安徽省皖江名校联盟2023届高三下学期数学第五次联考（开学摸底）试卷
一、单选题
1．（2023高三下·安徽开学考）已知集合|，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三下·安徽开学考）2022年三九天从农历腊月十八开始计算，也就是2023年1月9日至17日，是我国北方地区一年中最冷的时间．下图是北方某市三九天气预报气温图，则下列对这9天判断错误的是（ ）
A．昼夜温差最大为12℃ B．昼夜温差最小为4℃
C．有3天昼夜温差大于10℃ D．有3天昼夜温差小于7℃
3．（2023高三下·安徽开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三下·安徽开学考）在中，，，若D是BC的中点，则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
5．（2023高三下·安徽开学考）已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数的一个零点是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三下·安徽开学考）已知，，与一条坐标轴相切，圆心在直线上．若与相切，则满足条件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023高三下·安徽开学考）已知圆锥DO的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点P在DO上，且．若平面PBC，则实数（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三下·安徽开学考）已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦AB的长为8．过此动圆圆心轨迹C上一个定点引它的两条弦PS，PT，若直线PS，PT的倾斜角互为补角，记直线ST的斜率为k，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
二、多选题
9．（2023高三下·安徽开学考）数列满足：，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．，
C．是等比数列
D．，
10．（2023高三下·安徽开学考）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高三下·安徽开学考）已知为偶函数，且恒成立．当时．则下列四个命题中，正确的是（ ）
A．的周期是
B．的图象关于点对称
C．当时，
D．当时，
12．（2023高三下·安徽开学考）已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱和棱的中点，G为棱BC上的动点（不含端点）．下列说法中正确的是（ ）
A．当G为棱BC的中点时，是锐角三角形
B．三棱锥的体积为定值
C．面积的取值范围是
D．若异面直线AB与EG所成的角为，则
三、填空题
13．（2023高三下·安徽开学考）若复数（i是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是 ．
14．（2023高三下·安徽开学考）2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队以总分7比5战胜法国队，历时28天的2022卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕．随后某电视台轮流播放半决赛及以后的这4场足球赛（如图），某人随机选3场进行观看，其中恰好总决赛、季军赛被选上的概率为 ．
15．（2023高三下·安徽开学考）过点作斜率为k的直线l交双曲线于，两点，线段的中点在直线上，则实数k的值为 ．
16．（2023高三下·安徽开学考）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ．
四、解答题
17．（2023高三下·安徽开学考）在锐角中，BC在AB上的投影长等于的外接圆半径R．
（1）求的值；
（2）若，且，求R．
18．（2023高三下·安徽开学考）2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮．为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据：
喜欢雪上运动 不喜欢雪上运动 合计
男生 80 40
女生 30 50
合计
（1）完成列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联？
（2）①从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件“至少有2名是男生”，事件“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件“至多有1名喜欢雪上运动的女生”．试计算和的值，并比较它们的大小．
②①中与的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由．
参考公式及数据，．
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．（2023高三下·安徽开学考）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且．
（1）求和；
（2）若，证明：．
20．（2023高三下·安徽开学考）如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．
（1）求证：
（2）若为的中点，求二面角的平面角的余弦值
21．（2023高三下·安徽开学考）已知，为椭圆C：的左右焦点，P为椭圆C上一点．若为直角三角形，且．
（1）求的值；
（2）若直线l：与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点，求实数m的取值范围．
22．（2023高三下·安徽开学考）已知函数，其中，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若函数的导函数在内有且仅有一个极值点，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
故答案为：B．
【分析】先根据对数运算的性质化简集合M，再利用集合的并集运算求解.
2．【答案】C
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】A. 1月11日昼夜温差最大为12℃，所以该选项正确；
B. 1月15日昼夜温差最小为4℃，所以该选项正确；
C. 1月11日、1月16日有2天昼夜温差大于10℃，所以该选项错误；
D. 1月9日、1月14日、1月15日有3天昼夜温差小于7℃，所以该选项正确.
故答案为：C
【分析】直接看图求出每天的昼夜温差即可判断得解.
