【模块三 函数】专题3 反比例函数-2023年中考数学第一轮复习（含解析）

2023年中考数学第一轮复习
模块三 函数
专题3 反比例函数
反比例函数 定义 如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数,且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
图象 和性质 图象的特征 反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
图象和性质 k>0 经过一、三象限 在每个象限内,y随x增大而减小
k<0 经过二、四象限 在每个象限内,y随x增大而增大
解析式的确定 求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法.
k的几何意义 过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线段，两条垂线段以及两坐标轴围成的矩形的面积为|k|.
题型一、反比例函数概念及其解析式
1．（2022·海南）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州遵义）反比例函数与一次函数交于点，则的值为__________．
3（2022·黑龙江哈尔滨）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
题型二、反比例函数的图像与性质
1．（2022·北京）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）
2.（2022·广东）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西贺州）己知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·湖南）在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
题型三、反比例函数k的几何意义
1．（2022·湖南郴州）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
2．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
4．（2022·广西桂林）如图，点A在反比例函数y＝的图像上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB⊥y轴于点B，若AOB的面积是3，则k的值是 _____．
5．（2022·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．
6．（2022·山东烟台）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 _____．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______________．
8．（2022·贵州铜仁）如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形间面积为6，，则k的值为_______．
题型四、反比例函数的不等式问题
1．（2022·湖北荆州）如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
2．（2022·内蒙古呼和浩特）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______．
3．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是_________．
题型五、反比例函数的实际问题
1．（2022·江苏常州）某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B．当K＝0时，的阻值为100
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态
3．（2022·山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
4．（2022·吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示．
(1)求密度关于体积的函数解析式；
(2)当时，求该气体的密度．
题型六、反比例函数的综合题
1．（2022·内蒙古通辽）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北十堰）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（ ）
A．36 B．18 C．12 D．9
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3．（2022·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是_________．
4．（2022·贵州黔东南）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则______．
5．（2022·山东威海）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____．
6．（2022·四川宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为______．
题型七、反比例函数与一次函数综合
1．（2022·山东聊城）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．
(1)求k，p的值；
(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
2．（2022·黑龙江大庆）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
3．（2022·黑龙江绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当时，求x的取值范围；
(3)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
4．（2022·湖南岳阳）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集．
5．（2022·四川宜宾）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
6．（2022·湖北恩施）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC=3S△ADC．反比例函数y1=(k≠0)的图象经过点D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若AB所在直线解析式为，当时，求x的取值范围．
7．（2022·山东青岛）如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知点满足，求a的值．
8．（2022·辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点，且点B为的中点．
(1)求k的值和点C的坐标；
(2)求的周长．
9．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标为1，过点作轴，于点，点是直线上一点，且．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，请直接写出不等式的解集．
10．（2022·四川达州）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年中考数学第一轮复习
模块三 函数
专题3 反比例函数
知识梳理
反比例函数 定义 如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数,且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
图象 和性质 图象的特征 反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
图象和性质 k>0 经过一、三象限 在每个象限内,y随x增大而减小
k<0 经过二、四象限 在每个象限内,y随x增大而增大
解析式的确定 求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法.
k的几何意义 过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线段，两条垂线段以及两坐标轴围成的矩形的面积为|k|.
题型梳理
题型一、反比例函数概念及其解析式
1．（2022·海南）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，
（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，
1×（﹣6）＝﹣6，
,6×1＝6≠﹣6，
则它一定还经过（1，﹣6），故选：C．
2．（2022·贵州遵义）反比例函数与一次函数交于点，则的值为__________．
