导数的应用课时作业---
02 函数的极值
一、单选题
1．已知函数在处连续，下列命题中正确的是（ ）．
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
2．下列函数中，存在极值的函数为（ ）
A． B． C． D．
3． 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．函数在区间上（ ）
A．有极大值和极小值 B．有极大值，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．没有极值
5．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
6．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数
C．为的极小值点 D．2为的极大值点
7．已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．函数在处有极值为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
9．若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知为函数的极大值点，则______．
11．函数在处取得极值，则实数的值为______．
12．函数y＝(x>0)的极小值是________.
13．函数（）在内不存在极值点，则a的取值范围是_______________．
三、解答题
14．已知函数．
(1)求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
(2)求函数f（x）的单调区间与极值；
15．已知函数在处的切线方程．
（1）求，的值；
（2）求的单调区间与极小值．导数的应用课时作业---
02 函数的极值
一、单选题
1．已知函数在处连续，下列命题中正确的是（ ）．
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
【答案】B
【分析】用极值点的定义判断A选项，用极大值和极小值的定义来判断BCD选项
【详解】导数为0的点不一定是极值点，还要满足导函数在这一点的左侧与右侧的函数值异号，故A错误；
根据极值的概念，在附近的左侧，函数单调递增；在附近的右侧，函数单调递减，所以为极大值，故B正确，CD错误．
故选：B
2．下列函数中，存在极值的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据极值的定义进行求解即可.
【详解】A：因为函数是实数集上的增函数，所以函数没有极值；
B：因为函数是正实数集上的增函数，所以函数没有极值；
C：因为函数在区间、上是减函数，所以函数没有极值；
D：因为，所以该函数在上是增函数，在上是减函数，因此是函数的极小值点，符合题意，
故选：D
3． 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.
【详解】由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.
4．函数在区间上（ ）
A．有极大值和极小值 B．有极大值，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．没有极值
【答案】C
【分析】对函数求导后，令导数等于零，再由单调性判断即可
【详解】由，得，
令，得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以是在上的极小值点，无极大值，
故选：C
5．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
【答案】C
【分析】求导得，再解不等式即得解.
【详解】由得，
根据题意得，解得．
故选：C
6．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数
C．为的极小值点 D．2为的极大值点
【答案】D
【分析】利用函数与导函数的关系及其极值的定义即可求解.
【详解】由导函数的图像可知，
在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，则选项不正确；
在区间上，，则是增函数，则选项不正确；
由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项不正确；
由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项正确；
故选：D.
7．已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据题意可知，可解出，再求出另外一个极值点即可．
【详解】，由题意有，解得，所以，令，解得或，所以函数的另一个极值点为．
故选：A．
8．函数在处有极值为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数在处有极值为，由，求解.
【详解】因为函数，
所以，
所以，，
解得a=6,b=9，
=-3，
故选：B
9．若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解.
【详解】因为函数在内无极值，
所以在在内无变号零点，
根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增，
所以或即可，
解得或，
故选：C.
二、填空题
10．已知为函数的极大值点，则______．
【答案】
【分析】根据导函数的正负判断单调区间和极值点，进而得解.
【详解】因为，所以．
当时，，
当时，，
当时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以的极大值点为，即．
故答案为：.
11．函数在处取得极值，则实数的值为______．
【答案】
【分析】由函数可导，则在极值点处导函数为，可得，即可得解.
【详解】由，
可得，
所以.
故答案为：
12．函数y＝(x>0)的极小值是________.
【答案】e.
【分析】求导，由极小值的定义求解.
【详解】因为函数y＝(x>0)，
所以，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时，函数y＝(x>0)取得极小值.
故答案为：e
13．函数（）在内不存在极值点，则a的取值范围是_______________．
【答案】．
【分析】将函数在内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数或恒成立即可求解.
【详解】解：∵函数（）在内不存在极值点，
∴函数在内单调递增或单调递减，
∴或在内恒成立，
∵，
令，二次函数的对称轴为，
∴，
，
当时，需满足，即，
当时，需满足，即，
综上所述，a的取值范围为．
故答案为：．
三、解答题
14．已知函数．
(1)求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
(2)求函数f（x）的单调区间与极值；
【答案】(1)1
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.
【分析】（1）求导，求出即为切线斜率；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值.
【详解】（1）因为，所以，因此曲线y = f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；
（2）令，解得：x = 0或2．
x 0 2
－ 0 + 0 －
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以 f（x）在，内是减函数，在内是增函数．
因此函数f（x）在x = 0处取得极小值f（0），且f（0）= 0，函数f（x）在x = 2处取得极大值，且f（2）=；
综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.
15．已知函数在处的切线方程．
（1）求，的值；
（2）求的单调区间与极小值．
【答案】（1）；（2）在单调递减，在单调递增，的极小值为．
【分析】（1）根据导数的几何意义，有，又，联立方程组即可求解.
（2）求函数的导函数，然后令导函数大于0，可得增区间，令导函数小于0，可得减区间，从而可得函数的极小值．
【详解】解：（1），由已知可得，解得.
（2）由（1）可得，
∴，
令，解得；令，解得，
∴在单调递减，在单调递增，
∴当时，的极小值为．
