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专题02 整式与因式分解
【考情预测】
以考查整式的加减、乘除、乘法公式、幂的运算、因式分解、探究规律为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右。预计2023年浙江各地中考还将继续考查幂的运算性质、因式分解、整式的化简、代入求值、探究规律、整式相关的新定义问题等，为避免丢分，学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1）代数式：代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.
2）整式
1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.
注：①单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；②一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.
3．整式：单项式和多项式统称为整式.
4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.
5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.
7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
8．乘法公式：
（1）平方差公式：. （2）完全平方公式：.
9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
3）因式分解
1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.
（2）公式法：运用平方差公式：.运用完全平方公式：.
3．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
以上步骤可以概括为“一提二套三检查”。
【重难点突破】
考点1. 代数式及相关问题
【解题技巧】
1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.
【典例精析】
例1.（2022·浙江·一模）一幢房子一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成（如图），若把该墙面设计成长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a，则这面墙的高度应该为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据长方形和三角形面积计算公式将原来墙面的面积计算出来，再根据重新设计的长方形墙面的宽边仍为a，进一步计算长方形的长即可．
【详解】解：原来墙面的面积为=三角形面积+长方形面积，即：，
把该墙面设计成长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a，可得长为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形和三角形的面积问题，读懂题意是解决本题的关键．
例2.（2022·广西梧州·中考真题）若，则________．
【答案】1
【分析】将代入代数式求解即可．
【详解】解：∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的计算．
【变式训练】
变式1．（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
【答案】B
【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．
【详解】设原件为x元，∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x 故选B
【点睛】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键．
变式2．（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为3，则输出值为___________．
【答案】2
【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解．
【详解】解：∵x=3＜4∴把x=3代入，解得：，∴值为2，答案：2．
【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，读懂运算程序的要求是解题的关键．
变式3．（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝______；
（2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多______个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为______．
【答案】 4 1
【分析】①用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，即可
②用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可
③用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，算出移动的a个棋子中有x个白子，个黑子，再根据要求算出y，即可
【详解】答题空1：
原甲：10 原乙：8
现甲：10-a 现乙：8+a
依题意：解得：故答案为：4
答题空2：
原甲：m 原乙：2m
现甲1：m-a 现乙1：2m+a
第一次变化后，乙比甲多：故答案为：
答题空3：
原甲：m黑 原乙：2m白
现甲1：m黑-a黑 现乙1：2m白+a黑
现甲2：m黑-a黑+a混合 现乙2：2m白+a黑-a混合
第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子
则： 故答案为：1
【点睛】本题考查代数式的应用；注意用表格梳理每次变化情况是简单有效的方法
考点2. 整式及其相关概念
【解题技巧】
单项式与多项式统称整式.
观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．
多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．
考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.
【典例精析】
例1.（2022·广东·中考真题）单项式的系数为___________．
【答案】3
【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案．
【详解】的系数是3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义．
例2.（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．
【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意；
C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意．故选：B．
【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
【变式训练】
变式1．（2021·青海中考真题）已知单项式与是同类项，则______．
【答案】3
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m，n的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，∴2m=4，n+2=-2m+7，
解得：m=2，n=1，则m+n=2+1=3．故答案是：3．
【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点．
变式2．（2020·四川绵阳市·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
【答案】0或8
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【详解】解：多项式是关于，的三次多项式，
，，，，
或，或，或8．故答案为：0或8．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
变式3．（2022·浙江·九年级期中）单项式﹣的系数是 _____，多项式3πab2+2a﹣35次数是 ___．
【答案】 3
【分析】根据单项式的系数和多项式的次数的定义得出即可，单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和为单项式的次数，多项式的次数是指所含单项式中次数最高项的次数．
【详解】解：单项式的系数是，多项式次数是3，故答案为：﹣，3．
【点睛】此题考查了单项式的系数以及多项式的次数，掌握它们的有关概念是解题的关键．
考点3. 探索与表达规律
【解题技巧】
解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.
