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6.4.3第3课时 余弦、正弦定理应用举例(一)
学习目标 把握航向 目的明确
利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 基线的定义
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确度越高．
知识点二 有关的几个术语
(1)方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所形成的水平角．如图所示的θ1、θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是[0°，360°)．
(2)方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.
思考 上两图中的两个方向，用方位角应表示为30°(左图)，240°(右图)．
(3)视角：观测者的两条视线之间的夹角称作视角．
知识点三 解三角形应用题
解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题．
(1)解题思路
(2)基本步骤
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：
①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．
(3)主要类型
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 测量从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离
例1 海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A.10 海里 B. 海里 C.5 海里 D.5 海里
答案：D
解析：根据题意，可得右图．
在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.
由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．
反思感悟：求距离问题时应注意的两点：(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
跟踪训练1 如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________ m.
答案：60
解析：由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽＝BD＝120·sin 30°＝60(m)．
题型二 测量两个不可到达点间的距离
例2 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．
解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.
∴AD＝CD＝AC＝a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
∵＝，∴BC＝a.
在△ABC中，由余弦定理得：
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝a2＋a2－2×a×a×＝a2.
∴AB＝a.
∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.
反思感悟：测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．
跟踪训练2 如下图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A、B两点间的距离是多少？
解：由正弦定理得AC＝＝＝＝10(1＋)(米)，
BC＝＝＝20(米)．
在△ABC中，由余弦定理得AB＝＝10(米)．
∴A、B两点间的距离为10米．
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，计算时应当用的数据组为( )
A.α，a B.β，a
C.a，b，γ D.β，b
答案：C
解析：解△ABC应有三个元素才行，故选C.
2.一艘船上午9∶30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是( )海里/小时．
A.8(＋) B.8(－) C.16(＋) D.16(－)
答案：D
解析：由题意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得＝，即＝，得AB＝8(－)，
因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．
3.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为( )
A.20 m B.30 m C.20 m D.30 m
答案：B
解析：由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30(m).
4.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是( )
A.a km B.a km C.a km D.2a km
答案：C
解析：如图所示，
在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，∵AC＝BC＝a，∴由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝a2＋a2－2a2×(－)＝3a2，∴AB＝a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.
5.某市体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A.12米 B.8米
C.3 米 D.4 米
答案：D
解析：△ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋42－2·4·4(－)＝48，∴AB＝4 米．
6.某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为( )
A. B.2 C.2或 D.3
答案：C
解析：如图，在△ABC中，AB＝x，B＝30°，
BC＝3，AC＝，由余弦定理()2＝x2＋32－2·3·x·cos 30°，
∴x2－3x＋6＝0，∴x＝ 或2.
7.甲骑共享单车以 24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在共享单车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在共享单车的北偏东75°方向上，则共享单车在点B时与电视塔S的距离是( )
A.6 km B.3 km C.3 km D.3 km
答案：C
解析：由题意知，AB＝24×＝6 km，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BS＝＝＝3 km.
8.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为( )
A.30 m B. m
C.15 m D.45 m
答案：B
解析：在△ABC中，cos ∠ABC＝＝，∠ABC∈(0°，180°)，∴sin∠ABC＝＝，∴在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABC＝5×＝.
9.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )
A. B. C.－1 D.－1
答案：C
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，∴AC＝100(m).在△ADC中，＝，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
10.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A.10 m B.5 m C.5(－1) m D.5(＋1) m
答案：D
解析：方法一 设AB＝x，则BC＝x.∴BD＝10＋x.∴tan∠ADB＝＝＝.解得x＝5(＋1).∴A点离地面的高AB等于5(＋1) m.
方法二 ∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC＝·sin 30°＝ .∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1)m.
二、填空题
11. 2022年9月5日12时52分，四川省甘孜藏族自治州泸定县发生6.8级地震。如图，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________ m.