3．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由已知，化简得．
平方得，
所以．
故答案为：A．
【分析】先利用降幂公式，再利用同角三角函数基本关系、正弦二倍角公式化简即得解.
4．【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵D为BC的中点，
∴，，
∴
∴．
故答案为：B.
【分析】运用向量的加法、相反向量、向量的数量积运算即可得结果.
5．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为，
所以，所以．
将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象．
因为得到的图象关于y轴对称，
所以，，即，．
又，
所以，
所以．
由得，，即．
故答案为：B．
【分析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为，进而得到，再利用平移变换得到图象，然后根据图象关于y轴对称，求得解析式即可.
6．【答案】D
【知识点】圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】当与x轴相切时，设圆心，半径，故，即，解得或，
所以方程为或；
当与y轴相切时，设圆心，半径，故，即，解得或，
方程为或，则满足条件的有4个.
故答案为：D．
【分析】设圆心，根据与一条坐标轴相切且与相切，列出方程，求解值，确定圆的个数.
7．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：如图所示；
不妨设，则，，．
因为平面PBC，平面PBC，
所以，
在中，由勾股定理有，即，
解得．
故答案为：D．
【分析】不妨设， 是底面的内接正三角形 ，得到，，然后根据平面PBC，得到，再在中，利用勾股定理求解.
8．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】设动圆圆心的坐标为C，已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦AB的长为8，
则．
整理得，，
故动圆圆心的轨迹C的方程为．
因此，．
当时，，
设，，则有，．
于是就是，
所以．此时直线ST的斜率，故．
同理可得，当时，直线ST的斜率．
故．
故答案为：C．
【分析】根据已知先求出动圆圆心轨迹C的轨迹方程，代入点求出，根据直线PS，PT的倾斜角互为补角，斜率互为相反数关系求出k，从而得出结果.
9．【答案】A,B,D
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】在中，令，则，，．A符合题意．
当时，将与，
两式相减得，，即．而，所以B符合题意，C不正确．
因为，，所以D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】令得出 ，可判断选项A；由已知构造与已知等式作差，可判断选项B，C；数列的首项为，从第2项开始构成等比数列，求和即可判断选项D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】BCD选项分别等价于，，，
构造函数，．
则．当时，，在内单增；当时，，在内单减．
因此．所以（当时取等）
于是，，．故，，，所以D不符合题意，BC符合题意.
因为，所以A符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】构造函数，，证明，即可判断选项BCD，再利用B和幂函数的性质判断选项A，即得解.
11．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】由得，，所以的周期是．A符合题意．
因为是偶函数，所以就是，即，所以的图象关于直线对称．B不正确．
根据偶函数的对称性，C显然正确．
当时，，则，即；
当时，，则，即．
所以D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】由可以得出函数的周期，判断选项A；由于又是偶函数，可以推出函数的对称性，判断选项B；是偶函数及周期性，判断选项C，D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设CD中点为M，若G为BC中点，则有，，，则平面MFG，则．因为，所以．所以是直角三角形，A不正确；
因为，点G到平面的距离为定值，是定值，则三棱锥的体积为定值，B符合题意；
在侧面内作垂足为N，设N到EF的距离m，则边EF上的高为，故其面积为，当G与C重合时，，．当G与B重合时，，．C符合题意；
取中点为N，连接EN．因为，所以异面直线AB与EG所成的角即为．在直角三角形NEG中，，当G为BC中点时，，当G与B，C重合时，，故，所以D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】设CD中点为M，若G为BC中点，证明，所以是直角三角形，故选项A不正确；因为，三棱锥的体积为定值，故选项B正确；在侧面内作垂足为，设N到EF的距离m，其面积为，数形结合即得解选项C正确；取中点为N，连接EN．异面直线AB与EG所成的角即为，数形结合分析即得选项D正确.
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
所以．因此．
所以的虚部是．
故答案为：
【分析】根据算数除法化简得，再求出，即得解.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由图可知：比赛共有4场，半决赛2场，季军赛1场，总决赛1场．选其中3场的基本事件共有4种，其中季军赛、总决赛被选上的基本事件共有2种，故概率为．
故答案为：.