【典例精析】
例1.（2022·浙江宁波·九年级专题练习）如图，小明用黑白棋子组成的一组图案，第个图案由个白子组成，第个图案由个白子和个黑子组成，第个图案由个黑子和个白子组成，，按照这样的规律排列下去，则第个图案中共有（ ）个白子．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图象得到第1、2图案中白子有1个，第3、4图案中白子有1+2×5＝11个，第5、6图案中白子有1+2×5+4×5＝31个，…，据此规律可得．
【详解】解：第、图案中白子有个，第、图案中白子有个，
第、图案中白子有个，第、图案中白子有个，选：B．
【点睛】此题考查了图形的规律探索，解题的关键是根据已知的图案特点发现规律进行求解．
例2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】(1)③；(2)相等，证明见解析；(3)
【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
（2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；
（3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可．
(1)解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝；
(2)解：相等，理由如下：
100a(a＋1)＋25=
(3) 与100a的差为2525，
整理得： 即 解得： 1≤a≤9，
【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江台州·校考二模）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，…，点在一条直线上，则点P从0跳动（ ）次可到达的位置．
A．887 B．903 C．90 D．1024
【答案】B
【分析】由题意得：从点P从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，可以得出，跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为，进而得到答案即可；
【详解】解：由题意得：从点P从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，由此可得：跳动次数为从1开始连续的正整数的和，最后一个加数为，
∵，∴点从跳到跳动了：，故选：B．
【点睛】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
变式2．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知整数，…满足下列条件： ，以此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据前几个数可以发现：从第2个数开始，如果顺序数为偶数，最后的数值为，如果顺序数为奇数，最后的数值为，再根据规律求解即可．
【详解】解：，，，，
，，，…
∴当n为偶数时，，当n为奇数时，，∴，故选：C．
【点睛】本题主要考查规律性：数字的变化类，根据前几个数字找出最后数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键．
变式3．（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
考点4.幂的运算
【解题技巧】
幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．
【典例精析】
例1.（2022·浙江湖州·中考真题）下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方分别计算，对各项进行判断即可．
【详解】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、原计算错误，故该选项不符合题意；
C、a3和a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
D、正确，故该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键．
例2.（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
【答案】DDDD
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，2的乘方的个位数字4个一循环，
，的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD．
【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项．
【详解】解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式=a4，故该选项不符合题意；C选项，原式=a6，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a4，故该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握am an=am+n是解题的关键．
变式2．（2022·浙江丽水·模拟预测）“小马”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A：，故本选项错误；B：，故本选项错误；
C：，故本选项正确；D：，故本选项错误；故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
变式3．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
【答案】1000
【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．
【详解】解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，
当震级为8级的地震所释放的能量为：，
当震级为6级的地震所释放的能量为：，，
震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．故答案为：1000．
【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．
考点5. 整式的混合运算
【解题技巧】
整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．
【典例精析】
例1.（2022·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．
【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项错误，不符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．
例2.（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解．
【详解】
当时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江温州·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
变式2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．
【答案】
【分析】设这个多项式为A，由题意得：，求解即可．
【详解】设这个多项式为A，由题意得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
变式3．（2022·广西·中考真题）先化简，再求值，其中．
【答案】x3-2xy+x，1
【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x、y值代入计算即可．
【详解】解：
=x(x2-y2)+xy2-2xy+x=x3-xy2+xy2-2xy+x=x3-2xy+x，
当x=1，y=时，原式=13-2×1×+1=1．
【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
考点6. 因式分解
【解题技巧】
因式分解的概念与方法步骤
①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．
②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.
③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．
一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.
【典例精析】
例1.（2022·浙江台州·中考真题）分解因式：=____．
【答案】．
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
例2.（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可．
【详解】解：，，
．故选：A．
【点睛】本题考查了整式的因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江舟山·中考真题）分解因式：___________．
【答案】
【分析】利用提公因式法进行因式分解．
【详解】解：故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键．
变式2．（2022·浙江宁波·中考真题）分解因式：x2-2x+1=__________．
【答案】（x-1）2
【详解】由完全平方公式可得： 故答案为．
【点睛】错因分析 容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底.
变式3．（2022·贵州遵义·中考真题）已知，，则的值为__________．
【答案】8
【分析】根据平方差公式直接计算即可求解．
【详解】解：∵，，∴ 故答案为：8
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
考点7. 乘法公式及其几何背景
【解题技巧】
完全平方公式的运用主要考查是“知二求二”、参数问题与最值问题，乘法公式的几何背景为素材的题型近年来考查也比较多。
【典例精析】
例1.1．（2021·浙江台州市·中考真题）已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
【答案】C
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【详解】解：∵，，∴，故选：C．
【点睛】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键．
例2.（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①： 公式②：
公式③： 公式④：
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为．
①若E为边AC的中点，则的值为_______；②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①，②，④，③(2)证明见解析(3)①2②结论仍成立，理由见解析
【分析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；
（2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明；（3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可．
(1)解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
(2)解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，
∴，∵，
∴，
又∵，∴；
(3)解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设，∴，，，，
∴，
，∴；故答案为：2；
②成立，证明如下：由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设，，
∴，，，，
∴，
，∴仍成立．
【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为_______．
【答案】或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
∴，解得或，故答案为：或
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
变式2．（2022·浙江·九年级期末）如图，函数与的图象交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为函数与的图象交于点，将P点坐标代入到两个解析式，可以的到和，即可求出，并由代入计算后即可求解结果．
【详解】解：∵函数与的图象交于点，
∴， ，∴， ，∴，
∵，∴．故选：D．
【点睛】本题考查了反比例与一次函数的交点问题，关键步骤是找出代数式和与之间的关系，再运用整体思想进行代入，是本题的突破口．
变式3．（2021·河北中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块．
【答案】 4
【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可．
【详解】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为；故答案为：．
（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为，若再加上（刚好是4个丙），则，则刚好能组成边长为的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．故答案为：4．
考点8. 代数整体求值
【典例精析】
例1.（2022·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
【答案】A
【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．
【详解】∵ ∴∴故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
例2.（2022·浙江宁波·一模）已知，则的值为___________.
