西南大学附高 2022—2023 学年度下期开学考试
高一数学试题
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；
必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）．
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1． 设函数 y = lg(4 x2 ) 的定义域 A ，函数 y = x 1 的定义域为 B ，则 A B =（ ）
A．（1，2） B．[1，2) C．（– 2，1） D． ( 2，1]
2． 命题“ R，sin 2”的否定为（ ）
A． R，sin 2 B． R，sin 2 C． R，sin 2 D． R，sin 2
x+3
3． 已知函数 y = a + 3（ a 0，且 a 1）的图象恒过点 P，若角 的终边经过点 P，则
cos =（ ）
3 3 4 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
4． 已知函数 f (x) = | tan x |，则下列结论不正确的是（ ）
3 3 ． A f = f B． 2 是 f (x) 的一个周期
4 4
C． f (x) 的图象关于点（ ，0）对称 D． f (x) 的定义域是{x | x + k ，k Z }
2 2
5． 定义在实数集 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (2 x) = f (x) ， f (1) =1，则 f (2023) =（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
π π 5
6． 已知 ， ， ，tan = 3，cos( + ) = ，则 tan =（ ）
2 2 5
1 1
A． B． C．1 D．2
2 2
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7． 已知海面上的大气压强是 760 mmHg，大气压强 p（单位：mmHg）和高度 h（单位：m）
之间的关系为 P = 760e hk（e 为自然对数的底数，k 是常数），根据实验知 500 m 高空处的
大气压强是 700 mmHg，则当歼 20 战机巡航高度为 1000 m，歼 16 D 战机的巡航高度为
1500 m 时，歼 20 战机所受的大气压强是歼 16 D 战机所受的大气压强的（ ）倍．（精
确度为 0.01）
A．0.67 B．0.92 C．1.09 D．1.26
2 1
8． 已知函数 f (x) = ax2 x + a，“函数 f (x)在（0，3）上有两个不相等的零点”是“ a ”
5 2
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
7
9． 已知 （0， ）， sin cos = ，则下列结论正确的是（ ）
5
3 3 tan 12
A． （ ， ） B． cos = C． tan = D． =
2 5 4 1+ tan2 25
10． 下列结论正确的是（ ）
A． y = x+1和 y = (1+ x)2 表示同一函数
x
B．函数 y = 定义域为（1，+ ）
x 1
2 1 C．若函数 y = log R a ，+ 2 (x + x + a) 的值域为 ，则 的取值范围为
4
D．函数 y = f (x) 定义域为[ 1，2]，则 y = f (x) + f ( x) 定义域为[ 1，1]
11． 下列说法正确的是（ ）
1
A．函数 y = x + 的最小值为 2
x
1 4
B．函数 y = + 9
cos2 2
的最小值为
x sin x
x2 + 4 2
C．函数 y = 的最大值为
x2 + 5 5
D．若 log a + b 4 (3a + 4b) = log2 ab ，则 的最小值是7 + 4 3
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2 sin x ，x 0
12． 已知函数 f (x) = 2 （ a 0且 a 1），若函数图象上关于原点对称的点至
loga ( x)，x 0
少有 5 对，则实数 a 的可能取值有（ ）
A． 3 B．2 C． 6 D． 99
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1
13． 幂函数 y = x 的图象过点（4， ），则 = ____________．
2
14． 如图，扇形 AOB 的周长是 9，该扇形的圆心角是 1 弧度，则该扇形的
面积为____________．
15． 若 lg3 = a ，10b = 2，则 log518= ____________．（用 a、b 表示）
16． 函数 y = sinx + cosx + sinxcosx的值域是____________．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17． (10 分) 计算：
1
(1) log 125+ lg + ln 3 e + 2
log2 3
5 ；
1000
1 2
1 2(2) 3
3
2 3 1 + 0.1 + cos240 ．
4 8
18． (12 分) 已知 θ是第二象限角，5sin ( )cos( + ) = 4 tan ( ) ．求：
(1) tan ；
2sin (3 ) + cos( )
(2) ．
3
cos 3sin +
2 2
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19． (12 分) 已知 f (x) =sin xcos x 3 cos2 x ， x R．
(1) 求 f (x) 的最小正周期和最大值；
2
(2) 讨论 f (x) 在区间 ，3 3
上的单调性．
2x 1
20． (12 分) 已知函数 f (x) =
x ． 2 +1
(1) 求证： f (x) 为奇函数，并求出 f (x) 的值域；
(2) 解不等式 f (t2 +1) + f (2t 4) 0．
21． (12 分) 已知函数 f (x) = cos2 x + sin x + a .
(1) 当 a = 0时，求 f (x) 在 ， 上的值域；
2
(2) 当 a 0时，已知 g(x) = a log (x +3) 2，若 x1 , ， x2 [1, 5 ]2 有 f (x1) = g(x2) ，
2
求 a 的取值范围．
22． (12 分) 已知函数 f (x) = ax2 x + 2a 1（a 为实常数）．
(1) 解不等式 f (x) 2ax + 2a 3；
(2) 设 f (x) 在区间[1，2] 上的最小值为 1，求实数 a 的值；
f (x)
(3) 设 h(x) = ，若函数 h(x) 在区间[1，3]上是增函数，求实数 a 的取值范围．
x
（命题人、审题人：校命题小组）
高一数学 第4页（共 4 页）西南大学附高2022-2023学年高一下学期开学考试
数学试题参考答案
1—5 BBBCA 6—8 CCB 9 AD 10 BD 11 BCD 12 CD
13． 14． 15． 16．
17．解：(1) ．
(2) ．
18．解：(1) 由题意，角是第二象限角，且，
可得，可得，所以，
所以，
因为是第二象限角，可得.
(2) 由(1)知，
又由．
19．解：(1)
由周期公式可得最小正周期为
当即时，的最大值为．
(2) 因为,则
由正弦函数的图像可知,当时为单调递增，此时
时为单调递减，此时
综上可知,当时单调递增；当时, 单调递减．
20．解：(1) 的定义域为关于原点对称,
，所以是奇函数；
，因为，所以，所以，
，所以，可得的值域为.
(2) 任取，
则，
因为，，，所以，
即，所以，函数在R上是增函数
又因函数在R上是奇函数
则可变形为
所以不等式可化为,即
解不等式可得
21．解：(1) 当，
令，设，，
的值域为.
(2) 设的值域为集合的值域为集合根据题意可得，
，,结合（1）
又，所以在上单调递增，
，，
由得，
的取值范围是.
22．解：(1) 由得
当时，,解得
当时，
当时, ；
当时，
当时，
当时，
综上：①当时, ；②当时，；
③当时，；④当时，；
⑤当时，.
(2) 若，则在区间[1，2]上是减函数，,不合题意．
若，则，图像的对称轴是直线．
当时，在区间[1，2]上是减函数，,解得(舍)．
当，即时，在区间[1，2]上是增函数，
,解得(舍)．
当，即时，，解得(舍负)
当，即，时在区间[1，2]上是减函数，
解得(舍)．
综上：.
(3) 当时，，在区间[1，3]上任取，，且，
则
．
因为在区间[1，3]上是增函数，所以，
因为，，所以，即，
当时，上面的不等式变为，即时结论成立．
当时，，由得，，解得，
当时，，由得，，解得，
所以，实数的取值范围为．