【分析】4场足球赛，选3场进行观看，基本事件共4个，其中恰好总决赛、季军赛被选上的基本事件数有2个，求出概率即可.
15．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意可设l的方程为．联立消去y得，．
显然．设，，则，解得．
由得，显然不适合，适合．
故答案为：
【分析】设l的方程为，联立得到，韦达定理得到，解出的值，再检验即得解.
16．【答案】或
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：；
由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：．
所以，，
消去得，
故或，所以直线l的方程为：或．
故答案为：或
【分析】分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，，即得解.
17．【答案】（1）解：因为是锐角三角形，所以，
又，所以，
所以，因此；
（2）解：由得，
与已知条件，
相加得，，
即，，所以．
于是，故．
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【分析】（1）由已知得，再结合正弦定理求得结果；
（2） 由得， ，求出，再由正弦定理求得结果.
18．【答案】（1）解：
喜欢雪上运动 不喜欢雪上运动 合计
男生 80 40 120
女生 30 50 80
合计 110 90 200
假设：是否喜欢雪上运动与性别无关联．
根据表中数据，计算得到，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．
即认为是否喜欢雪上运动与性别有关联．
（2）解：①由已知事件ABC表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和
“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件
因为，
，
所以．
②由（ⅰ）得与相等的关系可以推广到更一般的情形，
即对于一般的三个事件A，B，C，有．
证明过程如下：，得证．
【知识点】独立性检验
【解析】【分析】（1）由所给列联表，求得，再依据小概率值 的独立性检验即可得解；
（2）①要求，首先确定事件ABC表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和
“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件，利用组合数进行求解概率即可，再通过条件概率求得的值，进而可得；
②根据条件概率的计算公式即可证明一般情形也成立.
19．【答案】（1）解：因为，，
当时，则，解得或（舍去）；
当时，，
则，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
因此，且，则，
当时，，且符合上式．
故，．
（2）证明：记为数列的前n项和，
当时，则；
当时，；
又符合上式，所以．
由（1）可知，可得，，
下证当时，，即证，
因为，
所以得证，
故当时，则得证.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 当时， ，时，根据 和 的关系可得，结合等差数列的通项可得，进而可求；
（2）根据题意分析可知要证原不等式成立，则证当时，，利用二项展开式分析证明即可.
20．【答案】（1）证明：三棱柱为直三棱柱，
平面 ，又平面，
平面，且平面，
，又平面，平面， ，
平面， 又平面，
（2）解：由（1）知平面，平面，从而
如图，以B为原点建立空间直角坐标系，平面，
其垂足落在直线.在，
在直三棱柱.
在，
则(0，0，0)，，C（2，0，0），P（1，1，0），（0，2，2），
（0，2，2）设平面的一个法向量
则 即 可得
平面的一个法向量，
二面角平面角的余弦值是.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先通过条件证明平面， 然后得到；
（2）以B为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量， 平面的一个法向量 ，利用法向量求解二面角的余弦值.
21．【答案】（1）解：若，则．
因为，，解得，．因此．
若，则，
解得．因此．
综上知，或．
（2）解：设，，联立，消去y得到，
，即．
则，，
弦AB中点M的坐标是．
由得，．
另一个方面，直线PM的方程是．
点在此直线上，
故，整理得，．
代入中，，．
又，，所以，．
故实数m的取值范围是．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，得到，再利用椭圆的定义，可得，化简可得答案；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到弦AB中点M的坐标是，再利用线段AB的垂直平分线经过点，列出相应的方程并消去参数，借助判别式得到的范围.
22．【答案】（1）解：当时，，．
因为，所以，，因此，
故函数在内单调递增．
（2）解：，令，则．
由得，．显然不是的根．
当时，．
令，则．
由得．当或时，；
当时，，
且，．所以极大值是．
由图知，当或时，
直线与曲线在内有唯一交点或，
且在附近，，则；
在附近，，则．
因此是在内唯一极小值点．
同理可得，是在内唯一极大值点．
A的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由时，得到，然后利用导数法求解；
（2）由，令，求导，由得到，令，利用数形结合法求解.
