【模块二 方程与不等式】专题3 一元二次方程-2023年中考数学第一轮复习（含解析）

2023年中考数学第一轮复习
模块二 方程与不等式
专题3 一元二次方程
一元二次 方 程 概念 （1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程. （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.
解法 （降次） （1）直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是
（2）配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，步骤： ① 将方程变为一般式 ②化二次项系数a为1 ③常数项c移到右边 ④配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式 ⑤把方程变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，直接降次；如果q＜0，方程无实数根。
（3）公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
（4）因式分解法:将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解
根的判别式 （1）当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; （2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; （3）当b2-4ac<0时,方程无实数根.
根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，其成立的前提条件是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0，判别式b2－4ac≥0.
实际问题 （1）平均增长/下降率问题： a(1＋x)2＝b 或 a(1－x)2＝b （2）利润问题：总利润＝ 单件利润×销售数量 =（售价-进价）×销售数量 （3）相互问题：握手问题： 礼物问题：x(x－1) （4）传染问题：第二轮总数：(1+x)2 （4）分支问题和转发问题：x2+x+1=总数
题型一、解一元二次方程
1．（2022·甘肃武威）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·山东临沂）方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．(2021 雅安)若直角三角形的两边长分别是方程x2－7x＋12＝0的两根，则该直角三角形的面积是(　D　)
A．6 B．12
C．12或 D．6或
4．（2022·云南）方程2x2+1=3x的解为________．
5．（2022·四川凉山）解方程：x2－2x－3＝0
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程：
题型二、一元二次方程解得应用
1．（2022·广西贵港）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
2．（2022·四川宜宾）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
3．（2022·湖北黄冈）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1 x2＝_____．
4．（2022·湖北鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
5．（2022·四川遂宁）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
题型三、一元二次方程判别式的应用
1．（2022·广西梧州）一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
2．（2022·山东滨州）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定
3．（2022·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南常德）关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东深圳）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________．
题型四、一元二次方程中根与系数的关系
1．（2022·四川乐山）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·贵州黔东南）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
3．（2022·湖北武汉）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
4．（2022·四川泸州）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A． B． C．或3 D．或3
5．（2022·四川内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
6．（2022·四川南充）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
7．（2022·湖北十堰）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
题型五、一元二次方程的实际问题
1．（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
2．（2022·广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
3．（2021 黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　）
A．14 B．11 C．10 D．9
4．（2022·上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．
5．（2022·江苏泰州）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？
6.（2021 菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
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7．（2021 烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
8．（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
2023年中考数学第一轮复习
模块二 方程与不等式
专题3 一元二次方程
知识梳理
一元二次 方 程 概念 （1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程. （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.
解法 （降次） （1）直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是
（2）配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，步骤： ① 将方程变为一般式 ②化二次项系数a为1 ③常数项c移到右边 ④配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式 ⑤把方程变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，直接降次；如果q＜0，方程无实数根。
（3）公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
（4）因式分解法:将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解
根的判别式 （1）当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; （2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; （3）当b2-4ac<0时,方程无实数根.
根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，其成立的前提条件是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0，判别式b2－4ac≥0.
实际问题 （1）平均增长/下降率问题： a(1＋x)2＝b 或 a(1－x)2＝b （2）利润问题：总利润＝ 单件利润×销售数量 =（售价-进价）×销售数量 （3）相互问题：握手问题： 礼物问题：x(x－1) （4）传染问题：第二轮总数：(1+x)2 （4）分支问题和转发问题：x2+x+1=总数
题型梳理
题型一、解一元二次方程
1．（2022·甘肃武威）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．故选：C．
2．（2022·山东临沂）方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案．
【详解】解：，
或
解得：
故选B
3．(2021 雅安)若直角三角形的两边长分别是方程x2－7x＋12＝0的两根，则该直角三角形的面积是(　D　)
A．6 B．12
C．12或 D．6或
4．（2022·云南）方程2x2+1=3x的解为________．
【答案】
【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：移项得：，∴，
∴或，解得：，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
5．（2022·四川凉山）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程：
【答案】，
【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．
【详解】解：∵
∴或
解得，．
题型二、一元二次方程解得应用
1．（2022·广西贵港）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
【答案】B
【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
2．（2022·四川宜宾）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，∴m2+2m=5，
∴=5－5=10，故选：A．
3．（2022·湖北黄冈）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1 x2＝_____．
【答案】3
【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，
∴x1 x2＝＝3．故答案为3．
4．（2022·湖北鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
【答案】
【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴，
故答案为：．
5．（2022·四川遂宁）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
【详解】∵m为的根据，
∴，且m≠0，∴，
则有原式=，故选：B．
题型三、一元二次方程判别式的应用
1．（2022·广西梧州）一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据判别式即可判断求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴方程由两个不相等的实数根，故选：B．
2．（2022·山东滨州）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【答案】A
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵Δ＝（ 5）2 4×2×6＝-23＜0，∴方程无实数根．故选：A．
3．（2022·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到 =0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴ =0，
∴，
解得，故C正确．
故选：C．
4．（2022·湖南常德）关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数解，
∴解得：故选：A．
5．（2022·广东深圳）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________．
【答案】9
【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
题型四、一元二次方程中根与系数的关系
1．（2022·四川乐山）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，，，故选：D
2．（2022·贵州黔东南）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．故选B．
3．（2022·湖北武汉）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴
∵是方程的两个实数根,
∵，
又
∴
把代入整理得,
解得, 故选A
4．（2022·四川泸州）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A． B． C．或3 D．或3
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系以及求解即可．
【详解】解：由题意可知：，且
∵，∴，解得：或，
∵，即，∴，故选：A
5．（2022·四川内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．
【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
6．（2022·四川南充）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】(1)k；(2)k=3
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【解析】 (1)解：∵一元二次方程有实数根．
∴ 0，即32-4（k-2）0，解得k
(2)∵方程的两个实数根分别为，∴，
∵，∴，∴，解得k=3．
7．（2022·湖北十堰）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
【解析】(1)，
∵，∴，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，∴，∴，
解得：，，
∴，即．
题型五、一元二次方程的实际问题
1．（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．
【详解】设有x支队伍，根据题意，得，
解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故选B．
2．（2022·广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：由题意可得，，故选：A．
3．（2021 黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，
即（1+x）2＝144，
解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去），
故选：B．
4．（2022·上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．
【答案】20%
【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．
【详解】解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，
解得，（舍去）
所以，增长率为20%
故答案为：20%
5．（2022·江苏泰州）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？
【答案】4
【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50 2x)m，宽为(38 2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．
【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4米．
6.（2021 菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【答案】29元/千克
【解答】解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
7．（2021 烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）50元 （2）8
【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，
依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
8．（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】(1)20% (2)18个
【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【解析】(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
(2)设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．