【模块二 方程与不等式】专题1 一元一次方程与二元一次方程（组）-2023年中考数学第一轮复习（含解析）

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2023年中考数学第一轮复习
模块二 方程与不等式
专题1 一元一次方程与二元一次方程（组）
一 元 一 次 方 程 概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).
解法 解法依据是等式的基本性质. 性质①：若a=b，则a±m=b±m； 性质②：若a=b，则am=bm；若a=b，则(d≠0).
解法的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.
二 元 一 次 方 程 组 定义 二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。 两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组，如
解法 代入法解二元一次方程组的一般步骤： 从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来; 将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程; 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值; d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.
加减法解二元一次方程组的一般步骤: a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使 它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数; b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程; c. 解这个一元一次方程; d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.
常见 运用 题型 解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
工程问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总; 追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程; (异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程
利润问题：利润=卖价-进价；利润率=×100%.
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字
题型一、解一元一次方程
1．(2022 百色)方程3x＝2x＋7的解是(　C　)
A．x＝4 B．x＝－4
C．x＝7 D．x＝－7
2．(2021 广元改编)方程＋＝4的解是x＝7 .
3．(2021 重庆A卷)若关于x的方程＋a＝4的解是x＝2，则a的值为3 .
4．解方程：x－＝1＋.
5．解方程：－＝1.
题型二、解二元一次方程（组）
1．（2022·江苏无锡）二元一次方程组的解为________．
2．（2022·山东潍坊）方程组的解为___________．
3．（2022·湖北随州）已知二元一次方程组，则的值为______．
4．（2022·内蒙古呼和浩特）计算求解：
(1)计算 (2)解方程组
5．（2022·山西）（1）计算：；（2）解方程组：．
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题型三、一元一次方程与二元一次方程（组）的参数问题
1．（2022·四川雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____．
2．(2020 广东节选)已知关于x，y的方程组与的解相同．a，b的值分别为_____，_____．
3．若关于x，y的方程组的解满足方程x﹣y＝13，则k的值是（　　）
A．﹣10 B．﹣8 C．10 D．8
4．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组则m＋2n＝(　 　)
A．0 B．2
C．4 D．6
5．（2021 呼和浩特）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．
题型四、一元一次方程的实际问题
1．（2022·四川南充）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·贵州铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
3．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
4．（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
题型五、二元一次方程组的实际问题
1．（2022·江苏宿迁）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江嘉兴）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川成都）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
5．（2022·湖南衡阳）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
6．（2022·内蒙古赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．
(1)请问A、B两种苗木各多少株？
(2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
7．（2022·四川广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
(1)求A、B两厂各运送多少吨水泥
(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由
2023年中考数学第一轮复习
模块一 方程与不等式
专题1 一元一次方程与二元一次方程（组）
知识梳理
一 元 一 次 方 程 概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).
解法 解法依据是等式的基本性质. 性质①：若a=b，则a±m=b±m； 性质②：若a=b，则am=bm；若a=b，则(d≠0).
解法的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.
二 元 一 次 方 程 组 定义 二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。 两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组，如
解法 代入法解二元一次方程组的一般步骤： 从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来; 将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程; 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值; d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.
加减法解二元一次方程组的一般步骤: a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使 它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数; b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程; c. 解这个一元一次方程; d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.
常见 运用 题型 解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
工程问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总; 追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程; (异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程
利润问题：利润=卖价-进价；利润率=×100%.
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字
题型梳理
题型一、解一元一次方程
1．(2022 百色)方程3x＝2x＋7的解是(　C　)
A．x＝4 B．x＝－4
C．x＝7 D．x＝－7
2．(2021 广元改编)方程＋＝4的解是x＝7 .
3．(2021 重庆A卷)若关于x的方程＋a＝4的解是x＝2，则a的值为3 .
4．解方程：x－＝1＋.
5．解方程：－＝1.
