【模块一数与式】专题4 二次根式-2023年中考数学第一轮复习（含解析）

2023年中考数学第一轮复习
模块一 数与式
专题4 二次根式
二 次 根 式 平方根 ① 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作； ② 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根.
算术平方根 ① 如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的算术平方根,记作. ② 非负性：，
立方根 ① 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，记作. ② 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根. ③ ，
二次根式的有关概念 二次根式 形如(a≥0)的式子叫二次根式．
最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.
二次根式的性质 (1)()2＝a(a≥0)． (2)＝|a|＝ (3)＝ (a≥0，b≥0)． (4)＝(a≥0，b＞0)． (5)非负性：≥0(a≥0).
二次根式的运算 (1)二次根式的加减法法则：一般先把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． (2)二次根式的乘法法则： ＝(a≥0，b≥0)． (3)二次根式的除法法则：＝(a≥0，b＞0).
题型一、平方根、算术平方根和立方根
1．(2022 宜宾)4的平方根是(　 　)
A．2 B．－2 C．±2 D．16
2．(2022 恩施州)9的算术平方根是 .
3．（2021·四川凉山）的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
4．(2022 常州)化简：＝ .
5．(2018 广东)一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝ .
6．（2021 通辽）的平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
题型二、二次根式的有关概念
1．(2022 鼓楼区二模)下列式子，一定是二次根式的是(　 　)
A． B．
C．x D．
2．（2022·湖南衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021 桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021 泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
5．（2022·山东滨州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____．
6．（2022·湖南常德）使式子有意义的的取值范围是______．
7．（2022·湖北恩施）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
题型三、二次根式的性质
1．（2022·河北）下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川凉山）化简：＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
3．（2022·广西桂林）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
4．（2022·黑龙江哈尔滨）计算的结果是___________．
5．（2022·湖北荆州）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
6．计算：(－2)2 021 (＋2)2 022＝ .
7．(2021 广东)若|a－|＋＝0，则ab＝(　 　)
A． B．
C．4 D．9
8．（2022·四川遂宁）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
题型四、二次根式的运算
1．（2022·湖北武汉）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东青岛）计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
3．（2022·湖南衡阳）计算：＝_____．
4．（2022·山西）计算的结果是________．
5．（2022·江苏泰州）计算:
(1)计算：；
(2)按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
6．（2022·上海）计算：
7．计算：(1)－＋； (2)(－)÷.
8．计算：(1)2×－＋； (2)－2tan 60°＋－()－1.
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2023年中考数学第一轮复习
模块一 数与式
专题4 二次根式
知识梳理
二 次 根 式 平方根 ① 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作； ② 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根.
算术平方根 ① 如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的算术平方根,记作. ② 非负性：，
立方根 ① 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，记作. ② 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根. ③ ，
二次根式的有关概念 二次根式 形如(a≥0)的式子叫二次根式．
最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.
二次根式的性质 (1)()2＝a(a≥0)． (2)＝|a|＝ (3)＝ (a≥0，b≥0)． (4)＝(a≥0，b＞0)． (5)非负性：≥0(a≥0).
二次根式的运算 (1)二次根式的加减法法则：一般先把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． (2)二次根式的乘法法则： ＝(a≥0，b≥0)． (3)二次根式的除法法则：＝(a≥0，b＞0).
题型梳理
题型一、平方根、算术平方根和立方根
1．(2022 宜宾)4的平方根是(　 　)
A．2 B．－2
C．±2 D．16
2．(2022 恩施州)9的算术平方根是 .
3．（2021·四川凉山）的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
【答案】A
【分析】先求出的值，再求平方根即可．
【详解】解：∵，
9的平方根是±3，
∴的平方根是±3，故选：A．
4．(2022 常州)化简：＝ .
5．(2018 广东)一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝ .
6．（2021 通辽）的平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
题型二、二次根式的有关概念
1．(2022 鼓楼区二模)下列式子，一定是二次根式的是(　 　)
A． B．
C．x D．
2．（2022·湖南衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．
【详解】根据题意知≥0，解得，故选：B．
3．（2021 桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021 泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
5．（2022·山东滨州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____．
【答案】x≥5
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x 5≥0，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，解得，，故答案为：．
6．（2022·湖南常德）使式子有意义的的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意，得：，
解得：x>4，故答案为：x>4．
7．（2022·湖北恩施）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得且，故选C．
题型三、二次根式的性质
1．（2022·河北）下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A.，故错误；
B.，故正确；
C.，故错误；
D.，故错误；故选：B．
2．（2022·四川凉山）化简：＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
【答案】D
【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．
【详解】解：，故选：D．
3．（2022·广西桂林）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【答案】A
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．
【详解】解：＝2，
故选：A．
4．（2022·黑龙江哈尔滨）计算的结果是___________．
【答案】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
=
=，
故答案为：．
5．（2022·湖北荆州）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
【答案】2
【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可．
【详解】解：∵ ，∴，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
∴，故答案为：2．
6．计算：(－2)2 021 (＋2)2 022＝ .
7．(2021 广东)若|a－|＋＝0，则ab＝(　 　)
A． B．
C．4 D．9
8．（2022·四川遂宁）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
【答案】2
【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得：，则
∴= = = =2．
故答案为：2．
题型四、二次根式的运算
1．（2022·湖北武汉）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东青岛）计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】把括号内的每一项分别乘以 再合并即可．
【详解】解：
故选：B．
3．（2022·湖南衡阳）计算：＝_____．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】．故答案为：．
4．（2022·山西）计算的结果是________．
【答案】3
【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案．
【详解】解：原式＝＝＝3．故答案为：3．
5．（2022·江苏泰州）计算:
(1)计算：；
(2)按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
【答案】(1)
(2)因式分解；三和五；
【分析】(1)先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可；
(2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可.
(1)
解：原式；
(2)
解：由题意可知：
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为.
故答案为：因式分解，第三步和第五步，
6．（2022·上海）计算：
【答案】
【解析】
【分析】
原式分别化简，再进行合并即可得到答案．
【详解】
解：
=
=
7．计算：(1)－＋； (2)(－)÷.
8．计算：(1)2×－＋； (2)－2tan 60°＋－()－1.