二次函数 复习专练-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

必修第一册专题复习—二次函数专练
1. 已知函数，若在区间上有最大值，最小值．
求，的值；
若在上是单调函数，求的取值范围．
2. 已知二次函数的图象过点，，且满足
求函数的解析式；
求在区间上的最大值．
3. 设，若，，求证：
方程有实根；
；
设，是方程的两个实根，则．
4. 已知二次函数，其中．
Ⅰ若函数的定义域和值域均为，求实数的值；
Ⅱ若函数在区间上单调递减，且对任意的，，总有成立，求实数的取值范围．
5. 已知二次函数为常数，且，满足条件，且方程有等根．
求的解析式；
是否存在实数、，使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出、的值，如果不存在，说明理由．
6. 已知函数，
若，求的值域；
若存在，使得能成立，求实数的取值范围．
7. 已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立，
Ⅰ求的取值范围；
Ⅱ对任意，，恒有，求实数的取值范围．
8. 已知函数．
若，解方程；
若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
是否存在实数，使不等式对一切实数恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】解：由于函数，，对称轴为，
，则函数在区间上单调递增，
由题意可得，解得，
则由可得，，，则，
再由函数在上为单调函数，可得或，
解得，或，
故的范围为．
2.【答案】解：设，
因为，所以的对称轴方程为，
由题意，得，解得：
所以．
因为抛物线的开口向下且对称轴方程是，所以可按如下三种情况分类讨论：
当，即时，在上单调递增，
故最大值；
当，即时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故最大
值；
当时，在区间上单调递减，故最大值，
综上所述，．
3.【答案】证明：若，则，
，与已知矛盾，所以．
方程的判别式为．
由条件，消去，
得，故方程有实根．
由，得，
由条件，消去，得，
，
，故．
由条件知，，
．
，
，
故．
4.【答案】解：Ⅰ，开口向上，对称轴是，
在递减，
，
，
解得；
Ⅱ函数的对称轴是，则其单调减区间为，
因为在区间上是减函数，所以．
则，
所以距离的距离小于距离的距离，
故最大值在处取得，最小值在处取得，
因此任意的，，总有，
只需即可，
即，亦即，
解得：，又，
因此
5.【答案】解：满足，
的图象关于直线对称．
而二次函数的对称轴为，
，
又有等根，即有等根，
，
由得，．
．
，
如果存在满足要求的，，则必需，，
从而，而，单调递增，
，可解得，满足要求．
存在，满足要求．
6.【答案】解：的图象是抛物线，开口向上，对称轴是，
当时，在上单调递减，
，，
此时的值域为：；
当时，在上单调递减，在上单调递增，但，
此时：，；值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，但，
此时：，；值域为，
综上，当时，的值域为：，
当时，的值域为，
当时，的值域为．
可化为：，
即存在，使得能成立，
只需对能成立，只需，其中．
当时，记，则，
且，
根据对勾函数的性质知，函数在上单调递增，
，
所以，
因此，，
即实数的取值范围为
7.【答案】解：Ⅰ 由题意可知，，
，
，
对任意实数都有，即恒成立，
，由，
，，
此时，
对任意实数都有成立，
，
的取值范围是．
Ⅱ 对任意，都有，
等价于在上的最大值与最小值之差，
由知
即，
对称轴：
据此分类讨论如下：
(ⅰ)当即时，
，
．
(ⅱ) 当，即时，
恒成立．
(ⅲ)当，即时，
．
综上可知，．
8.【答案】解：当时，，
故有，
当时，由，有，
解得或．
当时，恒成立．
方程的解集为或；
，
若在上单调递增，则有，
解得，．
当时，在上单调递增；
设，
则，
不等式对一切实数恒成立，
等价于不等式对一切实数恒成立．
若，则，即，取，
此时，，
即对任意的，总能找到，使得，
不存在，使得恒成立．
若，，值域为，
恒成立．
若，
当时，单调递减，此时，
由于，
成立．
当时，由，知，
令，得，
又，．
综上，．