等比数列课时训练答案
一、单选题
1．已知数列是等比数列，且，，则公比（ ）
A． B．2或－2
C．－2 D．或
【答案】D
【分析】利用等比数列的通项公式求解.
【详解】解：因为数列是等比数列，且，，
所以，解得，
则，
故选：D
2．已知等比数列的前n项和为，其中，的值为（ ）
A．128 B．64 C．63 D．127
【答案】A
【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，列出方程，即可求得，从而求得结果.
【详解】由题意，显然首项不为0且公比不为1，可得，解得，所以
故选:A
3．已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．7 B．14 C． D．
【答案】B
【分析】利用等比数列的性质求出，再利用等差数列性质及前n项和求解作答.
【详解】等比数列中，，而，解得，即，
等差数列中，.
故选：B
4．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30 B．10 C．9 D．6
【答案】B
【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案.
【详解】为正数的等比数列，则，可得，
∵，
∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，
故.
故选：B.
5．已知为等比数列的前项和，与分别为方程的两个根，则（ ）
A．5 B．8 C．15 D．
【答案】A
【分析】先求出方程的两个根，然后进行分类讨论即可
【详解】设等比数列的公比为
由可得两个实数根为，
因为与分别为方程的两个根，
所以该方程组无实数解；
或者，解得，
所以
故选：A
6．已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）
A．3 B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项得出第1、5、17项，根据等比中项得出，即可根据等比数列公比求法得出答案.
【详解】数列是公差为的等差数列，
则，
则，，
第1、5、17项顺次成等比数列，
则，解得，
则这个等比数列的公比，
故选：A.
7．等比数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，由题意可得，而，代入计算可得.
【详解】设等比数列的公比为，
则，解得，
故.
故选：D.
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ）
A．999 B．749 C．499 D．249
【答案】A
【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.
【详解】由得，因此数列为公比为5，
首项为的等比数列，故，进而根据累加法
得，
由于，又，
因此，则，故，
所以，
故选：A
【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
二、多选题
9．设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ）
A． B．当时，
C． D．
【答案】BC
【分析】根据等比数列的定义和性质可判断求解A,B,C，利用基本不等式可确定D.
【详解】A选项：因为，所以，所以A不正确；
B选项：因为，，则，
所以，所以，所以B正确；
C选项：因为，所以，
所以，所以C正确；
D选项：，
当且仅当时，等号成立．所以D不正确．
故选:BC.
10．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．数列是等比数列
C．若数列的前n项和，则
D．若首项，公比，则数列是递减数列
【答案】BC
【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，，
A选项，由于，所以与的符号相同，所以A选项错误.
B选项，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，B选项正确.
C选项，，
当时，，
则，
由于是等比数列，所以，C选项正确.
D选项，若首项，公比，则，所以D选项错误.
故选：BC
11．已知数列满足，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．数列为等比数列
C．若，则数列的前n项和为 D．若，则数列单调递减
【答案】ACD
【分析】由题知时，数列为等比数列，再根据等比数列的知识依次讨论各选项即可.
【详解】解：对于A选项，当时，由得，所以数列为等比数列，，故A选项正确；
对于B选项，当时，，此时数列不是等比数列，故B选项错误；
对于C选项，当时，由得，所以数列为等比数列，
所以，数列的前n项和为，故C选项正确；
对于D选项，当时，由得，所以数列为等比数列，
所以，，所以数列单调递减，故D选项正确．
故选：ACD
12．设数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
【答案】ABD
【分析】先根据条件求出递推关系，结合选项逐个验证可得答案.
【详解】对于A，，所以，A正确；
对于B，因为，所以，
所以，所以，
于是，B正确；
对于C，，但不满足，故不是等比数列，C错误；
对于D，因为，所以，即是首项为1，公比为4的等比数列，D正确．
故选：ABD.
三、填空题
13．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则___________.
【答案】
【分析】根据等比中项的性质得到，再根据等差数列的通项公式得到，从而得到，即可得解.
