7.2复数的四则运算（两个课时）(共36张PPT)2022-2023学年高一数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019必修第二册)

(共36张PPT)
7.2复数的四则运算
第七章 复数
7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
课程标准
掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义
复习回顾
回顾 我们上节课学了哪些向量的知识？
1.复数的概念及表达式
2.的几何意义
3.复数的模
4.共轭复数的概念
新课导入
对于实数运算，我们学习了它的加、减、乘、除四则运算法则
在上一节，我们把实数集扩充到了复数集.
引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算.
下面就来讨论复数集中的运算问题.
一
二
三
教学目标
掌握复数加、减法的运算法则
理解复数加、减法则的几何意义
会利用运算法则的知识解决相关问题
教学目标
难点
重点
新知探究
探究一：复数的加法运算法则及其几何意义
概念生成
我们规定，复数的加法法则如下：
设，是任意两个复数，
那么它们的和.
两个复数的和仍然是一个确定的复数.
特别地，当，都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和.
所以，两个复数相加，类似于两个多项式相加.
新知讲解
问题1 复数的加法满足交换律、结合律吗？
显然，加法是满足交换律与结合律的
对任意
，有
新知讲解
问题2 向量的加法运算法则有怎样的几何意义呢？
追问 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
新知讲解
类比向量的运算设，分别与复数对应，则，.
由平面向量的坐标运算法则，得.
这说明两个向量与的和就是与复数 对应的向量
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.
复数是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
新知探究
探究二：复数的减法运算法则及其几何意义
新知讲解
我们知道，实数的减法是加法的逆运算.
问题3 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足
复数叫做复数减去复数的差，
记作.
新知讲解
根据复数相等的含义，因此
所以
即
这就是复数的减法法则.由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.
两个复数相减，类似于两个多项式相减.
新知讲解
问题4 类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
复数是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数.
与向量减法运算是一致的！
例题讲解
例1.计算.
解：
两个复数相加、减，都类似于两个多项式相减.
例题讲解
例2.根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离.
解：因为复平面内的点
，对应的复数分别为，，所以点，之间的距离为
小结
1.复数的加法、减法的运算法则：
设，是任意两个复数，则
(1).
(2).
2.复数的加法运算律：(交换律、结合律)
(1)
(2).
化简成
小结
3.复数加减法运算的几何意义：
(1)复数加法的几何意义：复数是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
(平行四边形法则)
(2)复数减法的几何意义：复数是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数.（三角形法则）
7.2复数的四则运算
第七章 复数
7.2.2复数的乘、除运算
一
二
三
教学目标
掌握复数乘、除法的运算法则
理解复数乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律
会利用运算法则的知识解决相关问题
（复数除法中的分母有理化运算）
教学目标
难点
重点
新知探究
探究一：复数的乘法运算
新知讲解
回顾 复数中的加、减法是怎么运算的呢？
复数的加法、减法的运算法则：
设，是任意两个复数，则
(1).
(2).
两个复数相加、减，都类似于两个多项式相加、减.
追问：两个复数相乘，会不会都类似于两个多项式相乘？它们的结果又会是怎样呢？
新知讲解
问题1 设是任意两个复数，那么它们的积是什么？
l
所以，两个复数的积是一个确定的复数.
特别地，当，都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积.
两个复数的乘积运算还是会运用多项式的乘法运算。
化简成
新知讲解
问题2 复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？
答案是肯定的，因此对任意，，，有
例题讲解
例3.计算.
解：
多项式运算
例题讲解
例4.计算
(1)； (2).
解(1)：
；
解(2)：
新知讲解
问题3 若是共轭复数，则是一个怎样的数？
共轭复数的性质：
1.若，则为实数；
2.若共轭复数的和为实数，设，则；
3.
4..
新知探究
探究二：复数的除法运算
新知讲解
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.
问题4 请探求复数除法的法则.
复数除法的法则是：
且
公式字母太多了，记不住怎么办？有没有什么好方法呢？
新知讲解
在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，在把分子与分母都乘分母的共轭复数，化简后就可得到上面的结果.这里分子分母都乘分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”.
分母有理化，因为的结果是一个常数
（1）分子分母同时乘以分母的共轭复数
（2）分母变成了常数，分子按复数乘法展开
（3）化简成形式
例题讲解
例5.计算.
解：
.
分母有理化，因为的结果是一个常数
（1）分子分母同时乘以分母的共轭复数
（2）分母变成了常数，分子按复数乘法展开
（3）化简成形式
例题讲解
例6.在复数范围内解下列方程：
(1)；
(2)其中，且，.
解(1)：因为
所以方程的根为.
例题讲解
解(2)：将方程的二次项系数化为，得
配方，得
由，知.类似(1)，可得
所以原方程的根为
概念生成
在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为：
(1)当时，
(2)当时，
小结
1.复数的乘法法则：
设，是任意两个复数，那么它们的积
.
2.复数乘法的运算律：
对任意，，，有
(1)交换律：
(2)结合律：；
(3)乘法对加法的分配律：.
多项式的乘法运算展开
化简成形式
小结
3.复数的除法及运算律：
设，，
则.
分母有理化
（1）分子分母同时乘以分母的共轭复数
（2）分母变成了常数，分子按复数乘法展开
（3）化简成形式
化简成