导数的几何意义课时作业答案
一、单选题
1．设函数在处的导数为2，则（ ）．
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【分析】根据导数的定义与极限的性质计算即可.
【详解】.
故选：A.
2．如图，已知函数f(x)的图像在点处的切线为l，则（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．1
【答案】D
【分析】数形结合，求出切线斜率和切点坐标，即可计算.
【详解】由图像可得，切线过点和，切线斜率为，，
切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：D.
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.
【详解】函数的定义域为，其导函数，
所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为1，又，
故曲线在点处的切线方程为.
故选：D.
4．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值．
【详解】由，得，
因为函数的图象在处的切线与直线垂直，
所以，则．
故选：A．
5．设函数的图像在处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求导得到切线斜率，写出切线方程，再求出轴截距即可.
【详解】因为，所以的方程为，
即,令，解得,则在轴上的截距为.
故选：B
6．若直线是曲线在某点处的切线，则实数（ ）．
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设切点，求导数利用已知建立方程组解出即可.
【详解】设切点为，
由，
得，
则①，
由题意得：，
联立①可得，，
故选：C．
7．如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据的增长速度求得正确答案.
【详解】当时，的增长速度越来越快；
当时，的增长速度越来越慢；
所以B选项符合.
故选：B
8．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.
【详解】设与直线平行的直线的方程为，
∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，
设切点， ，所以，
，，，
点，直线的方程为，
两点间距离的最小值为平行线和间的距离，
两点间距离的最小值为.
故选：.
二、多选题
9．某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（ ）
A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度
B．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度
C．18m/s是物体从3s到s这段时间内某一时刻的速度
D．18m/s是物体从3s到s这段时间内的平均速度
【答案】ACD
【分析】由瞬时速度定义可得答案.
【详解】因表示秒这一时刻的瞬时速度，则表示在3s这一时刻的瞬时速度，故不选B，选ACD.
故选：ACD
10．过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解.
【详解】因为，所以，
由题意得直线的斜率，
即，解得或
故选:AD.
11．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由导数的几何意义，即可得到所求切点
【详解】切线的斜率，
设切点为，则，
又，
所以，
所以或，
所以切点坐标为或．
故选：AB．
12．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C上的点与定点距离的最小值是
B．曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是
C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是
D．曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是2
【答案】ABD
【分析】A选项，设出曲线任意一点的坐标，根据两点间的距离公式以及基本不等式求得“最小值”；B选项，结合点到直线的距离公式求得正确答案，C选项，通过求实半轴来进行判断；D选项，通过求切线方程来进行判断.
【详解】曲线C的方程是，则，所以曲线是反比例函数对应的图象，即曲线是双曲线.
A选项，设是曲线上的任意一点，
，
令，则，
当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
所以.
所以，
，
所以当时，取得最小值为，A选项正确.
B选项，到直线的距离为，
所以曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是，
B选项正确.
C选项，由上述分析可知曲线是双曲线，由于曲线的图象关于对称，
所以是双曲线实轴所在直线，
由解得或，
点与点的距离是，所以双曲线的实轴长，
而双曲线的实半轴，所以C选项错误.
D选项，，
所以在曲线上任意一点处的切线方程为，
令得；令得，
所以曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
13．函数在区间上的平均变化率等于___________.
【答案】5
【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案.
【详解】解：因为在区间上，，
所以其平均变化率.
故答案为：5.
14．已知函数的图象在点处的切线方程是，则______.
【答案】
【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解.
【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得，
因此，.
故答案为：.
15．设a为实数，函数的导函数为，若是偶函数，则__________，此时，曲线在原点处的切线方程为______________．
【答案】
【分析】由偶函数的定义得出的值，再由导数的几何意义求切线方程.
【详解】，因为是偶函数，所以在上恒成立，
则恒成立，故.
因为，，
所以曲线在原点处的切线方程为，即.
故答案为：；
16．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____.