【答案】6
【分析】将点，代入，求得，进而即可求解．
【详解】解：将点，代入，
即，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求得点的坐标是解题的关键．
3（2022·黑龙江哈尔滨）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
【答案】
【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．
【详解】解：把点代入得：
．
故答案为：．
题型二、反比例函数的图像与性质
1．（2022·北京）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）
【答案】＞
【分析】根据反比例函数的性质，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵k>0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
∴>．
故答案为：>．
2.（2022·广东）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质可直接进行求解．
【详解】解：由反比例函数解析式可知：，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，，在反比例函数图象上，
∴，故选D．
3．（2022·广西贺州）己知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得，从而得到一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比函数的图象位于第一、三象限内，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比函数的图象位于第一、三象限内．故选：A
4．（2022·湖南）在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选：D．
题型三、反比例函数k的几何意义
1．（2022·湖南郴州）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由即可求解；
【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∵，∴
∵∴故选：B．
2．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，AB∥OD，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，
∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，
∴，AB∥OD，∴AB⊥y轴，
∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，
∴，∴，解得：．故选：D．
3．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
【答案】D
【分析】设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，则PQ＝PM+MQ＝，再根据ab＝8，S△POQ＝15，列出式子求解即可．
【详解】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，
∴PQ＝PM+MQ＝．
∵点P在反比例函数y＝的图象上，
∴ab＝8．
∵S△POQ＝15，
∴PQ OM＝15，
∴a（b﹣）＝15．
∴ab﹣k＝30．
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22．
故选：D．
4．（2022·广西桂林）如图，点A在反比例函数y＝的图像上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB⊥y轴于点B，若AOB的面积是3，则k的值是 _____．
【答案】﹣6
【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以得到k的值．
【详解】解：设点A的坐标为（a，），
由图可知点A在第二象限，
∴a＜0，，
∴k＜0，
∵△AOB的面积是3，
∴，
解得k＝-6，
故答案为：-6．
5．（2022·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．
【答案】2
【分析】作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，证明△ADC≌△BDO，推出S△OAC = S△OAB=1，由此即可求得答案．
【详解】解：设A(a，b) ，如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，
则：AC=b ，OC=a ，AC∥OB，
∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，
∴△ADC≌△BDO，
∴S△ADC=S△BDO，
∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，
∴×OC×AC=ab=1，
∴ab=2，
∵A(a，b) 在y=上，
∴k=ab=2 ．
故答案为：2 ．
6．（2022·山东烟台）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 _____．
【答案】6
【分析】应用k的几何意义及中线的性质求解．
【详解】解：D为AC的中点，的面积为3，
的面积为6，
所以，
解得：m＝6．
故答案为：6．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______________．
【答案】
【分析】设点，利用即可求出k的值．
【详解】解：设点，
∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
8．（2022·贵州铜仁）如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形间面积为6，，则k的值为_______．
【答案】3
【分析】设点，可得，，从而得到CD=3a，再由．可得点B，从而得到，然后根据，即可求解．
【详解】解∶设点，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，
∴CD=3a，
∵．轴，
∴BC∥y轴，
∴点B，
∴，
∵，四边形间面积为6，
∴，
解得：．
故答案为：3．
题型四、反比例函数的不等式问题
1．（2022·湖北荆州）如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据图象进行分析即可得结果；
【详解】解：∵
∴
由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为，
由图象可以看出当或时，函数在上方，即，故选：D．
2．（2022·内蒙古呼和浩特）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围．
【详解】解：∵在反比例函数y=中，k＞0，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴这两个点在同一象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
3．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是_________．
【答案】-2＜x＜0或x＞4
【分析】先求出n的值，再观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过A（-2，2），
∴m=-2×2=-4，
∴，
又反比例函数的图象经过B（n，-1），
∴n=4，
∴B（4，-1），
观察图象可知：当时，图中一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞4．
故答案为：-2＜x＜0或x＞4．
题型五、反比例函数的实际问题
1．（2022·江苏常州）某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据：平均每人拥有绿地，列式求解．
【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地．
故选：C
2．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B．当K＝0时，的阻值为100
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态
【答案】C
【分析】根据函数图象分析即可判断A，B，根据图3公式计算即可判定C，D．
【详解】解：根据函数图象可得，
A.随的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大，的阻值越小，故正确，不符合题意；
B. 当K＝0时，的阻值为100，故正确，不符合题意；
C. 当K＝10时，则，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意；