【答案】5
【分析】将变形为，再将整体代入即可得出答案．
【详解】解：，故答案为：5．
【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想是本题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·湖南邵阳·中考真题）已知，则_________．
【答案】2
【分析】将变形为即可计算出答案．
【详解】
∵∴ 故答案为：2．
【点睛】本题考查代数式的性质，解题的关键是熟练掌握代数式的相关知识．
变式2．（2022·浙江温州·统考二模）若代数式的值为8，则代数式的值为（ ）
A．0 B．11 C． D．
【答案】C
【分析】由的值为8，求得x=0，再将x=0代入计算可得．
【详解】解：∵的值为8，∴2x+2+3x+6=8，∴x=0，
当x=0时，2×(-2)+3×(-1)=-7．故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
变式3．（2022·江苏中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C
【解析】∵函数与的图像交于点P(，)，
∴，，即，，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点
考点9. 新定义与阅读类问题
【典例精析】
例1.（2022·重庆·中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】给添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【详解】解：∵∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号∴②说法正确
∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是、、、；
当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是、、；
当括号中有四个字母，共有1种情况，
∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D．
【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．
例2.（2021·凉山州·中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，
记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，则．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①___________；②_______，③________；
（2）求证：；
（3）拓展运用：计算．
【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）直接根据定义计算即可；（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；
（3）根据公式：loga（M N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．
【详解】解：（1）①∵，∴5，
②∵，∴3，③∵，∴0；
（2）设logaM=m，logaN=n，∴，，∴，
∴，∴；
（3）===2．
【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
【变式训练】
变式1．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】先根据新定义，可得9m+4n=0，将整式去括号合并同类项化简得，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵是“相随数对”，∴，整理得9m+4n=0，
．故选择A．
【点睛】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键．
变式2．（2022·重庆璧山·统考一模）定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
（1）代数式：的“同心式”为；
（2）若与互为“同心式”，则的值为1；
（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
（4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则．
其中，正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据同心式的定义结合代数式和方程求解即可
【详解】根据同心式的定义：
（1）∵，
∴代数式：的“同心式”不是；
故（1）是错误的；
（2）∵与互为“同心式”，
∴，解得：，∴，故（2）是正确的；
（3）当时，且， ，
∴，，即A与B的值始终互为相反数，故（3）是正确的；
（4）∵A、B互为“同心式”，∴，，
∵有两个相等的实数根，∴有两个相等的实数根，
∴，即，故（4）是正确的；故选：C
【点睛】本题根据新定义和题目的要求构建方程，考查了数学建模和数学运算的核心素养，解题的关键是理解题目中的新定义．
变式3．（2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析
(2)数A可能为732或372或516或156
【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案．
(1)解：∵，∴357不是15“和倍数”；
∵，∴441是9的“和倍数”．
(2)∵三位数A是12的“和倍数”，∴，
∵，∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数，∴，
∵为整数，设（k为整数），则，
整理得：，根据得：，
∵，∴，解得，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴，∴，∴，把代入得：
，整理得：，∵，k为整数，∴或，
当时，，∵，∴，，
，，，或，，，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当，，时，组成的三位数为或，
∵，∴是12的“和倍数”，∵，∴是12的“和倍数”；
当，，时，组成的三位数为或，
∵，∴不是12的“和倍数”，∵，∴不是12的“和倍数”；
当时，，∵，∴，
，，，组成的三位数为516或156，
∵，∴是12的“和倍数”，∵，∴是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．
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专题02 整式与因式分解
【考情预测】
以考查整式的加减、乘除、乘法公式、幂的运算、因式分解、探究规律为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右。预计2023年浙江各地中考还将继续考查幂的运算性质、因式分解、整式的化简、代入求值、探究规律、整式相关的新定义问题等，为避免丢分，学生应扎实掌握.
【考点梳理】
1）代数式：代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.
2）整式
1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.
注：①单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；②一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.
3．整式：单项式和多项式统称为整式.
4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.
5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.