1 / 1安徽省皖江名校联盟2023届高三下学期数学第五次联考（开学摸底）试卷
一、单选题
1．（2023高三下·安徽开学考）已知集合|，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
故答案为：B．
【分析】先根据对数运算的性质化简集合M，再利用集合的并集运算求解.
2．（2023高三下·安徽开学考）2022年三九天从农历腊月十八开始计算，也就是2023年1月9日至17日，是我国北方地区一年中最冷的时间．下图是北方某市三九天气预报气温图，则下列对这9天判断错误的是（ ）
A．昼夜温差最大为12℃ B．昼夜温差最小为4℃
C．有3天昼夜温差大于10℃ D．有3天昼夜温差小于7℃
【答案】C
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】A. 1月11日昼夜温差最大为12℃，所以该选项正确；
B. 1月15日昼夜温差最小为4℃，所以该选项正确；
C. 1月11日、1月16日有2天昼夜温差大于10℃，所以该选项错误；
D. 1月9日、1月14日、1月15日有3天昼夜温差小于7℃，所以该选项正确.
故答案为：C
【分析】直接看图求出每天的昼夜温差即可判断得解.
3．（2023高三下·安徽开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由已知，化简得．
平方得，
所以．
故答案为：A．
【分析】先利用降幂公式，再利用同角三角函数基本关系、正弦二倍角公式化简即得解.
4．（2023高三下·安徽开学考）在中，，，若D是BC的中点，则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵D为BC的中点，
∴，，
∴
∴．
故答案为：B.
【分析】运用向量的加法、相反向量、向量的数量积运算即可得结果.
5．（2023高三下·安徽开学考）已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数的一个零点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为，
所以，所以．
将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象．
因为得到的图象关于y轴对称，
所以，，即，．
又，
所以，
所以．
由得，，即．
故答案为：B．
【分析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为，进而得到，再利用平移变换得到图象，然后根据图象关于y轴对称，求得解析式即可.
6．（2023高三下·安徽开学考）已知，，与一条坐标轴相切，圆心在直线上．若与相切，则满足条件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】当与x轴相切时，设圆心，半径，故，即，解得或，
所以方程为或；
当与y轴相切时，设圆心，半径，故，即，解得或，
方程为或，则满足条件的有4个.
故答案为：D．
【分析】设圆心，根据与一条坐标轴相切且与相切，列出方程，求解值，确定圆的个数.
7．（2023高三下·安徽开学考）已知圆锥DO的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点P在DO上，且．若平面PBC，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：如图所示；
不妨设，则，，．
因为平面PBC，平面PBC，
所以，
在中，由勾股定理有，即，
解得．
故答案为：D．
【分析】不妨设， 是底面的内接正三角形 ，得到，，然后根据平面PBC，得到，再在中，利用勾股定理求解.
8．（2023高三下·安徽开学考）已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦AB的长为8．过此动圆圆心轨迹C上一个定点引它的两条弦PS，PT，若直线PS，PT的倾斜角互为补角，记直线ST的斜率为k，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】设动圆圆心的坐标为C，已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦AB的长为8，
则．
整理得，，
故动圆圆心的轨迹C的方程为．
因此，．
当时，，
设，，则有，．
于是就是，
所以．此时直线ST的斜率，故．
同理可得，当时，直线ST的斜率．
故．
故答案为：C．
【分析】根据已知先求出动圆圆心轨迹C的轨迹方程，代入点求出，根据直线PS，PT的倾斜角互为补角，斜率互为相反数关系求出k，从而得出结果.
二、多选题
9．（2023高三下·安徽开学考）数列满足：，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．，
C．是等比数列
D．，
【答案】A,B,D
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】在中，令，则，，．A符合题意．
当时，将与，
两式相减得，，即．而，所以B符合题意，C不正确．
因为，，所以D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】令得出 ，可判断选项A；由已知构造与已知等式作差，可判断选项B，C；数列的首项为，从第2项开始构成等比数列，求和即可判断选项D.