D. 当时，，则，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意；
故选:C.
3．（2022·山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
【答案】400
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），
∴，∴反比例函数的解析式为，
当S=0.25时，．故答案为：400
4．（2022·吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示．
(1)求密度关于体积的函数解析式；
(2)当时，求该气体的密度．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）用待定系数法即可完成；
（2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度．
(1)
设密度关于体积的函数解析式为，
把点A的坐标代入上式中得：，
解得：k=10，
∴．
(2)
当时，（）．
即此时该气体的密度为1．
题型六、反比例函数的综合题
1．（2022·内蒙古通辽）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明△COE≌△ABE（AAS），则OE=BD=；由S△BDC= BD CF=可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3，所以点D的纵坐标为4；设C（m，），D（m+9，4），则k=m=4（m+9），求出m的值即可求出k的值．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴ABOC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BDy轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD=，
∵S△BDC= BD CF=，
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3．
∴点D的纵坐标为4，
设C（m，），D（m+9，4），
∵反比例函数y=（x＜0）的图像经过C、D两点，
∴k=m=4（m+9），
∴m=-12，
∴k=-12．
故选：C．
2．（2022·湖北十堰）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（ ）
A．36 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【分析】设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3，），C（3-t，+t），由点C在反比例函数y=的图象上，推出t=3-，进而求出点B的坐标（3，6-），再点C在反比例函数y=的图象上，整理后，即可得出结论．
【详解】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．
∴点D的坐标为（3，），
∴点C的坐标为（3-t，+t）．
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴（3-t）（+t）=k2，化简得：t=3-，
∴点B的纵坐标为+2t=+2（3-）=6-，
∴点B的坐标为（3，6-），
∴3×（6-）=，整理，得：+=18．
故选：B．
3．（2022·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是_________．
【答案】4
【分析】作CF垂直y轴， 设点B的坐标为(0，a)，可证明（AAS），得到CF=OB=a，BF=AO=3，可得C点坐标，因为E为正方形对称线交点，所以E为AC中点，可得E点坐标，将点C、E的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值．
【详解】作CF垂直y轴于点F，如图，设点B的坐标为(0，a)，
∵四边形是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90°
∴∠OAB=∠FBC
在△BFC和△AOB中
∴
∴BF=AO=3，CF=OB=a
∴OF=OB+BF=3+a
∴点C的坐标为(a，3+a)
∵点E是正方形对角线交点，
∴点E是AC中点，
∴点E的坐标为
∵反比例函数的图象经过点C，E
∴
解得：k=4
故答案为：4
4．（2022·贵州黔东南）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则______．
【答案】
【分析】根据是等腰直角三角形，轴，得到是等腰直角三角形，再根据求出 A点，C点坐标，根据中点公式求出D点坐标，将D点坐标代入反比例函数解析式即可求得k．
【详解】∵是等腰直角三角形，轴．
∴；．
∴是等腰直角三角形．
∴．
故：，．
．
将D点坐标代入反比例函数解析式．
．
故答案为：．
5．（2022·山东威海）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____．
【答案】24
【分析】过点C作CE⊥y轴，由正方形的性质得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出∠CBE=∠BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴，
∵点B（0，4），A（2，0），
∴OB=4，OA=2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，AB=BC，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，
∴，
∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（4，6），
将点C代入反比例函数解析式可得：
k=24，
故答案为：24．
6．（2022·四川宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为______．
【答案】
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，设OC=x，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得点B(x，x)，点A(15-2x，2x-5)，再利用反比例函数的性质列方程，解方程即可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图：
∵△OMN是边长为10的等边三角形，
∴OM=MN=ON=10，∠MON=∠MNO=∠M=60°，
∴∠OBC=∠MAB=∠NAD=30°，
设OC=x，则OB=2x，BC=x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x，
∴NA=10-MA=4x-10，DN=NA=2x-5，AD=DN=(2x-5)= 2x-5，
∴OD=ON-DN=15-2x，
∴点B(x，x)，点A(15-2x，2x-5)，
∵反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B，
∴x x=(15-2x)( 2x-5)，
解得x=5(舍去)或x=3，
∴点B(3，)，∴k= 9．故答案为：9．
题型七、反比例函数与一次函数综合
1．（2022·山东聊城）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．
(1)求k，p的值；
(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为(4，2)
【分析】（1）先求出点B的坐标，得到，结合点A的横坐标为2，求出的面积，再利用求出，设，代入面积中求出k，得到反比例函数解析式，再将点A横坐标代入出点A纵坐标，最后将点A坐标代入直线即可求解；
（2）根据（1）中点C的坐标得到点E的坐标，结合OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，列出关于m的方程，解方程即可求解．
(1)
解：∵直线与y轴交点为B，
∴，
即．
∵点A的横坐标为2，
∴．
∵，
∴，
设，
∴，
解得．
∵点在双曲线上，
∴，
把点代入，得，
∴，；
(2)
解：由（1）得，
∴．
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴，
∵，，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴点的坐标为（4，2）．
2．（2022·黑龙江大庆）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；
(1)
解：把代入，得
，
解得，，
所以反比例函数解析式是；
(2)
存在点P使△ABP周长最小，理由：
解和得，
和，
，
和，
，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，
△ABP的周长= ，
，
，
．
3．（2022·黑龙江绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当时，求x的取值范围；
