6.3二项式定理题型总结
题型一：二项式通项的应用
例1 (1)6的展开式中常数项是____(用数字作答)．
(2)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
(3)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20
C．30 D．60
方法总结：二项式通项的应用策略
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简二项式通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代入通项公式即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
跟踪训练
1、设n为正整数，n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )
A．－112 B．112
C．－60 D．60
2、展开式中的常数项为( )
A．90 B．20
C．540 D．600
3、(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
4、在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
5、(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
6、(x2－x＋1)10的展开式中x3项的系数为( )
A．－210 B．210
C．30 D．－30
7、的展开式中x2y2项的系数是( )
A．420 B．－420
C．1 680 D．－1 680
8、6的展开式中，常数项为____；系数最大的项是____.
9、在(x2－x－2)5的展开式中，x3的系数为( )
A．－40 B．160
C．120 D．200
10、(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
11、的展开式中的常数项为( )
A．1 B．21
C．31 D．51
12、(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．
13、二项式8的展开式的常数项是____.
14、在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
15、在(2x－1)6的展开式中，x3的系数是________．(用数字作答)
16、的展开式中所有的有理项为________．
17、已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为________．
18、(1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为________．
19、在5的展开式中，x2的系数为____.
20、已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________．
21、若5的展开式中的常数项为－，则实数a的值为____.
22、若(3x2－a)5的展开式中x3的系数为－80，则a＝____.
23、已知二项式n的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为____.
题型二:各二项式系数和与各项系数和
例2（1）已知二项式的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为________．
(2)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2·(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为________．
方法总结：赋值法求系数和的应用技巧
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.令x＝0，可得a0＝f(0)．
跟踪训练
1、若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则下列结论中正确的个数为( )
①a0＝1
②a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝
③a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝
④＋＋＋…＋＝－1
A．1 B．2
C．3 D．4
2、已知(x3＋)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为( )
A．20 B．30
C．40 D．50
3、在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为( )
A．15 B．45 C．135 D．405
4、若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝( )
A．1 B．513 C．512 D．511
5、已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋＋＋…＋＝－128，则( )
A．m＝2
B．a3＝280
C．a0＝1
D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14
6、若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a0＝( )
A．－32 B．－2
C．1 D．32
7、已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212 B．211
C．210 D．29
8、在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为( )
A．15 B．45
C．135 D．405
9、已知＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a0＋a1＋a2＋…＋an＝16，则自然数n＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
10、1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( )
A．2n－1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n
11、若的展开式中x3的系数是－160，则下列说法错误的是( )
A．a＝－ B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为64 D．常数项为－320
12、设(1＋x2)(2－x)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则(1)a0＝____；
(2)a1＋a3＋a5＝____；
(3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝____；
(4)a2＝____；
(5)a0＋a2＋a4＋a6＝____.
(6)a1＋2a2＋…＋6a6＝____.
13、已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________．
14、若(2－x)17＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a16(1＋x)16＋a17(1＋x)17，则
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a16＝________；
(2)a1＋2a2＋3a3＋…＋16a16＝________．
题型三：二项展开式中的系数最值问题
例3 (1)二项式(x＋)n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
(2)已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．
方法总结：求解二项展开式中系数的最值策略
(1)求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．
(2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果．
跟踪训练
1、展开式中系数最大的项是( )
A．第2项 B．第4项
C．第2项和第3项 D．第3项和第4项
2、在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )
A．－7 B．7 C．－28 D．28
3、已知二项式n的展开式中所有项的系数和为512，函数f(r)＝C，r∈[0，n]且r∈N，则函数f(r)取最大值时r的取值为( )
A．4 B．5
C．4或5 D．6
4、已知n的展开式中前三项的系数成等差数列．
①求n的值；
②求展开式中系数最大的项．6.3二项式定理题型总结（答案）
题型一：二项式通项的应用
例1 (1)6的展开式中常数项是__240__(用数字作答)．
(2)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( A )
A．12 B．16
C．20 D．24
(3)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( C )
A．10 B．20
C．30 D．60
解：(1)展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝2rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，故常数项为24C＝240.
(2)(1＋x)4的二项展开式的通项为
Tk＋1＝Cxk(k＝0,1,2,3,4)，
故(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为C＋2C＝12.故选A．
(3)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.故选C．
方法总结：二项式通项的应用策略
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简二项式通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代入通项公式即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
跟踪训练
1、设n为正整数，n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( B )
A．－112 B．112
C．－60 D．60
解：依题意得，n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Cx8－r·r＝Cx8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为 T3＝C(－2)2＝112.
2、展开式中的常数项为( C )
A．90 B．20
C．540 D．600
3、(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( C )
A．5 B．10
C．15 D．20
解：(x＋y)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－ryr，
∴(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15，故选C．
4、在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( D )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
解：选D.展开式中含x3的项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.
5、(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( C )
A．5 B．10 C．15 D．20
因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cx5－ryr，所以(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15.故选C.
6、(x2－x＋1)10的展开式中x3项的系数为( )
A．－210 B．210
C．30 D．－30
解：(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，所以含x3项的系数为－CC＋C(－C)＝－210.
7、的展开式中x2y2项的系数是( )
A．420 B．－420
C．1 680 D．－1 680
解：表示8个因式的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取－，其余的4个因式都取1，可得x2y2项．故展开式中x2y2项的系数是C×22×C×C＝420，故选A.
8、6的展开式中，常数项为__60__；系数最大的项是__240x6__.
解： 6的展开式的通项为
C·(2x2)6－k·k＝C·26－k·x12－3k，
令12－3k＝0，得k＝4，所以，展开式中的常数项为C·22＝60；
令ak＝C·26－k(k∈N，k≤6)，
令，即，
解得≤n≤，∵n∈N，∴n＝2，因此，展开式中系数最大的项为C·24·x6＝240x6.