10．（2023高三下·安徽开学考）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】BCD选项分别等价于，，，
构造函数，．
则．当时，，在内单增；当时，，在内单减．
因此．所以（当时取等）
于是，，．故，，，所以D不符合题意，BC符合题意.
因为，所以A符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】构造函数，，证明，即可判断选项BCD，再利用B和幂函数的性质判断选项A，即得解.
11．（2023高三下·安徽开学考）已知为偶函数，且恒成立．当时．则下列四个命题中，正确的是（ ）
A．的周期是
B．的图象关于点对称
C．当时，
D．当时，
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】由得，，所以的周期是．A符合题意．
因为是偶函数，所以就是，即，所以的图象关于直线对称．B不正确．
根据偶函数的对称性，C显然正确．
当时，，则，即；
当时，，则，即．
所以D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】由可以得出函数的周期，判断选项A；由于又是偶函数，可以推出函数的对称性，判断选项B；是偶函数及周期性，判断选项C，D.
12．（2023高三下·安徽开学考）已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱和棱的中点，G为棱BC上的动点（不含端点）．下列说法中正确的是（ ）
A．当G为棱BC的中点时，是锐角三角形
B．三棱锥的体积为定值
C．面积的取值范围是
D．若异面直线AB与EG所成的角为，则
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设CD中点为M，若G为BC中点，则有，，，则平面MFG，则．因为，所以．所以是直角三角形，A不正确；
因为，点G到平面的距离为定值，是定值，则三棱锥的体积为定值，B符合题意；
在侧面内作垂足为N，设N到EF的距离m，则边EF上的高为，故其面积为，当G与C重合时，，．当G与B重合时，，．C符合题意；
取中点为N，连接EN．因为，所以异面直线AB与EG所成的角即为．在直角三角形NEG中，，当G为BC中点时，，当G与B，C重合时，，故，所以D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】设CD中点为M，若G为BC中点，证明，所以是直角三角形，故选项A不正确；因为，三棱锥的体积为定值，故选项B正确；在侧面内作垂足为，设N到EF的距离m，其面积为，数形结合即得解选项C正确；取中点为N，连接EN．异面直线AB与EG所成的角即为，数形结合分析即得选项D正确.
三、填空题
13．（2023高三下·安徽开学考）若复数（i是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是 ．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
所以．因此．
所以的虚部是．
故答案为：
【分析】根据算数除法化简得，再求出，即得解.
14．（2023高三下·安徽开学考）2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队以总分7比5战胜法国队，历时28天的2022卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕．随后某电视台轮流播放半决赛及以后的这4场足球赛（如图），某人随机选3场进行观看，其中恰好总决赛、季军赛被选上的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由图可知：比赛共有4场，半决赛2场，季军赛1场，总决赛1场．选其中3场的基本事件共有4种，其中季军赛、总决赛被选上的基本事件共有2种，故概率为．
故答案为：.
【分析】4场足球赛，选3场进行观看，基本事件共4个，其中恰好总决赛、季军赛被选上的基本事件数有2个，求出概率即可.
15．（2023高三下·安徽开学考）过点作斜率为k的直线l交双曲线于，两点，线段的中点在直线上，则实数k的值为 ．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意可设l的方程为．联立消去y得，．
显然．设，，则，解得．
由得，显然不适合，适合．
故答案为：
【分析】设l的方程为，联立得到，韦达定理得到，解出的值，再检验即得解.
16．（2023高三下·安徽开学考）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ．
【答案】或
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：；
由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：．
所以，，
消去得，
故或，所以直线l的方程为：或．
故答案为：或
【分析】分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，，即得解.
四、解答题
17．（2023高三下·安徽开学考）在锐角中，BC在AB上的投影长等于的外接圆半径R．
（1）求的值；
（2）若，且，求R．
【答案】（1）解：因为是锐角三角形，所以，
又，所以，
所以，因此；
（2）解：由得，
与已知条件，
相加得，，
即，，所以．
于是，故．
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【分析】（1）由已知得，再结合正弦定理求得结果；
（2） 由得， ，求出，再由正弦定理求得结果.
