6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课时练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

2022-2023学年度高一数学人教A版（2019）课时练习
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
一、单选题
1．已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
3．已知，点在内，且，设，则（ ）
A． B． C． D．
4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度从点处移动到点处，其所用时间长短为
A．2 B．3 C．4 D．8
5．在△ABC中，已知，则BC边的中线AD的长是
A． B．
C． D．
6．如图所示，若向量、是一组单位正交向量，则向量2在平面直角坐标系中的坐标为
A．（3，4） B．（2，4）
C．（3，4）或（4，3） D．（4，2）或（2，4）
7．若，，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2；
③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O；
④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．与同向的单位向量为________．
10．若向量的始点为，终点为，则向量的模为________
11．已知A(7，1)、B(1，4)，直线y=ax与线段AB交于C，且=2，则实数a等于________
12．如图，向量，，的坐标分别是________，___________，_____________．
三、解答题
13．设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值．
14．已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标．
15．在直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，分别求出它们的坐标．
16．以原点O及点A(2，-2)为顶点作一个等边△OAB，求点B的坐标及向量的坐标.
参考答案
1．A
【详解】因为与同向的单位向量为，
，
，
所以
2．C
【详解】设点的坐标为，则，，
因为，即，
所以，解得，所以.
3．C
【详解】因为
由平面向量数量积定义可知
所以以为坐标原点,以所在直线为轴,以所在直线为轴建立平面直角坐标系.
由可知
因为点在内,且
所以直线的方程为.设
由
可得
由向量的坐标运算可得,即
所以
4．B
【详解】由题意可知，，，
则，，
则所用时间.
5．B
【详解】由题意知：中点为

6．A
【详解】以向量、公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系
∵1＝（1，0），2＝（0，1）
∴2（2，1），得∵（1，3），
∴2（2，1）+（1，3）＝（3，4）
即2在平面直角坐标系中的坐标为（3，4）
7．A
【详解】，，
，，
，，
即，，
两式作和得：，
令，则，；
，，则，
的最小值为.
8．A
【详解】由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x，y使，①正确；
举反例，=(1,0)≠(1,3)，但1=1，②错误；
由向量可以平移，所以=(x,y)与a的始点是不是原点无关，③错误；
当的终点坐标是(x,y)时，=(x,y)是以的始点是原点为前提的，④错误．
9．
【详解】由题得:,
所以与向量同向的单位向量.
10．5
【详解】解：因为向量的始点为，终点为，所以，所以
11．2
【详解】设C(x，y)，则=(x-7，y-1)，
=(1-x，4-y).
因为=2，
所以解得所以C(3，3).
又C点在直线y=ax上，
故3=a，得a=2.
12．
【详解】将向量，，分别向基底，所在的直线分解，
则，，，
所以，，，
13．
【详解】因为点A（l，2），B（3，2），
所以，
又因为向量与相等，
所以，
解得．
14．；；；.
【详解】由所给图形，正的边长为2，则顶点，线段中点，
所以，，，．
15．．
【详解】解：设点，
∵，且，
∴，．
又，
∴，．
故，．
16．B(2，2)，=(0，4)或B(0，-4)，=(-2，-2).
【详解】试题分析：因为△OAB是等边三角形，分两种情况进行讨论，然后求出点B的坐标及向量的坐标.
试题解析：
因为△OAB是等边三角形，
所以||=||=||=4.
又以Ox为始边，OA为终边的角为或-(如图)，
所以当B在OA上方时，以OB为终边的角为，
由任意角三角形函数的定义，得
==(2，2)，
所以=-=(2，2)-(2，-2)=(0，4)，
当B在OA下方时，以OB为终边的角为或-，得=(0，-4)，
所以=-=(0，-4)-(2，-2)
=(-2，-2)，
综上所述，B(2，2)，=(0，4)
或B(0，-4)，=(-2，-2).