7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
8．乘法公式：
（1）平方差公式：. （2）完全平方公式：.
9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
3）因式分解
1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.
（2）公式法：运用平方差公式：.运用完全平方公式：.
3．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
以上步骤可以概括为“一提二套三检查”。
【重难点突破】
考点1. 代数式及相关问题
【解题技巧】
1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.
【典例精析】
例1.（2022·浙江·一模）一幢房子一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成（如图），若把该墙面设计成长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a，则这面墙的高度应该为（ ）
A． B． C． D．
例2.（2022·广西梧州·中考真题）若，则________．
【变式训练】
变式1．（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
变式2．（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为3，则输出值为___________．
变式3．（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝______；
（2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多______个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为______．
考点2. 整式及其相关概念
【解题技巧】
单项式与多项式统称整式.
观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．
多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．
考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.
【典例精析】
例1.（2022·广东·中考真题）单项式的系数为___________．
例2.（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2021·青海中考真题）已知单项式与是同类项，则______．
变式2．（2020·四川绵阳市·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
变式3．（2022·浙江·九年级期中）单项式﹣的系数是 _____，多项式3πab2+2a﹣35次数是 ___．
考点3. 探索与表达规律
【解题技巧】
解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.
【典例精析】
例1.（2022·浙江宁波·九年级专题练习）如图，小明用黑白棋子组成的一组图案，第个图案由个白子组成，第个图案由个白子和个黑子组成，第个图案由个黑子和个白子组成，，按照这样的规律排列下去，则第个图案中共有（ ）个白子．
A． B． C． D．
例2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江台州·校考二模）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，…，点在一条直线上，则点P从0跳动（ ）次可到达的位置．
A．887 B．903 C．90 D．1024
变式2．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知整数，…满足下列条件： ，以此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
考点4.幂的运算
【解题技巧】
幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．
【典例精析】
例1.（2022·浙江湖州·中考真题）下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2.（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·浙江丽水·模拟预测）“小马”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目选项是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
考点5. 整式的混合运算
【解题技巧】
整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．
【典例精析】
例1.（2022·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2.（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江温州·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．
变式3．（2022·广西·中考真题）先化简，再求值，其中．
考点6. 因式分解
【解题技巧】
因式分解的概念与方法步骤
①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．
②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.
③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．
一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.
【典例精析】
例1.（2022·浙江台州·中考真题）分解因式：=____．
例2.（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式训练】
变式1．（2022·浙江舟山·中考真题）分解因式：___________．
变式2．（2022·浙江宁波·中考真题）分解因式：x2-2x+1=__________．
变式3．（2022·贵州遵义·中考真题）已知，，则的值为__________．
考点7. 乘法公式及其几何背景
【解题技巧】
完全平方公式的运用主要考查是“知二求二”、参数问题与最值问题，乘法公式的几何背景为素材的题型近年来考查也比较多。
【典例精析】
例1.1．（2021·浙江台州市·中考真题）已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（ ）
A．24 B．48 C．12 D．2
例2.（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①： 公式②：
公式③： 公式④：
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为．
①若E为边AC的中点，则的值为_______；②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【变式训练】
变式1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为_______．
变式2．（2022·浙江·九年级期末）如图，函数与的图象交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2021·河北中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块．
考点8. 代数整体求值
【典例精析】
例1.（2022·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
例2.（2022·浙江宁波·一模）已知，则的值为___________.
