6.1平面向量的概念能力提升练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

第六章6.1平面向量的概念能力提升--人教版A版必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若，则；③④；⑤若，则，，为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
A．①④ B．①②④ C．①②⑤ D．③⑥
2．下列说法正确的个数为（ ）
①若，是两个单位向量，则；
②若，，则；
③与任何一向量平行，则；
④.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列命题中正确的个数是 （ ）
（1）若为单位向量，且，则； （2）若且，则；
（3）； （4）若平面内有四点A、B、C、D，则必有.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知单位向量 ，满足.若常数 的取值集合为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知单位向量的夹角为60°，若向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量，满足，，，则的值是（ ）
A． B．7 C． D．10
二、多选题
9．下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
10．以下选项中，能使成立的条件有（ ）
A． B．或
C． D．与都是单位向量
11．有下列说法其中正确的说法为（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若分别表示的面积，则
12．下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
三、填空题
13．设，是非零向量，则是成立的________条件．
14．在线段的反向延长线上（不包括端点），且，则实数的取值范围是___________.
15．下列五个命题：
①向量与共线，则必在同一条直线上；
②如果向量与平行，则与方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；
④若，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有______个.
16．给出下列命题：
①若 ，则；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
四、解答题
17．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
18．若向量，满足，，求的最大值及最小值.
参考答案：
1．A
【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若，则，必须有，故②错误；
对于③：，与不共线，故③错误；
对于④：，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若，则为一个三角形的三个顶点，也可为，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
2．A
【分析】利用单位向量，向量平行，向量的数量积公式直接求解.
【详解】在①中，若，是两个单位向量，则，故①错误；
在②中，若若，，则当时，不一定成立，故②错误；
在③中，与任何一向量平行，由零向量平行于所有向量，得，故③正确;
在④中，由向量得数量积不满足结合律，得不成立，故④错误.
故选：A
【点睛】本题考查了向量的相关知识点，考查了学生概念理解，综合分析的能力，属于基础题.
3．B
【分析】根据向量大小与方向确定命题(1)(2)(3)真假.根据向量加法判断（4）真假.
【详解】若为单位向量，且，则；(1)错，
若，则但不一定成立；（2）错，
因为，所以（3）错，
因为,所以（4）对，
选B.
【点睛】向量有关概念的5个关键点
(1)向量：方向、长度．
(2)非零共线向量：方向相同或相反．
(3)单位向量：长度是一个单位长度．
(4)零向量：方向没有限制，长度是0.
(5)相等相量：方向相同且长度相等．
4．B
【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，即，，
所以四边形是平行四边形，
因为，即，
所以四边形是菱形.
故选：B
5．A
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】①错误，只有速度，位移是向量．
②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．
③错误，
④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向．
故选：A.
6．B
【分析】由条件，化简为，再根据条件判断和的取值，再根据，求的最大值.
【详解】由条件得，
和的取值只有三种可能，分别为 ，
但二者不可能同时一个取，另一个取，
∴的化简结果只有四种形式： ，
而，故所有可能取值只有或两种结果，
∴的最大值为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断和的取值，从而利用，求的最大值.
7．B
【解析】设单位向量,则,,可得,即可求得表示的几何意义,画出图形,由图形求解即可
【详解】由题,设单位向量,,,
则,
由,
所以,即,
其几何意义为圆心为,半径为的圆面,如图所示,
由图形知,当的终点在点处时,取得最大值为,
故选:B
【点睛】本题考查向量的模的应用,考查向量的坐标表示,考查数形结合思想
8．C
【分析】根据可求得，再计算即可。
【详解】由于，所以，又因为，故.所以有.
故选：C
【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于中档题。
9．AD
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
10．BC
【分析】对于A、D：取特殊向量分别为x、y轴上的单位向量，否定结论；
对于B：由零向量与任何向量平行，即可判断；对于C：由向量平行的判定定理即可判断.
【详解】对于A、D：不妨取分别为x、y轴上的单位向量，满足“”，满足“与都是单位向量”，但是不成立.故A、D错误；
对于B：由零向量与任何向量平行，可知或时，.故B正确；
对于C：因为，所以.故C正确.
故选：BC
11．CD
【分析】利用向量的传递性和向量的线性运算及向量共线的充要条件可判断A、B、C项，运用三角形重心向量的表示和性质，结合三角形面积的求法可判断D项.
【详解】对于A项，若，且，则，故A项错误；
对于B项，若，且，则存在唯一实数使得，故B项错误；
对于C项，两个非零向量，若，则与共线且反向，C项正确；
对于D项，因为，整理得
如图所示：
故,所以三点共线；故，,
所以，故，故D项正确.
故选：CD.
12．ABC
【分析】根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定义可判断B；当时可判断C；根据单位向量的定义可判断D，进而可得答案.
【详解】对于A，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
对于B，零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，
则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反，故B错误；
对于C，若，则零向量与任意向量平行，
所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行，故C错误；
对于D，由单位向量的定义可得，对任一非零向量，其单位向量为，故D正确.
故选：ABC.
13．必要不充分
【分析】正向推导分同向时，反向时讨论，反向推导时利用向量共线定理即可得到.
【详解】，是非零向量
当同向时，，
当反向时，，
故前者无法推出后者，
若 ，即，则，
故后者可以推出前者，
故是成立的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分.
14．
【分析】结合题意设，再由整理得，由此得到，从而得解.
【详解】依题意，设，
因为，所以，
则，故，所以.
故答案为：.
15．0
【分析】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④；利用零向量与任何向量共线可判断⑤.
【详解】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错；
对于②，若为零向量，零向量与任意向量平行，故②错；
对于③，，则四点可能共线，故③错；
对于④，，只能说明、的长度相等但确定不了方向，故④错；
对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错.
所以正确的命题有0个，
故答案为：0
16．③
【解析】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.
【详解】①错误．若，则①不成立；
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上．
故答案为：③
【点睛】本题主要考查平面向量的概念及其关系，要注意零向量的方向任意，与任何向量是共线向量；判断向量是否共线，要根据向量的方向来进行判断，属于基础题.
17．（1）5；（2）2.
【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.
18．最大值是18，最小值是6.
【分析】根据向量的三角不等式即可求解.
【详解】因为，，
所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号；
，当且仅当向量，方向相反时取得等号.
所以的最大值是18，最小值是6.