第3讲 平面向量的概念及运算
【知识点】平面向量的概念
【例题讲解】
设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．或
C． D．
（多选题）给出下列命题正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量都相等
B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则
D．对于任意向量，必有
已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【课堂练习】
已知命题：向量，所在的直线平行，命题q：向量，平行，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（多选题）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【知识点】向量共线定理
【例题讲解】
已知向量．
(1)求证：三点共线．
(2)若，求的值．
设，是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若与不共线，试求的取值范围.
为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【知识点】向量数量积
【例题讲解】
已知平面向量，满足，，，则的值是（ ）
A． B．7 C． D．10
若平面向量，满足，，且，则等于（ ）
A． B． C．2 D．8
【课堂练习】
已知非零向量满足，则_____________.
已知夹角为的非零向量满足，，则_________
已知平面向量，，满足，，，若，则_____
【例题讲解】
已知，，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【课堂练习】
已知平面向量满足，则的最大值是_________.
【能力提升】向量几何意义
若向量和向量满足向量，，，则向量在向量方向上的投影的为
在中，，，，，则______；
设，且，则的值为______.
参考答案
【答案】D
【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可.
【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确；
题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确；
因为分别是的单位向量，所以，
【答案】BD
【分析】根据向量的基本概念即可求解.
【详解】对于A：向量相等需要满足两个条件：
长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；
对于B：根据相反向量的定义可知B正确；
对于C：向量是矢量不能比较大小，故C错；
对于D：根据三角形三边关系知正确；
【答案】C
【解析】取夹角为，计算排除，得到答案.
【详解】取夹角为，则，，排除，易知.
故选：.
【点睛】本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力.
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义可解．
【详解】因为向量，所在的直线平行时，可得向量，平行，则充分性成立，
而向量，平行时，向量，所在的直线平行或重合，则必要性不成立，
则命题是的充分不必要条件，
故选：A．
【答案】AD
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
（1）求出，由证明即可；
（2），，根据向量相等列方程组求解即可.
（1）明：∵，故三点共线；
（2），，
则有，即，解得
（1）证明：因为，
所以与共线.
因为与有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
（2）因为与共线，
所以存在实数，使.
因为，不共线，所以
所以.
（3）假设与共线，则存在实数m，使.
因为，不共线，所以
所以.
【答案】A
【解析】由有,所以,因为，，三点共线,所以,则,故有,,选A.
【答案】C
【分析】根据可求得，再计算即可。
【详解】由于，所以，又因为，故.所以有.
【答案】B
【分析】由，可得，再结合，展开可求出答案.
【详解】由，可知，展开可得，
所以，
又，，所以.
【答案】
【解析】设,则,由可得为等边三角形,设其边长为1,进而求解即可
【详解】如图,设,则,
∵,
∴,∴为等边三角形,
设其边长为1,则,
∴
【答案】2
【分析】由得，化简代入结合数量积的定义即可得出答案.
【详解】因为的夹角为，且，
而，则，
所以，
则，解得：.
故答案为：2.
【答案】
【分析】依据题给条件求得，再去求的值即可.
【详解】，
则且、均为锐角
即向量平分向量与的夹角，
又，即向量与的夹角为，则
故，解得．
【答案】C
【分析】由题意对进行平方可计算，设，的夹角为，由得，由可得的取值范围.
【详解】∵，，，，，
，
，
设，的夹角为，由得，
∴，
，
设，由得
，
解得或，
，
综上所述，故选：C.
【答案】
【分析】计算得到，平方化简得到，，计算得到最值.
【详解】由，得，
所以，当和共线时等号成立，
所以，即，所以，
又，当时取等号.
所以的最大值是.
【答案】D
【分析】把已知向量等式两边平方，代入数量积公式可求夹角．
【详解】设向量的夹角为，
因为，
所以．
则，解得．
向量在向量方向上的投影为：.
【答案】 3
【分析】由可得，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可；
把和代入，化简整理后，代入已知数据，解关于的方程即可得解．
【详解】解：，、、三点共线，
，
两边平方得：，
，
解得：（舍去）．
，
，
化简整理，得，
，解得．
故答案为：3，．第3讲 平面向量的概念及运算
【知识点】平面向量的概念
【例题讲解】
设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．或
C． D．
（多选题）给出下列命题正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量都相等
B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则
D．对于任意向量，必有
已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【课堂练习】
已知命题：向量，所在的直线平行，命题q：向量，平行，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（多选题）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【知识点】向量共线定理
【例题讲解】
已知向量．
(1)求证：三点共线．
(2)若，求的值．
设，是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若与不共线，试求的取值范围.
为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【知识点】向量数量积
【例题讲解】
已知平面向量，满足，，，则的值是（ ）
A． B．7 C． D．10
若平面向量，满足，，且，则等于（ ）
A． B． C．2 D．8
【课堂练习】
已知非零向量满足，则_____________.
已知夹角为的非零向量满足，，则_________
已知平面向量，，满足，，，若，则_____
【例题讲解】
已知，，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【课堂练习】
已知平面向量满足，则的最大值是_________.
【能力提升】向量几何意义
若向量和向量满足向量，，则向量在向量方向上的投影的为（ ）
A． B． C．1 D．-1
在中，，，，，则______；
设，且，则的值为______.