【变式训练】
变式1．（2022·湖南邵阳·中考真题）已知，则_________．
变式2．（2022·浙江温州·统考二模）若代数式的值为8，则代数式的值为（ ）
A．0 B．11 C． D．
变式3．（2022·江苏中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
考点9. 新定义与阅读类问题
【典例精析】
例1.（2022·重庆·中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例2.（2021·凉山州·中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，
记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，则．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①___________；②_______，③________；
（2）求证：；
（3）拓展运用：计算．
【变式训练】
变式1．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（ ）
A． B． C．2 D．3
变式2．（2022·重庆璧山·统考一模）定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
（1）代数式：的“同心式”为；
（2）若与互为“同心式”，则的值为1；
（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
（4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则．
其中，正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
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专题02 整式与因式分解
【考场演练1】
练基础/练热点
一、选择题
1．（2022·浙江丽水二模）下列说法中：（1）整数与分数统称为有理数；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；（3）多项式是五次二项式；（4）倒数等于它本身的数是；（5）与是同类项，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据有理数的定义及其分类标准，和绝对值、倒数的意义，多项式的定义，同类项的定义进行辨析即可．
【详解】解：（1）整数与分数统称为有理数，说法正确；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，原说法错误；
（3）多项式是三次二项式，原说法错误；
（4）倒数等于它本身的数是，说法正确；
（5）与是同类项，说法正确；
综上，说法正确的有（1）（4）（5），共3个，故选：C．
【点睛】本题考查了多项式，倒数，有理数以及同类项，掌握相关定义是解答本题的关键．同类项的定义：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项；多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数；乘积是1的两个数互为倒数．
2．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，原式计算正确；B、，原式计算错误；
C、，原式计算错误；D、，原式计算错误；故选：A．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2022·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘除法法则以及积的乘方法则，幂的乘方法则，逐一判断选项即可．
【详解】解：A． ，正确，该选项符合题意；
B． ，原计算错误，该选项不符合题意；
C． ，原计算错误，该选项不符合题意；
D． ，原计算错误，该选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法以及积的乘方、幂的乘方，熟练掌握上述运算法则是解题的关键．
4．（2022·青海·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．
【详解】A.选项，3x2与4x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
B.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；
C.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；
D.选项，原式=，故该选项计算正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点．
5．（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
【答案】C
【分析】根据第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，算出第⑥个图案中菱形个数即可．
【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：；
第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…
第n个图案中菱形的个数：，
∴则第⑥个图案中菱形的个数为：，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．
6．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】根据题意列求得购买乙种读本本，根据单价乘以数量即可求解．
【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为元故选C
【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
7．（2022·浙江丽水·中考真题）计算的正确结果是（ ）
A． B．a C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算，即可判定．
【详解】解：，故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握和运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
8．（2022·浙江台州·中考真题）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长，宽的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知受污染土地由两类长分别为，，宽分别为的矩形，及四个能组成一个以半径为的圆组成，求出面积和即可．
【详解】解：根据题意可知受污染土地由两类长分别为，，宽分别为的矩形，及四个能组成一个以半径为的圆组成，
面积为：，故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的面积，圆的面积的求法，解题的关键是读懂题目，明确所求的面积的组成部分为哪些．
9．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答．
【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键．
10．（2022·浙江金华·一模）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（ ）
A．（1）与（2）的周长之差 B．（3）的面积
C．（1）与（3）的面积之差 D．长方形的周长
【答案】D
【分析】设正方形的边长为a，长方形的宽为，长方形的长为，则长方形面积为：，再分析选项即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，长方形的宽为，长方形的长为，
则长方形面积为：，
∵（1）（2）是两个面积相等的梯形，∴，
∴，即，
∴长方形面积为：，
∵（1）与（2）的周长之差为：，
∴A选项的条件不能求出长方形面积；
∵（3）的面积为：，∴B选项的条件不能求出长方形面积；
∵（1）与（3）的面积之差为：，
∴C选项的条件不能求出长方形面积；
长方形的周长为：，
∴D选项的条件能求出长方形面积．故选：D
【点睛】本题考查正方形面积，梯形面积，长方形面积和周长，整式的混合运算，掌握面积的计算公式及整式混合运算法则是解题的关键．
11．（2020·河北中考真题）若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
【解析】原等式变形得：
．故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
12．（2021·广东中考真题）已知，则（ ）
A．1 B．6 C．7 D．12
【答案】D
【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∴故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键．
二、填空题
13．（2022春·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2023次输出的结果是_____．
【答案】1
【分析】根据题中已知条件进行计算，找到输出数据的变化规律即可得到第2023次输出的结果了．
【详解】解：当时，，当时，，当时，，
当时，，当时，，当时，，当时，，…
由此可知，从第2次输出开始，输出结果是按“5、1”的顺序循环出现的，
∴，即输出的结果是1，故答案为：1．
【点睛】题目主要考查有理数的运算，“读懂题意，按题中所给运算程序进行计算，并由此找到输出结果出现的规律是解答本题的关键．
14．（2022·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：________．
【答案】
【分析】将看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键．
15．（2023·广东·佛山一模）当x＝3时，px3+qx+1＝2020，则当x＝﹣3时，px3+qx+1的值为_____．
【答案】-2018
【分析】把x＝3代入代数式得27p+3q＝2019，再把x＝﹣3代入，可得到含有27p+3q的式子，解答即可．
【详解】解：当x＝3时， px3+qx+1＝27p+3q+1＝2020，即27p+3q＝2019，
所以当x＝﹣3时， px3+qx+1＝﹣27p﹣3q+1＝﹣（27p+3q）+1＝﹣2019+1＝﹣2018．
故答案为：﹣2018．
【点睛】此题考查了代数式求值；代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式27p+3q的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
16．（2022·山东滨州·中考真题）若，，则的值为_______．
【答案】90
【分析】将变形得到，再把，代入进行计算求解．
【详解】解：∵，，
∴ ．故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．
