【模块二 方程与不等式】专题4 一元一次不等式（组）-2023年中考数学第一轮复习（含解析）

2023年中考数学第一轮复习
模块二 方程与不等式
专题4 一元一次不等式（组）
不 等 式 或 组 不等式 定义 用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式。
基本性质 （1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变 （2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变 （3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变
一元一次不等式 定义 含有一个未知数，未知数的次数是1且未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式。
解法 ① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 未知数的系数化为1. 在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.
一元一次不等式组 定义 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.
解法 先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。
四种基本不等式组的解集 不等式组(ax≥b 大大取大
　 x≤a 　 小小取小
a≤x≤b 大小小大中间找
无解 大大小小解不了
题型一、不等式的性质
1．（2022·浙江杭州）已知a，b，c，d是实数，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏宿迁）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南湘潭）若，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古包头）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二、解一元一次不等式
1．（2022·湖南株洲）不等式的解集是（　　　 ）．
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃武威）不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江嘉兴）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022·辽宁锦州）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·安徽）不等式的解集为________．
6．（2022·湖北宜昌）解不等式，并在数轴上表示解集．
7．（2022·浙江金华）解不等式：．
8．（2022·浙江温州）（1）计算：．
（2）解不等式，并把解集表示在数轴上．
9．（2022·江苏连云港）解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
题型三、解一元一次不等式组
1．（2022·山东滨州）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·福建）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东聊城）不等式组的解集是______________．
5．（2022·湖南怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
6．（2022·浙江湖州）解一元一次不等式组
7．（2022·江苏扬州）解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和．
8．（2022·四川成都）计算：．
（2）解不等式组：．
9．（2022·山东威海）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来:．
题型四、解一元一次不等式（组）的参数问题
1．（2022·湖南邵阳）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022·重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．－26 B．－24 C．－15 D．－13
3．（2022·山东泰安）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
5．（2022·黑龙江绥化）不等式组的解集为，则m的取值范围为_______．
6．（2022·四川达州）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
题型四、一元一次不等式（组）的实际问题
1．（2022·吉林）与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
2．某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为(　 　)
A．13 B．14
C．15 D．16
3．(2022 山西)某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元．
4．（2020 朝阳）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（　　）
A．8 B．6 C．7 D．9
5．（2022·湖北黄冈）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
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6．（2022·四川遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
7．（2022·四川德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍．(1)求、两种树苗的单价分别是多少元？(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
25．（2022·山东泰安）某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电脑12台，B种平板电脑3台；也可以用9000元购进A种平板电脑6台，B种平板电脑6台．
(1)求A、B两种平板电脑的进价分别为多少元？
(2)考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑，已知A型平板电脑售价为700元/台，B型平板电脑售价为1300元/台．根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍．假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
8．（2022·广西玉林）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
(1)求两次购买龙眼各是多少吨？
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼千，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
9．（2022·黑龙江哈尔滨）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
10．（2022·贵州黔东南）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
2023年中考数学第一轮复习
模块二 方程与不等式
专题4 一元一次不等式（组）
知识梳理
不 等 式 或 组 不等式 定义 用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式。
基本性质 （1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变 （2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变 （3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变
一元一次不等式 定义 含有一个未知数，未知数的次数是1且未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式。
解法 ① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 未知数的系数化为1. 在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.
一元一次不等式组 定义 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.
解法 先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。
四种基本不等式组的解集 不等式组(ax≥b 大大取大
　 x≤a 　 小小取小
a≤x≤b 大小小大中间找
无解 大大小小解不了
题型梳理
题型一、不等式的性质
1．（2022·浙江杭州）已知a，b，c，d是实数，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质，即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴．故选：A
2．（2022·江苏宿迁）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由x＜y可得：，故选项成立；
B、由x＜y可得：，故选项不成立；
C、由x＜y可得：，故选项不成立；
D、由x＜y可得：，故选项不成立；故选A.
