6.4.3正弦定理余弦定理能力提升同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

6.4.3正弦定理余弦定理能力提升--人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量 画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．若为锐角三角形，且a=3，则当面积最大时，其内切圆面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，是三角形的三边，那么代数式的值（ ）
A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能确定
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
6．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．近日，吉林市丰满区东山顶上新建了一处打卡地朱雀云顶观景塔，引来广大市民参观,某同学在与塔底水平的A处利用无人机在距离地面21的C处观测塔顶的俯角为，在无人机正下方距离地面1的B处观测塔顶仰角为，则该塔的高度为（ ）
A．15 B．16 C． D．
8．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是和图象的连续相邻的三个交点，若为钝角三角形，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．1
11．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件
B．若，则为等腰三角形
C．命题“若，则”是真命题
D．若，，，则符合条件的有两个
12．已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则周长的最大值为
D．若，则面积的最大值为
三、填空题
13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积等于______．
14．在中，点D在边BC上，，，.若的面积为7，则_________.
15．已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为______.
16．如图，已知是半径为的圆的直径，点，在圆上运动且，则当梯形的周长最大时，梯形的面积为__________．
四、解答题
17．在锐角中，角所对的边分别是，满足.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
18．如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】连接AC，BD．利用正弦定理求出，，，再利用托勒密定理求出，即得解.
【详解】连接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因为四边形ABCD内接于半径为的圆，
它的对角互补，所以，
所以,所以，
所以四边形ABCD的周长为．
故选：A．
2．D
【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.
【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为.
设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，当且仅当时等号成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，当且仅当时等号成立，
因此，这块四边形木板周长的最大值为.
故选：D.
3．D
【分析】先用正弦定理角化边整理可得，由余弦定理可得，结合面积公式和基本不等式分析可得当为等边三角形时，面积取到最大值，再利用等面积法求内切圆半径即可.
【详解】∵，则，
整理得，则，
∵为锐角三角形，则，故，
由面积为，
可得当面积取到最大值，即为取到最大值，
∵，即，即，
当且仅当，即为等边三角形时等号成立，
故当为等边三角形时，面积取到最大值，
设的内切圆半径为，则，解得，
故内切圆面积为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：解三角形求面积的取值范围（或最值）的两种方法：
（1）利用余弦定理建立三边之间的关系，结合不等式求取值范围（或最值）；
（2）利用正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换和三角函数求取值范围（或最值）.
4．A
【分析】利用余弦定理，可得，再根据余弦函数的性质，得解．
【详解】由余弦定理知，，
所以，
因为，所以，
所以，
而，所以．
故选：．
5．A
【分析】易知结合余弦定理可得，然后边化角后利用展开，然后化简可得.
【详解】由余弦定理以及可得：，
又在三角形中有，即，
所以
故.
故选：A．
6．B
【分析】设，利用正弦定理可表示出，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦型函数最值求法可求得结果.
【详解】设，则，
，，，，，
在中，由正弦定理得：，
，
，，
当，即时，取得最大值.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查几何图形中的面积最值的求解，解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量的函数的形式，结合三角恒等变换和三角函数值域的知识求解得到最值.
7．B
【分析】根据题意即可求得为直角三角形，计算出点与塔顶的高度差，即可求得塔高.
【详解】根据题意可得，m，m，所以m；
设塔顶为点，作于，如下图所示：
易知，所以，
所以m，同理m，
即塔高m；
所以该塔的高度为16.
故选：B
8．B
【分析】由正弦定理边化角可得，由△ABC为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数在上的值域.
【详解】∵，即：，，
∴，
∴由正弦定理得：，即：，
∴，
∴或，解得：或（舍），
又∵△ABC为锐角三角形，则，
∴，解得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即的取值范围.
故选：B.
9．BC
【分析】利用余弦定理可判断出选项AB，再根据两角和与差的正弦、余弦公式以及平方关系化简可得C正确，D错误.