17．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形是将等边三角形按一定规律排列，则第个图形中所以等边三角形的个数是__________．
【答案】485
【详解】解： 由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，
第二个图形中5×3+2=17个正三角形，
第三个图形中17×3+2=53个正三角形，
由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形，
第五个图形中161×3+2=485个正三角形．故答案为：485
18．（2022·浙江温州·中考真题）分解因式：______．
【答案】
【详解】解：．故答案为：
19．（2022·山东泰安·中考真题）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．
【答案】不存在
【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“ ”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“ ”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．
【详解】解：∵n=1时，“ ”的个数是3=3×1；n=2时，“ ”的个数是6=3×2；
n=3时，“ ”的个数是9=3×3；n=4时，“ ”的个数是12=3×4；……
∴第n个图形中“ ”的个数是3n；
又∵n=1时，“○”的个数是1=；n=2时，“○”的个数是，
n=3时，“○”的个数是，n=4时，“○”的个数是，……
∴第n个“○”的个数是，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022
①，②
解①得：无解
解②得：故答案为：不存在
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
20．（2022·浙江舟山·校考一模）如图是一个长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为14、面积为10，则a2b+ab2的值为_____．
【答案】70
【分析】直接利用矩形的性质结合因式分解将原式变形得出答案．
【详解】解：∵长宽分别为a，b的长方形的周长为14，面积为10，∴a+b=7，ab=10，
∴．故答案为70．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
三、解答题
21．（2022·江苏无锡·中考真题）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)1 (2)2a+3b
【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可．
（1）解：原式===1；
(2)解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b=2a+3b．
【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．
22．（2022·浙江金华·统考二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用完全平方公式及乘法分配律把代数式化简，再代值即可求得．
【详解】解：
把代入．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键在于熟练掌握化简整式的方法．
23．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当时，该小正方形的面积是多少？
【答案】(1)(2)36
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
(1)解：∵直角三角形较短的直角边，较长的直角边，
∴小正方形的边长；
(2)解：，
当时，．
【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．
24．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 2x；②当x＝0时，x2+1 2x；③当x＝﹣2时，x2+1 2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
【答案】（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见解析
【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【详解】解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；②当x＝0时，x2+1＞2x；
③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．故答案为：＝；＞；＞．
（2）x2+1≥2x．
证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x．
【点睛】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．
25．（2022·河北·中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【答案】验证：；论证见解析
【分析】通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明．
【详解】证明：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．
26．（2022·江苏宿迁·中考真题）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【答案】(1)300，240(2)当时，选择乙超市更优惠，当时，两家超市的优惠一样，当时，选择乙超市更优惠，当时，选择甲超市更优惠．
【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元， 可得当时， 显然此时选择乙超市更优惠，当时 再分三种情况讨论即可．
(1)解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
故答案为：
(2)设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得
当时， 显然此时选择乙超市更优惠，
当时，
当时，则 解得： ∴当时，两家超市的优惠一样，
当时，则 解得： ∴当时，选择乙超市更优惠，
当时，则 解得： ∴当时，选择甲超市更优惠．
【点睛】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【考场演练2】
练重点/练难点
一、选择题
1．（2023·福建·中考模拟）若，，则的值是
A．1020 B．1998 C．2019 D．2040
【答案】A
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解析】∵，
∴ ，，
两式相加得：，∴．故选A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
2．（2023·柳州市·中考模拟）定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（ ）
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
【答案】C
【分析】先利用完全平方公式得出（3-mi）2=9-6mi+m2i2，再根据新定义得出复数（3-mi）2的实部是9-m2，虚部是-6m，由（3-mi）2的虚部是12得出m=-2，代入9-m2计算即可．
【详解】解：∵
∴复数的实部是，虚部是，∴，∴，
∴．故选C．
【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式，理解新定义是解题的关键．
3．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．
【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，第个数据为：
当时的分子为，分母为这个数为故选：．
【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．
4．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，，，那么、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂的乘方的逆运算得到，据此即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，∴，故选D．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，正确得到是解题的关键．
5．（2022·浙江宁波·中考真题）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积
【答案】C
【分析】设正方形纸片边长为x，小正方形EFGH边长为y，得到长方形的宽为x-y，用x、y表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x、y的已知条件，分别用x、y列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项．
【详解】根据题意可知，四边形EFGH是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH边长为y，则长方形的宽为x-y，所以图中阴影部分的面积=S正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG==2xy，
所以根据题意，已知条件为xy的值，A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意；
B.四边形EFGH的面积=y2， 根据条件无法求出，不符合题意；
C.的面积=，根据条件可以求出，符合题意；
D.的面积=，根据条件无法求出，不符合题意；故选 C．
【点睛】本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键．
二、填空题
6.（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
【答案】
【分析】由已知推出，得到，，，，上述式子相加求解即可．
【详解】解：∵；∴，∵，
∵，∴a4=，∴，，，
把上述2022-1个式子相加得，∴a2022=，故答案为：，．
【点睛】此题主要考查数字的变化规律，关键是得出，利用裂项相加法求解．
7．（2022·内蒙古·二模）若m﹣＝3，则m2+＝_____．
【答案】11
【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
【解析】解：∵＝m2﹣2+＝9，∴m2+＝11，故答案为11．
【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.
