第七章 复数常见题型+跟踪练习
一、知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Re z，b称为复数z的虚部，记为Im z．
(2)复数的分类
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)复数的模
向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R).
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0).
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、常用结论
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋).
3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋).
4．|z|2＝||2＝z·.
三、常见题型
1、题型一：复数的有关概念
例1：（1）复数的虚部是( )
A．－ B．－
C． D．
（2）若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C． D．－
方法归纳：解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
2、题型二：复数的几何意义
例2：（1）复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝____________．
方法归纳：复数的几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
3、题型三：复数代数形式的运算
例3：（1）设iz＝4＋3i，则z＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
（2）已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则＝( )
A．2＋2i B．2－2i
C．2i D．－2i
方法归纳：复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，
可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．
四、跟踪训练
1、(2020·高考全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝( )
A．0 B．1
C． D．2
2、(2021·高考浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝( )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
3、复平面内表示复数z＝i(a－i)(a＜0)的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4、已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5、若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值范围为( )
A.(－，) B.(－，0)
C.(0，) D.[0，)
6、如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
A.1＋3i B.－3－i
C.3－i D.3＋i
7、设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8、若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
9、在复平面内，复数＝(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为( )
A.(3，4) B.(－4，3)
C. D.
10、设i是虚数单位，复数z1＝i2 021，复数z2＝，则z1＋z2在复平面上对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11、已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为( )
A. B. C. D.1
12、已知z＝2－i，则z(＋i)＝( )
A．6－2i B．4－2i
C．6＋2i D．4＋2i
13、已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝( )
A．－7 B．7
C．－4 D．4
14、＝( )
A.＋i B.－i
C.－＋i D.－－i
15、设iz＝4＋3i，则z＝( )
A.－3－4i B.－3＋4i
C.3－4i D.3＋4i
16、已知i为虚数单位，若复数z＝＋i，则复数的虚部为( )
A.－ B. C.－i D.i
17、在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则z＝( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
18、下面是关于复数z＝的四个说法，其中正确的为( )
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为1
19、如果复数(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝( )
A.－2 B.1 C.2 D.4
20、(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A.z的虚部为－1
B.|z|＝
C.z2为纯虚数
D.z的共轭复数为－1－i
21、(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是( )
A.若|z1－z2|＝0，则1＝2
B.若z1＝2，则1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D.若|z1|＝|z2|，则z＝z
22、(多选)若复数z＝－i，则( )
A.|z|＝2
B.|z|＝4
C.z的共轭复数＝＋i
D.z2＝4－2i
23、(多选)已知复数z1＝(i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A.z1对应的点在第三象限
B.z1的虚部为－1
C.z＝4
D.满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上
24、(多选)设z为复数，则下列命题中正确的是( )
A.|z|2＝z·
B.z2＝|z|2
C.若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D.若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
25、(多选)已知i为虚数单位，复数z＝，则以下说法正确的是( )
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z的虚部是－
C.|z|＝3
D.若复数z1满足|z1－z|＝1，则|z1|的最大值为1＋
26、(多选)欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A.复数e2i对应的点位于第三象限
B.ei为纯虚数
C.复数的模长等于
D.ei的共轭复数为－i
27、若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.
28、若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a＝________，b＝_______．
29、已知z＝1－3i，则|－i|＝________．
30、若复数z＝i＋i2 022，则＋的模等于_______.
31、设O是坐标原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量对应的复数是_______.
32、若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________.
33、已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i(i为虚数单位)，则＝________；若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，则|z|＝________．
34、已知复数z满足是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________.
35、已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范围是________.
36、一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫作复数z＝a＋bi的辐角，r(cos θ＋isin θ)叫作复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与“三角形式”区分开来，a＋bi(a，b∈R)叫作复数的代数表示式，简称“代数形式”. 已知z1＝cos θ1＋isin θ1，z2＝cos θ2＋isin θ2，cos (π＋θ1＋θ2)＝，其中θ1∈，θ2∈.则z1z2＝________．(结果表示代数形式)
37、已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.第七章 复数常见题型+跟踪练习（答案）
一、知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Re z，b称为复数z的虚部，记为Im z．
(2)复数的分类
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)复数的模
向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R).
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0).
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、常用结论
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋).
3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋).
4．|z|2＝||2＝z·.
三、常见题型
1、题型一：复数的有关概念
例1：（1）复数的虚部是( )
A．－ B．－
C． D．
（2）若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C． D．－
解：（1）＝＝＝＋i，所以虚部为.