题型二、解二元一次方程（组）
1．（2022·江苏无锡）二元一次方程组的解为________．
【答案】
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：．
①+②×2得：7x=14，
解得：x=2，
把x=2代入②得：2×2-y=1
解得：y=3，
所以，方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．（2022·山东潍坊）方程组的解为___________．
【答案】
【分析】用①×2+②×3，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入②求出y即可．
【详解】解：，
①×2+②×3，得13x=26，
解得：x=2，
把x=2代入②，得6-2y=0，
解得y=3，
故方程组的解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
3．（2022·湖北随州）已知二元一次方程组，则的值为______．
【答案】1
【分析】直接由②-①即可得出答案．
【详解】原方程组为，由②-①得．故答案为：1．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解．
4．（2022·内蒙古呼和浩特）计算求解：
(1)计算 (2)解方程组
【答案】(1)5(2)
【分析】（1）先去绝对值，算负整数指数幂，将特殊角三角函数值代入，再计算即可；
（2）直接解二元一次方程组即可．
(1)
原式＝2+3
5；
(2)
整理方程组得：，
由①得：y＝5-4x③，
将③代入②得：-5x＝5，
解得：x＝-1，
将x＝-1代入③得：y＝9，
则方程组得解为：．
【点睛】本题考查实数运算和解二元一次方程组，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．
5．（2022·山西）（1）计算：；（2）解方程组：．
【答案】（1）2 ；（2） ．
【分析】（1）先根据乘方的意义、负整数指数幂、绝对值运算，然后合并即可；
（2）利用加减消元法解方程组．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
①＋②，得，
∴．
将代入②，得，
∴．
所以原方程组的解为，
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及乘方、负整数指数幂、绝对值运算．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型三、一元一次方程与二元一次方程（组）的参数问题
1．（2022·四川雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____．
【答案】1
【分析】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整体代入求值即
可．
【详解】解：把代入ax+by＝3可得：
，
2a+4b﹣5
．
故答案为：1
2．(2020 广东节选)已知关于x，y的方程组与的解相同．
求a，b的值．
3．若关于x，y的方程组的解满足方程x﹣y＝13，则k的值是（　　）
A．﹣10 B．﹣8 C．10 D．8
4．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组则m＋2n＝(　 　)
A．0 B．2
C．4 D．6
5．（2021 呼和浩特）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．
题型四、一元一次方程的实际问题
1．（2022·四川南充）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设鸡有x只，则兔子有（35-x）只，根据足共有94列出方程即可．
【详解】解：设鸡有x只，则兔子有（35-x）只，
根据题意可得：2x+4(35-x)=94，故选：D．
2．（2022·贵州铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．
【详解】解：设小红答对的个数为x个，
由题意得，
解得，
故选B．
3．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【答案】240千米
【分析】平常速度行驶了的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设小强家到他奶奶家的距离是千米，则平时每小时行驶千米，减速后每小时行驶千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得：，解得：，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
4．（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元．
【分析】设学生人数为x人，然后根据题意可得，进而问题可求解．
【详解】解：设学生人数为x人，由题意得：
，
解得：，
∴该书的单价为（元），
答：学生人数为7人，该书的单价为53元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
题型五、二元一次方程组的实际问题
1．（2022·江苏宿迁）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：，故选：B．
2．（2022·浙江嘉兴）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分等量关系：胜场平场负场，得分总和为17．
【详解】解：设该队胜了x场，平了y场，
根据题意，可列方程组为：，故选：A．
3．（2022·四川成都）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得，
故选：A．
4．（2022·山东泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
【答案】A种茶每盒100元，B种茶每盒150元
【分析】设第一次购进A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，根据第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元列出方程组求解即可．
【详解】解：设第一次购进A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，
根据题意，得解，得
A种茶每盒100元，B种茶每盒150元．
5．（2022·湖南衡阳）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个
(2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，利润取得最大值为992元
【分析】（1）设冰墩墩进价为元，雪容融进价为元，列二元一次方程组求解；
（2）设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，列出与的函数关系式，并分析的取值范围，从而求出的最大值．
【解析】 (1)解：设冰墩墩进价为元/个，雪容融进价为元/个．
得，解得．
∴冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个．
(2)设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，则，
∵，所以随增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
得，解得．
∴当时，最大，此时，．
答：冰墩墩进货个，雪容融进货个时，获得最大利润，最大利润为元．
6．（2022·内蒙古赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．
(1)请问A、B两种苗木各多少株？
(2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
【答案】(1)A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵；
(2)安排100人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务．
【分析】（1）根据在基地上种植A，B两种苗木共6000株，A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，最后要检验．
(1)
解：设A苗木的数量是x棵，则B苗木的数量是y棵，
根据题意可得：，
解得：，
答：A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵；
(2)
解：设安排a人种植A苗木，则安排（350-a）人种植B苗木，
根据题意可得：，
解得，a=100，
经检验，a=100是原方程的解，
∴350-a=250，
答：安排100人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
7．（2022·四川广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
(1)求A、B两厂各运送多少吨水泥
(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由
【答案】(1)A厂运送了250吨，B厂运送270吨；
(2)；A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨；
【分析】（1）设A厂运送x吨，B厂运送y吨，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意，列出w与a之间的函数关系式，然后进行整理即可，再结合B厂运往甲地的水泥最多150吨，求出总运费最低的方案．
(1)
解：根据题意，设A厂运送x吨，B厂运送y吨，则
，解得，
∴A厂运送了250吨，B厂运送270吨；
(2)
解：根据题意，则
，
整理得：；
∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴，
∴；
当时，总运费最低；
此时的方案是：
A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂题意，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
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