8.（2023·咸宁市·中考模拟）若整式（为常数，且）能在有理数范围内分解因式，则的值可以是_____（写一个即可）．
【答案】-1
【分析】令，使其能利用平方差公式分解即可．
【详解】令，整式为故答案为（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
9．（2023·成都·中考模拟）已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的变式：ab= 利用整体代入的思想求解即可.
【解析】解：∵（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，
∴（2019﹣a）（a﹣2017）＝{[（2019﹣a）+（a﹣2017）]2﹣[（2019﹣a）2+（a﹣2017）2]}＝，
故答案为：.
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式的变式是解题关键.
10．（2022·黑龙江绥化·中考真题）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案．
【答案】3##三
【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，列出关系式，并求出，由于，且x，y都是正整数，所以y是4的整数倍，由此计算即可．
【详解】解：设：购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，，解得，
∵，且x，y都是正整数，∴y是4的整数倍，
∴时，，时，，
时，，时，，不符合题意，
故有3种购买方案，故答案为：3．
【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y是4的整数倍是解答本题的关键．
11．（2021·湖南永州市·中考真题）若x，y均为实数，，，则______；_______．
【答案】2021 1
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可．
【详解】解：∵，∴，，
，故答案为：2021；
∵，即，
∴，∴，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键．
12．（2022.安顺·中考模拟）若是关于的完全平方式，则__________．
【答案】7或-1
【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．
【解析】∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，∴2（m-3）=±8，
解得：m=-1或7，故答案为-1或7．
点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
13．（2021·广东中考真题）若且，则_____．
【答案】
【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】∵，∴，
∵，∴，∴=，∴==，
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
14．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________.
【答案】
【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∵，∴，∴；
，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾，∴∴；
，同理，故答案为：．
【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．
15．（2022·四川乐山·中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
【答案】5
【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．
【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∴c=3b，则b=c，∴d=2b+c=c，则c=d，∴4d+d =26，
∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
16．（2022·山东泰安·中考真题）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）
【答案】7.1×10-7
【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．
【详解】∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，
∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．故答案是：7.1×10-7．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键．
17．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.
【答案】
【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有根木料，以此类推，得到第个图形有根木料．
【详解】解：∵第一个图形有根木料，第二个图形有根木料，
第三个图形有根木料，第四个图形有木料，
∴第个图形有根木料，故答案为：．
【点睛】本题考查图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．
18．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．
（1）若a，b是整数，则的长是___________；
（2）若代数式的值为零，则的值是___________．
【答案】
【分析】（1）根据图象表示出PQ即可；（2）根据分解因式可得，继而求得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解．
【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，，，故答案为：；
（2），，
或，即（负舍）或
这四个矩形的面积都是5，，
，
，．
【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．
19．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）对正整数n，记，若，则M的正因数中共有完全立方数为 _____个．
【答案】8
【分析】先把M分解成的形式，然后分别讨论，含有的立方数约数，最后求解即可．
【详解】解：，
∵一个完全立方数n（n属于M）应该具有的形式为（x，y，z均为自然数），且，故这样的n有个，故答案为：8．
【点睛】本题考查完全平方数的知识，解答此题的关键是把M分解成的形式，难度较大．
20．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
【答案】127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
21．（2023·浙江杭州·统考模拟预测）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；②a@（b+c）＝a@b+a@c；③不存在实数a，b，满足a@b＝a2+5b2；④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．其中正确的是_____．
【答案】①②④．
【分析】根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解：①根据题意得：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0，
整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）＝0，即4ab＝0，解得：a＝0或b＝0，正确；
②∵a@（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac
a@b+a@c＝（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2＝4ab+4ac，
∴a@（b+c）＝a@b+a@c，正确；
③a@b＝a2+5b2，a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，令a2+5b2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
显然：当时，上式成立，故③错误；
④∵a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则周长为：
有最大值，当时， 有最大值，此时： 即：a＝b，
∴a@b最大时，a＝b，故④正确．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、一元二次方程的解法，二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题
22．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
【答案】(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析
(2)8109或8190或4536或4563．
【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；
（2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M．
(1)解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；
理由：∵，，∴1022不是“勾股和数”；
∵，∴5055是“勾股和数”；
(2)∵为“勾股和数”，∴，∴，
∵为整数，∴，
∵为整数，
∴为3的倍数，
∴①，或，，此时或8190；
②，或，，此时或4563，
综上，M的值为8109或8190或4536或4563．
【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．
23．（2021·湖北鄂州市·中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为
【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；
变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可；
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．
【详解】猜想运用：∵，∴，∴，
∴当时，，此时，只取，即时，函数的最小值为2．
变式探究：∵，∴，，∴，
∴当时，，此时，∴，（舍去），
即时，函数的最小值为5.
