足，则
D．
【答案】C
【详解】由连续函数的定义知A正确；
函数的定义域是，因此其不连续点是和，B正确；
，D正确；
例如，，，但与不存在，C错．
故选：C．
二、多选题
9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，
故函数的图象应一直下凹的.则选项B满足条件，
所以在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD选项，
故选：ACD.
10．若当，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．曲线上点处的切线斜率为
D．曲线上点处的切线斜率为
【答案】AD
【详解】由得：，即，
曲线上点处的切线斜率为，C错误；D正确；
，A正确；B错误.
故选：AD.
11．已知点，在函数的图像上，若函数从到的平均变化率为，则下面叙述正确的是（ ）
A．曲线的割线AB的倾斜角为
B．曲线的割线AB的倾斜角为
C．曲线的割线AB的斜率为
D．曲线的割线AB的斜率为
【答案】BC
【详解】函数从到的平均变化率就是割线AB的斜率，
所以，所以C正确，割线AB的倾斜角为，所以B正确.
故选：BC.
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．叫做函数值的增量
B．叫做函数在上的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
【答案】ABD
【详解】A中，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；
B中，称为函数在到之间的平均变化率，B正确；
由导数的定义知函数在处的导数记为，故C错误，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．设函数在处的导数为2，则__________.
【答案】2
【详解】因为函数在处的导数为2，即，
所以，
故答案为：2.
14．若，则______．
【答案】2
【详解】因为，
根据导数的概念可得，，
即，所以.
又，所以.
故答案为：2.
15．已知自由落体运动中，物体下落的距离s（单位：m）与时间t（单位：s）满足的函数关系为，则处于100 m高的物体在开始落下到1秒这段时间中的平均速度是______m/s．
【答案】4.9
【详解】由已知可得，物体在开始落下到1秒这段时间中的平均速度是.
故答案为：.
16．已知函数在处的导数为11，则=___________.
【答案】
【详解】根据题意，由极限的性质可得＝，
又由函数f（x）在x＝x0处的导数为11，即＝11，故＝
故答案为：
四、解答题
17．已知函数，，，求实数a，b的值.
【答案】，
【详解】解：∵
，
∴.
又，∴.
故，.
18．已知自由落体的物体的运动方程为，求：
(1)物体在到这段时间内的平均速度；
(2)物体在时刻的瞬时速度.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)
解：物体在到这段时间内路程的增量，因此，物体在这段时间内的平均速度
(2)
物体在时刻的瞬时速度.
19．一个质点沿直线运动，运动方程为，其中t的单位为s，s的单位为m．
(1)计算内的平均速度v；
(2)求当t＝0，1，2，3s时的瞬时速度；
(3)求t＝1s到3s的平均加速度a．
【答案】(1)
(2)8 m/s；0 m/s；－8 m/s；－16 m/s.
(3)-8 m/s
【详解】
(1)在t到t＋Δt的时间内，质点的平均速度为.
(2)
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于8－8t，所以ts时质点的瞬时速度为(8－8t) m/s.
t＝0s时的瞬时速度为8 m/s，
t＝1s时的瞬时速度为0 m/s，
t＝2s时的瞬时速度为－8 m/s，
t＝3s时的瞬时速度为－16 m/s.
(3)
m/s2.
20．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在时的瞬时速度；
(3)求到时的平均速度．
【答案】(1)3m/s
(2)
(3)1m/s
【详解】(1)
运动物体的初速度即时的瞬时速度，即 ，即物体的初速度为3m/s．
(2)
根据题意，可知 ，即此物体在时的瞬时速度为．
(3)
，即到时的平均速度为1m/s．