【详解】因为，，成等比数列，所以，
即，即，所以（舍去）或，
所以.
故答案为：
14．已知等比数列满足，，则_______．
【答案】
【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.
【详解】，
，解得，
，
故答案为：
15．记等比数列的前项和为，若，则该等比数列的公比______.
【答案】
【分析】排除，由等比数列求和公式代入方程求得公比.
【详解】因为，易得，所以，解得.
故答案为：.
16．已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和______.
【答案】
【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项，再利用裂项相消法求解作答.
【详解】数列的前n项和为，，，当时，，
两式相减得：，即，而，解得，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．在数列中，，，．
(1)证明为等比数列；
(2)求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，从而得到，最后用累加法即可求出，同时验证是否满足即可．
【详解】（1）证明：由得，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得，
，即，
，，，
用累加法即可得，
即，
，
又也满足上式，
．
18．已知等差数列为递增数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，，成等比数列可得，与进行联立即可求解；
（2）由（1）得，利用裂项相消法即可.
【详解】（1）设递增的等差数列的公差为，首项为，
因为，，成等比数列，所以，即①，
又，所以②，
联立①②解得，
故.
（2）由（1）可知，，
所以数列的前n项和.
19．设等比数列其前项和为，满足，.
(1)求的值.
(2)记为数列的前项和，若，求.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，再根据求和公式求解即可；
（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果.
【详解】（1）解：设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
（2）解：由（1）知，，令，
所以，
根据，可得，
整理得，
因为，所以，
20．已知数列为等差数列，，，数列满足，
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项的和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）设数列的公差为，根据等差数列通项公式化简条件求，由此可求数列的通项公式，再由等比数列定义证明数列为等比数列；
（2）利用组合求和法求数列的前n项的和.
【详解】（1）设数列的公差为，
因为，，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，
所以数列为等比数列；
（2）由(1) ，
所以，
，
，
，
21．已知为正项等比数列，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件结合等比数列通项的性质，求出公比，即可得数列通项；
（2）根据数列特征，用错位相减法求数列前项和.
【详解】（1）因为为正项等比数列，且，所以.
设等比数列的公比为，则 ， 解得.
故
（2）依题意有
所以，
则，
两式相减，
可得
故
22．已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用及等比数列的定义即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式求出；再由“错位相减法”和等比数列的前n项和公式证明结论.
【详解】（1）时，由，得，两式相减可得：，
∴，
∵时，，
∴，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，则.
（2）由（1）可知，，
∵，
∴，故.
令，
则，
∴，
∴，即.
又因为,所以等比数列课时训练
一、单选题
1．已知数列是等比数列，且，，则公比（ ）
A． B．2或－2
C．－2 D．或
2．已知等比数列的前n项和为，其中，的值为（ ）
A．128 B．64 C．63 D．127
3．已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．7 B．14 C． D．
4．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30 B．10 C．9 D．6
5．已知为等比数列的前项和，与分别为方程的两个根，则（ ）
A．5 B．8 C．15 D．
6．已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）
A．3 B． C．2 D．4
7．等比数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ）
A．999 B．749 C．499 D．249
二、多选题
9．设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ）
A． B．当时，
C． D．
10．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．数列是等比数列
C．若数列的前n项和，则
D．若首项，公比，则数列是递减数列
11．已知数列满足，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．数列为等比数列
C．若，则数列的前n项和为 D．若，则数列单调递减
12．设数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
三、填空题
13．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则___________.
14．已知等比数列满足，，则_______．
15．记等比数列的前项和为，若，则该等比数列的公比______.
16．已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和______.
四、解答题
17．在数列中，，，．
(1)证明为等比数列；
(2)求.
18．已知等差数列为递增数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
19．设等比数列其前项和为，满足，.
(1)求的值.
(2)记为数列的前项和，若，求.
20．已知数列为等差数列，，，数列满足，
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项的和．
21．已知为正项等比数列，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
22．已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求证：．