答案：
解析：由题意∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∵＝，∴x＝(m)．
12.我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________海里/小时．
答案：14
解析：由题可得图．
设我舰追上敌舰时在C点．则AC＝20，∠BAC＝120°，AB＝12，∴BC2＝122＋202－2·12·20·cos 120°＝282，∴BC＝28，∴速度v＝＝14(海里/小时)．
13.如图，某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向，则此时货轮到灯塔S的距离为________海里．
答案：12
解析：由题可知，在△ABS中，AB＝24，∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，根据正弦定理得＝，∴BS＝＝12(海里)．
14.一海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行，它在A点测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2 h后船到达B点时，测得灯塔P在船的北偏东45°方向上，则B点到灯塔P的距离为________ n mile.
答案：20(＋)
解析：由题可知，在△ABP中，AB＝40，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，∴∠BPA＝15°，
由正弦定理得＝，∴BP＝＝＝20(＋)(n mile).
15.如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/小时．
答案：
解析：由题可知PM＝68，∠MPN＝120°，N＝45°，由正弦定理＝得MN＝68××＝34.∴速度v＝＝(海里/小时)．
三、解答题
16.要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．
解：如图所示，
在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝ km.
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝()2＋2－2××cos 75°＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝(km)．∴A、B之间的距离为 km.
17.某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船有无触礁的危险？
解：由题意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，所以∠ACB＝15°，
由正弦定理得BC＝·sin∠BAC＝·sin 30°＝＝15(＋)．
过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.
所以此船无触礁的危险．
18.如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上，一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？
解：设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇．
如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行．
在△OBC中，由题意易得
∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，
所以∠BCO＝90°.
因为BO＝120，所以BC＝60，OC＝60.
故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1.
在△OCD中，由题意易得∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．
由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD，
所以602(x－2)2＝(20x)2＋(60)2－2×20x×60×cos 30°.
解得x＝3或x＝，因为x>1，所以x＝3.
所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇．
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.4.3第3课时 余弦、正弦定理应用举例(一) 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
6.4.3第3课时 余弦、正弦定理应用举例(一)
学习目标 把握航向 目的明确
利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 基线的定义
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确度越高．
知识点二 有关的几个术语
(1)方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所形成的水平角．如图所示的θ1、θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是[0°，360°)．
(2)方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.
思考 上两图中的两个方向，用方位角应表示为30°(左图)，240°(右图)．
(3)视角：观测者的两条视线之间的夹角称作视角．
知识点三 解三角形应用题
解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题．
(1)解题思路
(2)基本步骤
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：
①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．
(3)主要类型
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 测量从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离
例1 海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A.10 海里 B. 海里 C.5 海里 D.5 海里
反思感悟：求距离问题时应注意的两点：(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
跟踪训练1 如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________ m.
题型二 测量两个不可到达点间的距离
例2 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．
反思感悟：测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．
跟踪训练2 如下图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A、B两点间的距离是多少？
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，计算时应当用的数据组为( )
A.α，a B.β，a
C.a，b，γ D.β，b
2.一艘船上午9∶30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是( )海里/小时．
A.8(＋) B.8(－) C.16(＋) D.16(－)
3.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为( )
A.20 m B.30 m C.20 m D.30 m
4.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是( )
A.a km B.a km C.a km D.2a km
5.某市体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A.12米 B.8米
C.3 米 D.4 米
6.某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为( )
A. B.2 C.2或 D.3
7.甲骑共享单车以 24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在共享单车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在共享单车的北偏东75°方向上，则共享单车在点B时与电视塔S的距离是( )
A.6 km B.3 km C.3 km D.3 km
8.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为( )
A.30 m B. m
C.15 m D.45 m
9.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )
A. B. C.－1 D.－1
10.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A.10 m B.5 m C.5(－1) m D.5(＋1) m
二、填空题
11. 2022年9月5日12时52分，四川省甘孜藏族自治州泸定县发生6.8级地震。如图，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________ m.
12.我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________海里/小时．
13.如图，某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向，则此时货轮到灯塔S的距离为________海里．
14.一海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行，它在A点测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2 h后船到达B点时，测得灯塔P在船的北偏东45°方向上，则B点到灯塔P的距离为________ n mile.
15.如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/小时．
三、解答题
16.要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．
17.某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船有无触礁的危险？
18.如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上，一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？
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