9、在(x2－x－2)5的展开式中，x3的系数为( C )
A．－40 B．160
C．120 D．200
10、(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( A )
A．12 B．16
C．20 D．24
11、的展开式中的常数项为( D )
A．1 B．21
C．31 D．51
12、(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为___-15_____．
解：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2.故x2的系数为－15.
13、二项式8的展开式的常数项是__7__.
解：Tr＋1＝C()8－r· r＝Cx，由8－4r＝0得r＝2，故常数项为T3＝C＝7.
14、在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
解：该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－k·xk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
15、在(2x－1)6的展开式中，x3的系数是________．(用数字作答)
解析：由题意得，(2x－1)6的展开式中含x3的项为xC(2x)2(－1)4＋C(2x)4(－1)2＝－180x3，所以展开式中x3的系数为－180.
16、的展开式中所有的有理项为________．
解析：二项式通项为Tk＋1＝Ckx，由题意得∈Z，且0≤k≤10，k∈N.令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，因为k∈N，所以r应为偶数．所以r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x－2.
17、已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为___240_____．
18、(1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为________．
解：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为CC35＋C(－1)C34＋C(－1)2C33＋C(－1)3C32＋C(－1)4C31＋C(－1)5C30＝92.
19、在5的展开式中，x2的系数为__－960__.
20、已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________．
解:(ax＋1)6的展开式中x2项的系数为Ca2，x项的系数为Ca，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－Ca2＋Ca＝0，因为a为正实数，所以15a＝6，所以a＝.
21、若5的展开式中的常数项为－，则实数a的值为__－__.
22、若(3x2－a)5的展开式中x3的系数为－80，则a＝__－4__.
23、已知二项式n的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为__240__.
题型二:各二项式系数和与各项系数和
例2（1）已知二项式的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为________．
(2)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2·(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为________．
解：(1)因为二项式的展开式的二项式系数和为64，所以2n＝64，即n＝6，所以二项式通项为Tr＋1＝C(2x)6－r·＝C26－r(－1)rx9－r，r＝0，1，2，3，4，5，6.
所以展开式中有理项是r＝0或r＝6时对应的项，所以展开式中有理项系数和为C26(－1)0＋C20(－1)6＝65.
(2)令x＝0得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
则a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7，解得a7＝－1.
故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.
方法总结：赋值法求系数和的应用技巧
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.令x＝0，可得a0＝f(0)．
跟踪训练
1、若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则下列结论中正确的个数为( C )
①a0＝1
②a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝
③a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝
④＋＋＋…＋＝－1
A．1 B．2
C．3 D．4
2、已知(x3＋)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为( C )
A．20 B．30
C．40 D．50
3、在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为( C )
A．15 B．45 C．135 D．405
4、若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝( D )
A．1 B．513 C．512 D．511
5、已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋＋＋…＋＝－128，则( D )
A．m＝2
B．a3＝280
C．a0＝1
D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14
6、若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a0＝( D )
A．－32 B．－2
C．1 D．32
7、已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( D )
A．212 B．211
C．210 D．29
8、在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为( C )
A．15 B．45
C．135 D．405
9、已知＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a0＋a1＋a2＋…＋an＝16，则自然数n＝( C )
A．6 B．5
C．4 D．3
10、1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( C )
A．2n－1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n
11、若的展开式中x3的系数是－160，则下列说法错误的是( D )
A．a＝－ B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为64 D．常数项为－320
12、设(1＋x2)(2－x)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则(1)a0＝__2__；
(2)a1＋a3＋a5＝__－8__；
(3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝__0__；
(4)a2＝__5__；
(5)a0＋a2＋a4＋a6＝__8__.
(6)a1＋2a2＋…＋6a6＝__0__.
13、已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝____5____；a2＋a3＋a4＝___10_____．
14、若(2－x)17＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a16(1＋x)16＋a17(1＋x)17，则
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a16＝___217＋1_____；
(2)a1＋2a2＋3a3＋…＋16a16＝___17－17×216_____．
题型三：二项展开式中的系数最值问题
例3 (1)二项式(x＋)n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
(2)已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．
解： (1)由题意得n＝20，
所以的二项式通项为
Tr＋1＝C·(x)20－r·
＝()20－r·C·x20－，
要使x的指数是整数，需r是3的倍数，
所以r＝0，3，6，9，12，15，18，
所以x的指数是整数的项共有7项．
(2)由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)·(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5·＝－8 064.设第k＋1项的系数的绝对值最大，则Tk＋1＝C·(2x)10－k·＝(－1)kC·210－k·x10－2k，令
得
即解得≤k≤，
因为k∈Z，所以k＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－C·27·x4＝－15 360x4.
故二项式系数最大的项为－8 064，系数的绝对值最大的项为－15 360x4.
方法总结：求解二项展开式中系数的最值策略
(1)求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．
(2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果．
跟踪训练
1、展开式中系数最大的项是( D )
A．第2项 B．第4项
C．第2项和第3项 D．第3项和第4项
2、在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( B )
A．－7 B．7 C．－28 D．28
3、已知二项式n的展开式中所有项的系数和为512，函数f(r)＝C，r∈[0，n]且r∈N，则函数f(r)取最大值时r的取值为( C )
A．4 B．5
C．4或5 D．6
4、已知n的展开式中前三项的系数成等差数列．
①求n的值；
②求展开式中系数最大的项．
解： ①由题设，得C＋×C＝2××C，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍去)．
②设第r＋1项的系数最大，则
即解得r＝2或r＝3.
所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x.