【答案】
【分析】根据题意，找到与直线平行且与曲线相切时的切点坐标，再结合点到直线的距离公式，即可得到结果.
【详解】设直线与相切，则切线的斜率为
且，令，则，即切点的横坐标为，
将，代入，可得，即切点坐标为，
所以点P到直线的距离的最小值即为到直线的距离，
即，
故答案为:
四、解答题
17．已知一物体的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，求此物体在时的速度．
【答案】.
【分析】根据导数的定义，可求出.
【详解】因为，，
根据导数的概念可得，，即.
所以，，
所以此物体在时的速度是．
18．（1）求曲线，在点处的切线方程；
（2）求过点的抛物线的切线方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；
（2）先设出切点坐标为，再利用导数几何意义即可求得过点的抛物线的切线方程．
【详解】（1），可知所求切线的斜率
故所求切线的方程为，即．
（2）设切点坐标为，，可知所求切线的斜率
∵切线过点和点，∴，
解得或，∴切线的斜率为2或6
故所求切线的方程为或，
即或．
19．已知函数的图象过点，且．
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据点以及列方程，从而求得的值.
（2）利用切点和斜率求得切线方程.
【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①．
又，，
所以②，
由①②解得：，．
（2）由（1）知，
又因为，，
所以曲线在处的切线方程为，
即．
20．（1）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程.
（2）已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线方程.
【答案】（1）；（2）或
【分析】根据导数的几何意义即得.
【详解】（1）由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
切线方程为，即；
（2）设切线的斜率为，直线与抛物线相切的切点坐标为，则直线方程为，
因为，所以，
又点在切线上，
所以，
解得或，
则或，
所以直线方程为或，
即或.
21．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.若直线为曲线______的切线.
(1)求切点坐标；
(2)求实数的值.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选①，；选②，．
(2)选①，；选②，．
【分析】（1）若选择①，设切点为，根据，即可求出切点坐标；若选择条件②，设切点为，根据，即可求出切点坐标；
（2）根据切点在切线上，即可求出实数的值.
(1)
选择条件①：
设切点为，因为，所以，所以切线的斜率为，解得，所以切点为．
选择条件②：
设切点为，因为，所以，
所以切线的斜率为，解得，所以切点为．
(2)
选择条件①：
由（1）知切点为，因为点在直线上，所以，即．
选择条件②：
由（1）知切点为，因为点在直线上，所以，即．
22．已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求导，根据两曲先都经过点，且在点P处有公切线求解；
（2）由（1）得到公切线方程，分别令，，再利用面积公式求解.
（1）
解：两函数和的导数分别为：
和，
由题意，
解得；
（2）
由（1）知公切线方程为，
即，
令得，令得，
所以所求面积为；导数的几何意义课时作业
一、单选题
1．设函数在处的导数为2，则（ ）．
A． B．2 C． D．6
2．如图，已知函数f(x)的图像在点处的切线为l，则（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．1
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数的图像在处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
6．若直线是曲线在某点处的切线，则实数（ ）．
A． B．1 C．2 D．3
7．如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（ ）
A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度
B．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度
C．18m/s是物体从3s到s这段时间内某一时刻的速度
D．18m/s是物体从3s到s这段时间内的平均速度
10．过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C上的点与定点距离的最小值是
B．曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是
C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是
D．曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是2
三、填空题
13．函数在区间上的平均变化率等于___________.
14．已知函数的图象在点处的切线方程是，则______.
15．设a为实数，函数的导函数为，若是偶函数，则__________，此时，曲线在原点处的切线方程为______________．
16．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____.
四、解答题
17．已知一物体的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，求此物体在时的速度．
18．（1）求曲线，在点处的切线方程；
（2）求过点的抛物线的切线方程．
19．已知函数的图象过点，且．
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程．
20．（1）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程.
（2）已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线方程.
21．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.若直线为曲线______的切线.
(1)求切点坐标；
(2)求实数的值.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
22．已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
