第七章 三角函数 单元检测卷-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019） 必修第三册（含答案）

新人教B版 必修三　三角函数单元检测卷
（原卷+答案）
(满分：150分　　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．sin 4·tan 7的值(　　)
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不大于0
2.
函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A．1， B．1，－
C．2， D．2，－
3．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是(　　)
A． B．
C． D．
4．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，A为其图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
5．函数f(x)＝sin 2x和g(x)的部分图象，如图所示．g(x)的图象由f(x)的图象平移而来，C，D分别在g(x)、f(x)图象上，ABCD是矩形，A(，0)，B(，0)，则g(x)的表达式是(　　)
A.g(x)＝sin
B．g(x)＝sin
C．g(x)＝cos
D．g(x)＝cos
6．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
7．已知cos A＋sin A＝－，A为第四象限角，则tan A等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α(0<α<π)的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，过点B作x轴的垂线，垂足为Q.记线段BQ的长为y，则函数y＝f(α)的图象大致是(　　)
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列结论正确的是(　　)
A．－是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
C．若角α的终边过点P，则cos α＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
10．将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值可能为(　　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
11．已知f(x)＝2cos ，x∈R，满足f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值是，则ω的值可以为(　　)
A．－ B． C． D．－
12．将函数f(x)＝cos －1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g的图象，则下列关于函数g的说法正确的是(　　)
A．最大值为，图象关于直线x＝对称 B．图象关于y轴对称
C．最小正周期为π D．图象关于点对称
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．化简：＝________．
14．函数y＝tan 的定义域为________________．
15．函数f(x)＝－2tan x＋m，x∈有零点，则实数m的取值范围是________．
16．给出下列四个命题：①若f(x)＝a tan x＋b cos x是偶函数，则a＝0；②当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝cos 取得最大值；③函数y＝4cos 的图象关于直线x＝－对称；④函数y＝2tan ＋1的图象的对称中心为，k∈Z.其中正确的命题是________(填序号).
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)最小正周期为π，图象过点.
(1)求函数f(x)解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
19．(12分)已知函数f(x)＝cos (2x－φ)(0<φ<π)，其图象过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在上的最大值和最小值．
20．(12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的最小正周期T及f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的对称轴方程及单调递增区间；
(3)将f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g的图象，若g＝a－1在x∈上有两个解，求a的取值范围．
21．(12分)已知函数f(x)＝2sin 2x＋cos x－2.
(1)求函数f(x)的零点；
(2)当x∈时，函数f(x)的最小值为－1，求α的取值范围．
22.
(12分)如图是半径为1 m的水车截面图，在它的边缘(圆周)上有一定点P，按逆时针方向以角速度 rad/s作圆周运动，已知点P的初始位置为P0，且∠xOP0＝，设点P的纵坐标y是转动时间t(单位：s)的函数，记为y＝f(t).
(1)求f(0)，f的值，并写出函数y＝f(t)的解析式；
(2)选用恰当的方法作出函数y＝f(t)，0≤t≤6的简图；
(3)试比较f，f，f的大小(直接给出大小关系，不用说明理由).
参考答案
1．解析：∵4在第三象限，∴sin 4<0，∵7在第一象限，
∴tan 7>0，∴sin 4·tan 7<0，故选B.
答案：B
2．解析：由题图可知，T＝4＝π，即ω＝＝2.
因为sin ＝－1，所以＋φ＝－＋2kπ，φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又<，所以φ＝，
故选C.
答案：C
3．解析：1＋sin θcos θ＝
＝＝＝.
答案：B
4．解析：函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，A为f(x)图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，BC＝4，
所以2＋2＝42，即12＋＝16，得ω＝.
再根据·＋φ＝kπ，k∈Z，可得φ＝－，
所以f(x)＝sin .
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，
求得4k－≤x≤4k＋，
故f(x)的单调递增区间为，(k∈Z).
答案：C
5．解析：由图象知，函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移×＝个单位，
得g(x)＝sin 2＝sin 的图象；
又sin ＝cos
＝cos ＝cos ，
所以g(x)＝cos .
答案：C
6．解析：A，B中函数的周期为2π，不符合．C，D中函数的周期为π.y＝cos ＝－sin 2x在上是增函数，y＝sin ＝cos 2x在上是减函数，故选D.
答案：D
7．解析：由已知可得2sin A cos A＝－，所以(cos A－sin A)2＝1－2sin A cos A＝.故cos A－sin A＝.又cos A＋sin A＝－，所以cos A＝，sin A＝－.
所以tan A＝－.