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：
，即，∵，，∴，
即，整理得：，即，
∴当时，此时，，
即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．
24．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．
例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，是“合和数”．
又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，不是“合和数”．
（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．
【答案】（1）不是“合和数”，是“合和数，理由见解析；（2）有，，，．
【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，再判断，是否是“合和数”；
（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示个位及十位上的数，同时也可以用来表示．然后整理出：，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的．
【详解】解：（1）不是“合和数”，是“合和数”．
，，不是“合和数”，
，十位数字相同，且个位数字，是“合和数”．
（2）设的十位数字为，个位数字为（，为自然数，且，），
则．
∴．
∴（是整数）．
，，是整数，或，
①当时，或，
或．
②当时，或，
或．
综上，满足条件的有，，，．
【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．
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专题02 整式与因式分解
【考场演练1】
练基础/练热点
一、选择题
1．（2022·浙江丽水二模）下列说法中：（1）整数与分数统称为有理数；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；（3）多项式是五次二项式；（4）倒数等于它本身的数是；（5）与是同类项，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·青海·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
6．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
7．（2022·浙江丽水·中考真题）计算的正确结果是（ ）
A． B．a C． D．
8．（2022·浙江台州·中考真题）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长，宽的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·浙江金华·一模）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（ ）
A．（1）与（2）的周长之差 B．（3）的面积
C．（1）与（3）的面积之差 D．长方形的周长
11．（2020·河北中考真题）若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
12．（2021·广东中考真题）已知，则（ ）
A．1 B．6 C．7 D．12
二、填空题
13．（2022春·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2023次输出的结果是_____．
14．（2022·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：________．
15．（2023·广东·佛山一模）当x＝3时，px3+qx+1＝2020，则当x＝﹣3时，px3+qx+1的值为_____．
16．（2022·山东滨州·中考真题）若，，则的值为_______．
17．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形是将等边三角形按一定规律排列，则第个图形中所以等边三角形的个数是__________．
18．（2022·浙江温州·中考真题）分解因式：______．
19．（2022·山东泰安·中考真题）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．
20．（2022·浙江舟山·校考一模）如图是一个长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为14、面积为10，则a2b+ab2的值为_____．
三、解答题
21．（2022·江苏无锡·中考真题）计算：
(1)；(2)．
22．（2022·浙江金华·统考二模）先化简，再求值：，其中．
23．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当时，该小正方形的面积是多少？
24．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 2x；②当x＝0时，x2+1 2x；③当x＝﹣2时，x2+1 2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
25．（2022·河北·中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
26．（2022·江苏宿迁·中考真题）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【考场演练2】
练重点/练难点
一、选择题
1．（2023·福建·中考模拟）若，，则的值是
A．1020 B．1998 C．2019 D．2040
2．（2023·柳州市·中考模拟）定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（ ）
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
3．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，，，那么、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江宁波·中考真题）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积
二、填空题
6.（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
7．（2022·内蒙古·二模）若m﹣＝3，则m2+＝_____．
8.（2023·咸宁市·中考模拟）若整式（为常数，且）能在有理数范围内分解因式，则的值可以是_____（写一个即可）．
9．（2023·成都·中考模拟）已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
10．（2022·黑龙江绥化·中考真题）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案．
11．（2021·湖南永州市·中考真题）若x，y均为实数，，，则______；_______．
12．（2022.安顺·中考模拟）若是关于的完全平方式，则__________．
13．（2021·广东中考真题）若且，则_____．
14．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________.
15．（2022·四川乐山·中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
16．（2022·山东泰安·中考真题）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）
17．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.
18．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．
（1）若a，b是整数，则的长是___________；
（2）若代数式的值为零，则的值是___________．
19．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）对正整数n，记，若，则M的正因数中共有完全立方数为 _____个．
20．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
21．（2023·浙江杭州·统考模拟预测）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；②a@（b+c）＝a@b+a@c；③不存在实数a，b，满足a@b＝a2+5b2；④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．其中正确的是_____．
三、解答题
22．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
23．（2021·湖北鄂州市·中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？
24．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．
例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，是“合和数”．
又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，不是“合和数”．
（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．
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