(3)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
【答案】(1)
(2)或，
(3)
【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据的面积为和直线解析式求出点P坐标，从而可求出反比例函数解析式；
（2）联立方程组并求解可得点K的坐标，结合函数图象可得出x的取值范围；
（3）作点K关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，求出点C的坐标，再根据求解即可．
(1)
解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，
∴把，代入得，
，解得，，
∴一次函数解析式为
过点P作轴于点H，
∵
∴
又
∴
∴
∴，
∴
∴
∵在双曲线上，
∴
∴
(2)
解：联立方程组得，
解得， ，
∴
根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有或，
∴当时，求x的取值范围为或，
(3)
解：作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则（1，-2），OM=1，
连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，
设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为
当时，，解得，，
∴
∴
∴
，
∴
4．（2022·湖南岳阳）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)4
(3)或
【分析】（1）把点代入可得的值，求得反比例函数的解析式；
（2）根据对称性求得、的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
（3）根据图象得出不等式的解集即可．
(1)
解：把点代入得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
(2)
∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，
∴，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∴，
∴．
(3)
根据图象得：不等式的解集为或．
5．（2022·四川宜宾）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)8
【分析】（1）根据，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；再通过比例关系解出点C的坐标，可得反比例函数表达式；
（2）过D作轴，垂足为点，联列方程组解出点D的坐标，再根据即可求出的面积．
(1)
在中，∵，
∴，
∵，∴，
∵A、B两点在函数上，
将、代入得
解得，，
∴
设，过点C作轴，垂足为E，则，
∴，
又∵，
∴，
即，，即，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
(2)
解方程组，得，
∴，
过D作轴，垂足为点
∵
∴
．
6．（2022·湖北恩施）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC=3S△ADC．反比例函数y1=(k≠0)的图象经过点D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若AB所在直线解析式为，当时，求x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y1=；
(2)当时，0【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及S△ABC=3S△ADC，求得DC=2，得到D (6，4)，利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，解方程x+2=，求得直线y2= x+2与反比例函数y1=的图象的两个交点，再利用数形结合思想即可求解．
(1)
解：∵A(0，2)，C(6，2)，
∴AC=6，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=6，
∵S△ABC=3S△ADC，
∴BC=3DC，
∴DC=2，
∴D (6，4)，
∵反比例函数y1=(k≠0)的图象经过点D，
∴k=6×4=24，
∴反比例函数的解析式为y1=；
(2)
∵C(6，2)，BC=6，
∴B (6，8)，
把点B、A的坐标分别代入中，得，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
解方程x+2=，
整理得：x2+2x-24=0，
解得：x=4或x=-6，
∴直线y2= x+2与反比例函数y1=的图象的交点为(4，6)和(-6，-4)，
∴当时，07．（2022·山东青岛）如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知点满足，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，得，由轴可得，进一步求出点，将A，C点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）由勾股定理求出AC的长，再根据且E在x轴上，分类讨论得a的值．
(1)
解：（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴
∴
∵轴
∴
∴
∴
∴
∵点在一次函数的图象上
∴
解得
∴一次函数的表达式为．
(2)
在中，由勾股定理得，
∴
当点E在点C的左侧时，
当点E在点C的右侧时，
∴a的值为或．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解答本题的关键．
8．（2022·辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点，且点B为的中点．
(1)求k的值和点C的坐标；
(2)求的周长．
【答案】(1)k=12，C(0，9)
(2)
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式可求得k，根据点A，点C的位置分别设出点A(a，)，点C(0，c)，分别过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥y轴于点D，根据三角形的中位线定理得AE=2BD，CE=2CD，继而求出点C的坐标；
（2）在（1）的条件下利用勾股定理求出AC，OA，利用数轴上两点间的距离求出OC，即可求出的周长．
(1)
解：∵的图象经过点，
∴k=2×6=12，
即反比例函数解析式为，
∵反比例函数经过点A，点C在y轴上，
∴可设A(a，)，C(0，c)，
如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥y轴于点D，
∴E(0， )，D(0，6)，AE∥BD，BD=2，AE=a
∵点B为的中点，
∴AE=2BD，CE=2CD，
∴a=4，
∴E(0，3)，
∴c-3=2(c-6)，
解得c=9，
即C(0，9) ．
(2)
由（1）可知A(4,3)，E(0，3)，C(0，9)，
∴OC=9，，
，
∴的周长为
9．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标为1，过点作轴，于点，点是直线上一点，且．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，请直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据点C的坐标及点点的横坐标，可求得CD的长和点B的纵坐标，进而可求得AC的长，利用勾股定理即可求得AD，进而点A的坐标，进而可求得反比例函数的解析式，进而可求得点B的坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式．
（2）变形不等式为，即，根据数形结合，找出反比例函数图象在一次函数图象上方的部分即可求解．
(1)
解：∵，且点的横坐标为1，
∴，且，
，
在中，
，
，
点A的坐标为，且点A在反比例函数的图象上，
，解得，
反比例函数的解析式为：，
当时，，解得，
∴点B的坐标为，
将和代入一次函数得，
，解得，
∴一次函数的解析式为：．
(2)
由题意得，
，即，即，
只需反比例函数图象在一次函数图象上方即可，
由图可得当或时，，
∴不等式的解集为：或．
10．（2022·四川达州）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案．
(1)解：把代入一次函数，得，
解得，
，
把代入反比例函数，得，
，
反比例函数的表达式为；
(2)解：令，解得或，
当时，，即，
当时，，
，
；
(3)
解：存在，理由如下：
当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；
当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即；
当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即；
综上，P点坐标为或或．