3．（2022·湖南湘潭）若，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质1来判断A和D，根据不等式的基本性质2来求解B的C．
【详解】解：A．因为，不等边两边同时加上2得到，故原选项正确，此项符合题意；
B．因为，不等边两边同时乘-3得到，故原选项错误，此项不符合题意；
C．因为，不等边两边同时除以4得到，故原选项错误，此项不符合题意；
D．因为，不等边两边同时减1得到，故原选项错误，此项不符合题意．故选：A．
4．（2022·内蒙古包头）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：A、∵m＞n，∴，故本选项不合题意；
B、∵m＞n，∴，故本选项不合题意；
C、∵m＞n，∴，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴，故本选项符合题意；故选：D．
题型二、解一元一次不等式
1．（2022·湖南株洲）不等式的解集是（　　　 ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接移项、合并同类项、不等号两边同时除以4即可求解．
【详解】解：4x 1<0
移项、合并同类项得：4x<1
不等号两边同时除以4，得：x<故选：D．
2．（2022·甘肃武威）不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案．
【详解】解：3x-2＞4，
移项得：3x＞4+2，
合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2．故选：C．
3．（2022·浙江嘉兴）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：3x＋1＜2x 解得：
在数轴上表示其解集如下：
故选B
4．（2022·辽宁锦州）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得不等式的解集为x≤4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可．
【详解】∵不等式的解集为x≤4，
∴数轴表示为：
，
故选C．
5．（2022·安徽）不等式的解集为________．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】解：
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
6．（2022·湖北宜昌）解不等式，并在数轴上表示解集．
【答案】，在数轴上表示解集见解析
【分析】通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得，在数轴上表示解集即可．
【详解】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项得，
系数化为1，得，
在数轴上表示解集如图：
7．（2022·浙江金华）解不等式：．
【答案】
【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴．
8．（2022·浙江温州）（1）计算：．
（2）解不等式，并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）12；（2），见解析
【分析】（1）先计算算术平方根，乘方，绝对值，再作加减法；
（2）先移项合并同类项系数化成1，再把解集表示在数轴上．
【详解】（1）原式．
（2），移项，得．
合并同类项，得．两边都除以2，得．
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．
9．（2022·江苏连云港）解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式的解集为x＞1，在数轴上表示见解析.
【详解】试题分析：根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
试题解析：
去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
题型三、解一元一次不等式组
1．（2022·山东滨州）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解①得，解②得，
不等式组的解集为，在数轴上表示为：
，故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·湖南衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解不等式①得： 解不等式②得：
不等式组的解集为．故选：A．
3．（2022·福建）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，故选：C．
4．（2022·山东聊城）不等式组的解集是______________．
【答案】
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：；
所以不等式组的解集为：．
故答案为：
5．（2022·湖南怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解，然后在数轴上把解集表示出来即可．
【详解】解：由①得，由②得，
该不等式组的解集为，
在数轴上表示该不等式组的解集为：
6．（2022·浙江湖州）解一元一次不等式组
【答案】
【分析】分别解出不等式①和②，再求两不等式解的公共部分，即可．
【详解】解不等式①：解不等式②：
∴原不等式组的解是
【点睛】本题考查解不等式组，注意最终结果要取不等式①和②的公共部分．
7．（2022·江苏扬州）解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和．
【答案】3
【分析】先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可．
【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，∴不等式组的所有整数解为： ， ， ， ， ，
∴所有整数解的和为：．
8．（2022·四川成都）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）本题涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）分别解出两个不等式的解集再求其公共解．
【解析】解：（1）
=
=
=1．
（2）
不等式①的解集是x≥-1；
不等式②的解集是x＜2；
所以原不等式组的解集是-1≤x＜2．
9．（2022·山东威海）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来:．
【答案】，数轴见解析
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】∵
∴
故，
因为
通分得
移项得
解得，
所以该不等式的解集为：，
用数轴表示为：
题型四、解一元一次不等式（组）的参数问题
1．（2022·湖南邵阳）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出的最大值．
【详解】解不等式，，
∴，∴，解不等式，得，∴，
∴的解集为，∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，∴的最大值应为5故选：C．
【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．
2．（2022·重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．－26 B．－24 C．－15 D．－13
【答案】D
【分析】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可．
【详解】∵ ，解①得解集为，解②得解集为，
∵ 不等式组的解集为，∴，解得a＞-11，
∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是负整数，
∴a＜1且a≠-2，∴-11＜a＜1且a≠-2，故a=-8或a=-5，
故满足条件的整数的值之和是-8-5=-13，故选D．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．
3．（2022·山东泰安）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可．
【详解】解：分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-1，即a2-3a-4=0，
分解因式得：（a-4）（a+1）=0，解得：a=-1或a=4，
经检验a=4是增根，分式方程的解为a=-1，
当a=-1时，由a＜x≤b只有4个整数解，得到3≤b＜4．故选：D．
4．（2022·黑龙江）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
【答案】##
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的不等式组的解集为，
．
故答案为：．
5．（2022·黑龙江绥化）不等式组的解集为，则m的取值范围为_______．
【答案】m≤2
【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．
【详解】解：，
解①得：，
又因为不等式组的解集为x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
6．（2022·四川达州）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解,
∴不等式组的解集为： ，
不等式组恰有3个整数解，则整数解为1，2，3
，解得．答案为：．
题型四、一元一次不等式（组）的实际问题