答案：C
8．解析：由题可得A(cos α，sin α)，
将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，
可得B，
即B(－sin α，cos α).
因为线段BQ的长为y，
所以函数y＝f(α)＝|cos α|.
答案：B
9．解析：选项A：－终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；
选项B：设扇形的半径为r，＝π，∴r＝3，
扇形面积为×3×π＝，所以B正确；
选项C：角α的终边过点P，根据三角函数定义，
cos α＝－，所以C正确；
选项D：角α为锐角时，0<α<，0<2α<π，所以D不正确．
故选BC.
答案：BC
10．解析：因为将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象向左平移个单位，所得图象与原图象重合，
所以是已知函数的周期的整数倍，
即k·＝(k∈N*)，解得ω＝4k(k∈N*).
答案：ACD
11．解析：由f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值是π，可得＝，故＝，
所以ω＝±.
答案：AC
12．解析：将函数f＝cos －1的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos －1＝cos －1＝－cos 2x－1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g＝－cos 2x的图象，对于函数g，它的最大值为，由于当x＝时，g＝－，不是最值，故g的图象不关于直线x＝对称，故A错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；它的最小正周期为＝π，故C正确；
当x＝时，g＝0，故函数g的图象关于点对称，故D正确．
答案：BCD
13．解析：原式＝
＝＝tan θ.
答案：tan θ
14．解析：由＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋2kπ，k∈Z，
即函数y＝tan 的定义域为.
答案：
15．解析：函数f(x)＝－2tan x＋m有零点，即方程2tan x＝m有解．∵x∈，∴tan x∈[－1，]，
∴m∈[－2，2].
答案：[－2，2]
16．解析：f(x)＝a tan x＋b cos x为偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即a tan (－x)＋b cos (－x)＝a tan x＋b cos x，即2a tan x＝0，故a＝0，①正确；当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝cos ＝cos ＝，显然不是最大值，②不正确；当x＝－时，y＝4cos ＝4cos (－π)＝－4，显然取得最小值，故x＝－是该函数的图象的一条对称轴，③正确；令－2x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，故对称中心为，k∈Z，④不正确．
答案：①③
17．解析：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝，
故tan α＝.
(2)＝
＝＝＝4.
18．解析：(1)由已知得π＝，解得ω＝2.
将点代入解析式，＝2sin ，可知cos φ＝，由0<φ<π可知φ＝，于是f(x)＝2sin .
(2)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，
于是函数f(x)的单调递增区间为
.
19．解析：(1)∵f(x)＝cos (2x－φ)，且函数图象过点，
∴＝cos ，即cos ＝1，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos ，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝cos 的图象．
∵x∈，∴4x－∈，
故－≤cos ≤1.
∴y＝g(x)在上的最大值和最小值分别为和－.
20．解析：(1)由题意，A＝1，＝＋＝ T＝π，则＝π ω＝2，所以f(x)＝sin ，又因为图象过点，所以2×＋φ＝＋2kπ φ＝＋2kπ，而－<φ<，则φ＝，于是f(x)＝sin .
(2)结合图象可知，函数的对称轴为x＝＋，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z －＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为[－＋kπ，＋kπ].
(3)f(x)的图象向右平移个单位长度得到：y＝sin [2(x－)＋]＝sin ，于是g＝sin ，如图所示：
因为g＝a－1在x∈上有两个解，所以≤a－1<1 a∈.
21．解析：(1)由sin 2x＋cos 2x＝1得f(x)＝－2cos 2x＋cos x，
令f(x)＝0，解得cos x＝0或cos x＝，
当cos x＝0时，x＝＋kπ，k∈Z；
当cos x＝时，x＝2kπ±，k∈Z.
所以函数f(x)的零点为＋kπ，2kπ±，k∈Z.
(2)因为f(x)＝－2cos 2x＋cos x，令cos x＝t，t∈，则f(x)＝g＝－2t2＋t，
因为f(x)的最小值为－1，所以－2t2＋t≥－1，
解得－≤t≤1，即－≤cos x≤1，
因为x∈，且cos ＝－，即f＝－1，
由－≤cos x≤1，且x∈，可得－≤α<，
所以α的取值范围为.
22．解析：(1)由题意，f(0)＝sin ＝，
f＝sin ＝cos ＝，函数y＝f (t)＝sin ，t≥0.
(2)根据题意列表如下；
t 0 1 4 6
＋ π 2π
y 1 0 －1 0
在直角坐标系中描点、连线，作出函数y＝f(t)在0≤t≤6的简图如图所示．
(3)由函数的图象与性质知f>f>f.