18．（2023高三下·安徽开学考）2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮．为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据：
喜欢雪上运动 不喜欢雪上运动 合计
男生 80 40
女生 30 50
合计
（1）完成列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联？
（2）①从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件“至少有2名是男生”，事件“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件“至多有1名喜欢雪上运动的女生”．试计算和的值，并比较它们的大小．
②①中与的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由．
参考公式及数据，．
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：
喜欢雪上运动 不喜欢雪上运动 合计
男生 80 40 120
女生 30 50 80
合计 110 90 200
假设：是否喜欢雪上运动与性别无关联．
根据表中数据，计算得到，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．
即认为是否喜欢雪上运动与性别有关联．
（2）解：①由已知事件ABC表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和
“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件
因为，
，
所以．
②由（ⅰ）得与相等的关系可以推广到更一般的情形，
即对于一般的三个事件A，B，C，有．
证明过程如下：，得证．
【知识点】独立性检验
【解析】【分析】（1）由所给列联表，求得，再依据小概率值 的独立性检验即可得解；
（2）①要求，首先确定事件ABC表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和
“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件，利用组合数进行求解概率即可，再通过条件概率求得的值，进而可得；
②根据条件概率的计算公式即可证明一般情形也成立.
19．（2023高三下·安徽开学考）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且．
（1）求和；
（2）若，证明：．
【答案】（1）解：因为，，
当时，则，解得或（舍去）；
当时，，
则，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
因此，且，则，
当时，，且符合上式．
故，．
（2）证明：记为数列的前n项和，
当时，则；
当时，；
又符合上式，所以．
由（1）可知，可得，，
下证当时，，即证，
因为，
所以得证，
故当时，则得证.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 当时， ，时，根据 和 的关系可得，结合等差数列的通项可得，进而可求；
（2）根据题意分析可知要证原不等式成立，则证当时，，利用二项展开式分析证明即可.
20．（2023高三下·安徽开学考）如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．
（1）求证：
（2）若为的中点，求二面角的平面角的余弦值
【答案】（1）证明：三棱柱为直三棱柱，
平面 ，又平面，
平面，且平面，
，又平面，平面， ，
平面， 又平面，
（2）解：由（1）知平面，平面，从而
如图，以B为原点建立空间直角坐标系，平面，
其垂足落在直线.在，
在直三棱柱.
在，
则(0，0，0)，，C（2，0，0），P（1，1，0），（0，2，2），
（0，2，2）设平面的一个法向量
则 即 可得
平面的一个法向量，
二面角平面角的余弦值是.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先通过条件证明平面， 然后得到；
（2）以B为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量， 平面的一个法向量 ，利用法向量求解二面角的余弦值.
21．（2023高三下·安徽开学考）已知，为椭圆C：的左右焦点，P为椭圆C上一点．若为直角三角形，且．
（1）求的值；
（2）若直线l：与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：若，则．
因为，，解得，．因此．
若，则，
解得．因此．
综上知，或．
（2）解：设，，联立，消去y得到，
，即．
则，，
弦AB中点M的坐标是．
由得，．
另一个方面，直线PM的方程是．
点在此直线上，
故，整理得，．
代入中，，．
又，，所以，．
故实数m的取值范围是．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，得到，再利用椭圆的定义，可得，化简可得答案；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到弦AB中点M的坐标是，再利用线段AB的垂直平分线经过点，列出相应的方程并消去参数，借助判别式得到的范围.
22．（2023高三下·安徽开学考）已知函数，其中，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若函数的导函数在内有且仅有一个极值点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，．
因为，所以，，因此，
故函数在内单调递增．
（2）解：，令，则．
由得，．显然不是的根．
当时，．
令，则．
由得．当或时，；
当时，，
且，．所以极大值是．
由图知，当或时，
直线与曲线在内有唯一交点或，
且在附近，，则；
在附近，，则．
因此是在内唯一极小值点．
同理可得，是在内唯一极大值点．
A的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由时，得到，然后利用导数法求解；
（2）由，令，求导，由得到，令，利用数形结合法求解.
1 / 1