1．（2022·吉林）与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据差运算、不大于的定义列出不等式即可．
【详解】解：由题意，用不等式表示为，
故选：D．
2．某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为(　 　)
A．13 B．14
C．15 D．16
3．(2022 山西)某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元．
4．（2020 朝阳）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（　　）
A．8 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【解答】解：设可以打x折出售此商品，
由题意得：240×，
解得x≥6，
故选：B．
5．（2022·湖北黄冈）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
【答案】(1)买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元(2)至少买乙种快餐37份
【分析】（1）设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意列出方程组，解方程即可求解；
（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【解析】(1)解：设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意得，
解得
答：买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元；
(2)设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意得，
解得
至少买乙种快餐37份
答：至少买乙种快餐37份．
6．（2022·四川遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【答案】(1)篮球的单价为120元，足球的单价为90元
(2)学校一共有四种购买方案：方案一：篮球30个，足球20个；方案二：篮球31个，足球19个；方案三：篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【解析】 (1)解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
由题意可得：，解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
(2)解：设采购篮球m个，则采购足球为（50-m）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，解得30≤x≤33，
∵x为整数，∴x的值可为30，31，32，33，∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
7．（2022·四川德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍．(1)求、两种树苗的单价分别是多少元？(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
【答案】(1)种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元
(2)有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．
【分析】（1）设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，”列出方程，即可求解；（2）设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，列出不等式组，可得，从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解．
【解析】(1)解：设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得：
，解得：，∴1.25x=5，
答：种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元；
(2)解：设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得：
，解得：，
∵a为正整数，∴a取20，21，22，23，24，25，∴有6种购买方案，
设总费用为w元，∴，∵-1＜0，∴w随a的增大而减小，
∴当a=25时，w最小，最小值为475，此时100-a=75，
答：有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．
25．（2022·山东泰安）某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电脑12台，B种平板电脑3台；也可以用9000元购进A种平板电脑6台，B种平板电脑6台．
(1)求A、B两种平板电脑的进价分别为多少元？
(2)考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑，已知A型平板电脑售价为700元/台，B型平板电脑售价为1300元/台．根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍．假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
【答案】(1)A、B两种平板电脑的进价分别为500元、1000元
(2)为使利润最大，购进B种平板电脑13台，A种平板电脑34台．
【分析】（1）设A和B的进价分别为x和y，台数×进价=付款，可得到一个二元一次方程组，解即可．
（2）设购买B平板电脑a台，则购进A种平板电脑台，由题意可得到不等式组，解不等式组即可．
【解析】(1)设A、B两种平板电脑的进价分别为x元、y元．由题意得，，
解得，答：A、B两种平板电脑的进价分别为500元、1000元；
(2)设商店准备购进B种平板电脑a台，则购进A种平板电脑台，
由题意，得 ，解得12.5≤a≤15，
∵a为整数，∴a=13或14或15．
设总利润为w，则：w=（700-500）×+（1300-1000）a=-100a+12000，
∵-100＜0，∴w随a的增大而减小，
∴为使利润最大，该商城应购进B种平板电脑13台，A种平板电脑＝34台．
答：购进B种平板电脑13台，A种平板电脑34台．
8．（2022·广西玉林）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
(1)求两次购买龙眼各是多少吨？
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼千，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【答案】(1)第一次购买了7吨龙眼，第二次购买了14吨龙眼
(2)至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉
【分析】（1）设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，则总的销售额为：，则根据题意有不等式，解该不等式即可求解．
(1)
设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，
根据题意有：
，解得：，
即第一次购买龙眼7吨，第二次购买龙眼14吨；
(2)
设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，
则总的销售额为：，
则根据题意有：，
解得：，
即至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉．
9．（2022·黑龙江哈尔滨）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
【答案】(1)每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元
(2)该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料
【分析】（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可；
（2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买盒B种型号的颜料，根据总费用不超过3920元，列出不等式求解即可．
(1)
解：设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元．
根据题意得解得
∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．
(2)
解：设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，
根据题意得
解得
∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
10．（2022·贵州黔东南）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)①；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解．
(1)
解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
，
解得：；
经检验：是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)
解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为台，
∴；
②由题意得：，
解得：，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．