因为＝＝＋i，所以由题意，得＝，解得a＝，故选C．
方法归纳：解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
2、题型二：复数的几何意义
例2：（1）复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝____________．
解:(1)＝＝＝，所以该复数对应的点为，该点在第一象限．
(2)设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a＋(1－b)i，则
即所以|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－
1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2.
方法归纳：复数的几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
3、题型三：复数代数形式的运算
例3：（1）设iz＝4＋3i，则z＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
（2）已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则＝( )
A．2＋2i B．2－2i
C．2i D．－2i
解：（1）因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝＝3－4i.
（2）因为z＝1＋i，所以＝＝＝＝2－2i.
方法归纳：复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，
可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．
四、跟踪训练
1、(2020·高考全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝( C )
A．0 B．1
C． D．2
2、(2021·高考浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝( C )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
3、复平面内表示复数z＝i(a－i)(a＜0)的点位于( D )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4、已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于( D )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5、若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值范围为( B )
A.(－，) B.(－，0)
C.(0，) D.[0，)
6、如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为( D )
A.1＋3i B.－3－i
C.3－i D.3＋i
7、设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8、若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝( A )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
9、在复平面内，复数＝(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为( D )
A.(3，4) B.(－4，3)
C. D.
10、设i是虚数单位，复数z1＝i2 021，复数z2＝，则z1＋z2在复平面上对应的点在( A )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11、已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为( B )
A. B. C. D.1
12、已知z＝2－i，则z(＋i)＝( C )
A．6－2i B．4－2i
C．6＋2i D．4＋2i
13、已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝( A )
A．－7 B．7
C．－4 D．4
14、＝( D )
A.＋i B.－i
C.－＋i D.－－i
15、设iz＝4＋3i，则z＝( C )
A.－3－4i B.－3＋4i
C.3－4i D.3＋4i
16、已知i为虚数单位，若复数z＝＋i，则复数的虚部为( A )
A.－ B. C.－i D.i
17、在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则z＝( D )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
18、下面是关于复数z＝的四个说法，其中正确的为( B )
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为1
19、如果复数(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝( A )
A.－2 B.1 C.2 D.4
20、(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( ABC )
A.z的虚部为－1
B.|z|＝
C.z2为纯虚数
D.z的共轭复数为－1－i
21、(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是( ABC )
A.若|z1－z2|＝0，则1＝2
B.若z1＝2，则1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D.若|z1|＝|z2|，则z＝z
22、(多选)若复数z＝－i，则( AC )
A.|z|＝2
B.|z|＝4
C.z的共轭复数＝＋i
D.z2＝4－2i
23、(多选)已知复数z1＝(i为虚数单位)，下列说法正确的是( AB )
A.z1对应的点在第三象限
B.z1的虚部为－1
C.z＝4
D.满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上
24、(多选)设z为复数，则下列命题中正确的是( ACD )
A.|z|2＝z·
B.z2＝|z|2
C.若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D.若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
25、(多选)已知i为虚数单位，复数z＝，则以下说法正确的是( AD )
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z的虚部是－
C.|z|＝3
D.若复数z1满足|z1－z|＝1，则|z1|的最大值为1＋
26、(多选)欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是( BC )
A.复数e2i对应的点位于第三象限
B.ei为纯虚数
C.复数的模长等于
D.ei的共轭复数为－i
27、若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为___-2_____.
28、若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a＝____-4____，b＝_____3___．
29、已知z＝1－3i，则|－i|＝________．
30、若复数z＝i＋i2 022，则＋的模等于____6____.
31、设O是坐标原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量对应的复数是___5－5i_____.
32、若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是___2＋3i_____，a＝___13_____.
33、已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i(i为虚数单位)，则＝__－1＋5i______；若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，则|z|＝________．
34、已知复数z满足是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________.
35、已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范围是________.
36、一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫作复数z＝a＋bi的辐角，r(cos θ＋isin θ)叫作复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与“三角形式”区分开来，a＋bi(a，b∈R)叫作复数的代数表示式，简称“代数形式”. 已知z1＝cos θ1＋isin θ1，z2＝cos θ2＋isin θ2，cos (π＋θ1＋θ2)＝，其中θ1∈，θ2∈.则z1z2＝___－＋i_____．(结果表示代数形式)
37、已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
解 (1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