【详解】根据余弦定理可得；
即，所以B正确，A错误；
根据两角和与差的正弦公式可得：
即C正确；
对于D：
，所以D错误.
故选：BC
10．ABC
【分析】先由平移变换的得到，然后将和联立求出两图像相邻交点的坐标，根据为钝角三角形即可求解.
【详解】由题意可知：，
令，解得：，故，
因为点是和图象的连续相邻的三个交点，
不妨令可得：，，所以，
令可得：，，所以，
令可得：，，所以，
，，
，
因为为钝角三角形，由余弦定理可得：
，
所以，因为，所以，
故选：.
11．AC
【分析】由为锐角三角形，可得，根据正弦函数的单调性以及诱导公式可得.取为钝角，可知满足题意，即可判断A项；由已知可得或，即可判断B项；根据正弦定理，即可判断C项；根据余弦定理可求出，即可判断D项.
【详解】对于A项，若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；
对于B项，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C项，若，则，由正弦定理，可得即成立，故C正确：
对于D项，根据余弦定理可得，解得（舍去负值），则符合条件的只有一个，故D错误．
故选：AC.
12．ACD
【分析】利用两角和差余弦公式可化简已知等式求得，利用正弦定理边化角，结合同角三角函数平方关系可构造方程求得，进而知A正确；将的值代入已知等式可求得，知为等比三角形，得B错误；在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，进而知C正确；设，代入三角形面积公式中，根据二次函数最值的求法可知D正确.
【详解】，
，解得：，
由得：，
，
，解得：（舍）或，
，，A正确；
，，，即，
为等边三角形，，B错误；
，，
在中，由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），
解得：，周长的最大值为，C正确；
设，则，
，
则当时，取得最大值，D正确.
故选：ACD.
13．##
【分析】由，，结合余弦定理得到，再由利用正弦定理得到求解.
【详解】解：由，①知，，
由余弦定理，得．
又，
所以．
由及正弦定理，得②．
联立①②，得，
所以的面积为．
故答案为：．
14．
【分析】根据给定条件，求出，再利用正弦定理求出AD，利用三角形面积公式求出BD，然后利用余弦定理计算作答.
【详解】依题意，如图，，，而，
在中，，
，由正弦定理得，
在中，，
解得，由余弦定理得.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及求平面图形的边长、面积问题，可以把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
15．
【分析】设的三边长分别为，根据余弦定理确定三角形最大角角为钝角，利用大边对大角及正确函数性质，可知三个内角的正切值最大为，再利用余弦定理及同角三角关系即可求得得值.
【详解】不妨设的三边长分别为，则由大边对大角可得，
所以最大角为，
由余弦定理得：，又，故角为钝角，
所以，
又函数在上递增，此时，在上递增，此时，
所以三个内角的正切值最大为，
由余弦定理得：，则，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】连接，设，过点作交于点，过点作交于点，即可表示出，，，再根据平面几何的性质得到，从而表示出，结合二次函数的性质求出的最大值及此时的值，再根据梯形面积公式计算可得.
【详解】连接，设，，过点作交于点，过点作交于点，
设圆的半径为，则，
则，，
因为，所以，则，即梯形为等腰梯形，
所以，
所以
，
所以当，即时，，
所以，，，所以，，
所以.
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理化简得，再利用两角和差的正弦公式及三角形的性质得，得证；（2）弦切互化转化为正弦复合函数，先求角C的范围，然后换元，利用函数单调性求范围.
【详解】（1）由及余弦定理
得，
由正弦定理得：，
又，
，
，
，
都是锐角，
，即.
（2）令
，
由（1）得，
在锐角三角形中，，即，
解得，，
令，，
又函数在上单调递增，
，
故的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，进而得到A，B，C，D四点共圆，利用正弦理即可求解.
（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.
【详解】（1）在中，，
所以，由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以.因为，
所以，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径.
又，所以.
（2）由（1）可知：，则.，
则.
在中，由正弦定理，
，所以，，则
，
又，所以，所以，，所以.