函数学考复习题
一、单选题
1．已知函数，若，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，下列对应关系中从到的函数为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若集合，，则（ ）
A． B．[0，1]
C． D．
6．下列函数值域为的函数为（ ）
A． B．
C． D．
7．方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
11．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为________．
14．已知函数，若，则________
15．已知幂函数为偶函数，则实数的值为__________.
16．设，，，则a，b，c的大小关系是______.
三、解答题
17．已知集合，．
(1)求；
(2)设集合，若，求a的取值范围．
18．已知函数
(1)求，的值；
(2)若，求实数a的值；
(3)直接写出的单调区间．
19．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求证：为偶函数，并求的解集.
20．已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求；
(2)证明：在上为增函数．
21．已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
22．已知函数，且的图象经过点.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最小值；
(3)若，求证：在区间内存在零点.函数学考复习答案
一、单选题
1．已知函数，若，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据题意，由求解对数方程，即可得到结果.
【详解】由题意可得，当时，，
且，则，解得
故选:D
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，解不等式得出定义域.
【详解】由题意可得，解得且，即函数的定义域为.
故选：D
3．已知集合，下列对应关系中从到的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可．
【详解】对于A，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故A错误，
对于B，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故B错误，
对于C，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故C错误，
对于D，在对于关系中，因为，所以，且则集合中任意一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合到集合的函数，故D正确，
故选：D．
4．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依次判断各个选项中的函数与已知函数的定义域和解析式是否相同即可得到结果.
【详解】由题意知：的定义域为；
对于A，的定义域为，，
与不是同一函数，A错误；
对于B，的定义域为，，
与是同一函数，B正确；
对于C，的定义域为，与不是同一函数，C错误；
对于D，的定义域为，与不是同一函数，D错误.
故选：B.
5．若集合，，则（ ）
A． B．[0，1]
C． D．
【答案】D
【分析】先求得集合，，再求其并集即可．
【详解】由，得，故，
由，得，故，
故．
故选：D．
6．下列函数值域为的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出每个选项的值域即可求解.
【详解】的值域为，A错误；
的值域为，B正确；
的值域为，C错误；
的值域为，D错误；
故选：B
7．方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定方程，构造函数并判断函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答.
【详解】令函数，则方程的解即为函数的零点，
而函数在R上单调递增，，，
因此函数的零点在区间内，
所以方程的解所在的区间为.
故选：C
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及指数运算，再借助“媒介数”判断作答.
【详解】，，，而，即，
所以.
故选：D
9．已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数定义可设，代入所过点坐标即可求得结果.
【详解】设幂函数，则，，.
故选：B.
10．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A，根据对数函数图像与性质可判断B，利用函数奇偶性的判断以及其解析式即可判断C，根据常见幂函数的图像与性质即可判断D.
【详解】对A，设，其定义域为，则其定义域关于原点对称，
且，则函数为奇函数，故A错误，
对B，根据对数函数的定义域为，可知其不具备奇偶性，故B错误，
对C，当，，可知其在上单调递减，
设，其定义域为，关于原点对称，
且，故函数为偶函数，故C正确，
对D，根据幂函数图象与性质知为奇函数，故D错误，
故选：C.
11．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为，所以为偶函数，排除A,B选项；
易知当时，为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.
故选：C.
12．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.
【详解】因为是幂函数，
所以即解得或，
当时，在上是减函数，
当时，在上是增函数，
所以“”是“幂函数在上是减函数”的充要条件，
故选:C.
二、填空题
13．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为________．
【答案】
【分析】根据函数为奇函数,由已知得函数在上单调递增，则函数在上单调递增，又，可得函数大致图象，结合图象即可得解集.
【详解】已知是定义在上的奇函数，则，且
又对任意且，都有，
不妨设，则，所以，即，
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
又，所以，
则函数的大致图象如下图：
根据图象可得不等式的解集为：.
故答案为：.
14．已知函数，若，则________
【答案】
【分析】根据常见函数奇偶性，等量代换解决即可.
【详解】由题知，函数，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
15．已知幂函数为偶函数，则实数的值为__________.
【答案】
【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可.
【详解】为幂函数，，解得：或；
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不合题意；
综上所述：.
故答案为：.
16．设，，，则a，b，c的大小关系是______.
【答案】
【分析】根据对数函数单调性得到，再得到，，比较出大小.
【详解】因为在上单调递增，故，
所以，
而，，
故.
故答案为：
三、解答题
17．已知集合，．
(1)求；
(2)设集合，若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得，然后由集合的运算法则计算；
（2）由交集是空集得的不等关系，从而得参数范围．
【详解】（1）依题意，，
或，
所以，则；
（2）因为，，
则且，解得，
所以a的取值范围为．
18．已知函数
(1)求，的值；
(2)若，求实数a的值；
(3)直接写出的单调区间．
【答案】(1)；
(2)
(3)单调递增区间，单调递减区间，
【分析】（1）根据分段函数定义直接代入计算即可；（2）分类讨论实数a的取值范围，解方程即可得出符合题意的a的值；（3）画出函数图象即可直接写出单调区间．
【详解】（1）根据分段函数解析式可得，
易知；所以
即.
（2）①当时，，
解得，或（舍）.
②当时，，解得（舍）.
综上可得.
即实数a的值为
（3）画出函数图象如下所示：
所以，单调递增区间，单调递减区间，
19．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求证：为偶函数，并求的解集.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，不等式解集为或
【分析】（1）由有意义，列出不等式求解即可；
（2）由题意列出方程求解可；
（3）利用偶函数的定义证明；根据的解析式，不等式可化为，求解即可.
【详解】（1）要使得有意义，只需，得，故得，
所以函数的定义域为；
（2）因为，得，即，解得；
（3）因为，
由，得或，则的定义域为，
又，所以为偶函数；
由，得，则，所以或，
所以的解集为或.
20．已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求；
(2)证明：在上为增函数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的性质求出参数的值，再代入检验即可；
（2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，此时，
所以，符合题意，
所以.
（2）证明：由（1）知，
设且，则
，
因为且，所以，，，
所以，即，所以在上为增函数.
21．已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；（2）作出函数的图象，从而得函数的单调递增区间，由题意列不等式求解，即可得答案.
【详解】（1）设，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以函数在上的解析式为.
（2）作出函数的图象，如图所示，
由函数图象可知，在上单调递增，
根据题意得，，解得，
所以实数的取值范围为.
22．已知函数，且的图象经过点.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最小值；
(3)若，求证：在区间内存在零点.
【答案】(1)2
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)根据点在函数图象上直接求解；
(2)利用指数函数的单调性求解；
(3)根据零点的存在性定理证明.
【详解】（1）因为函数，且的图象经过点，
所以，因为，所以.
（2）由(1)得，
所以在区间上单调递增，
所以.
（3）,
,,
根据零点的存在性定理可知在区间内存在零点.
