导数及其应用综合练习（1）（基础篇）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

导数及其应用综合练习（1）（基础篇）
(时间：120分钟　满分：150分)
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 若存在x∈[－1，1]，使得x2＋mx－3m≥0，则m的最大值为(　　)
A. 1 B. C. D. －1
3. 内接于半径为1的球且体积最大的圆柱体的高为(　　)
A. B. C. D.
4. 已知函数f(x)＝若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，则的最小值为(　　)
A. 2 B. 2 C. D. 1
5. 已知函数f(x)＝ln x．若对任意的x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)>k(x－x)恒成立，则实数k的最大值是(　　)
A. 0 B. C. 1 D. 2
6. 设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f′(x).若f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝2 020，则不等式f(x)>2 019e－x＋1(其中e为自然对数的底数)的解集为(　　)
A. (－∞，0)∪(0，＋∞) B. (－∞，0)∪(2 019，＋∞) C. (0，＋∞) D. (2 019，＋∞)
7. 对于函数y＝f(x)与y＝g(x)，若存在x0，使f(x0)＝g(－x0)，则称M(x0，f(x0))，N(－x0，g(－x0))是函数f(x)与g(x)图象的一对“隐对称点”．已知函数f(x)＝m(x＋1)，g(x)＝，函数f(x)与g(x)的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－1，0) B. (－∞，－1) C. (0，1)∪(1，＋∞) D. (－∞，－1)∪(－1，0)
8. 设函数f(x)＝ex(2x－1)－mx＋m，其中m<1.若有且仅有两个不同的整数n，使得f(n)<0，则m的取值范围是(　　)
A. [，) B. [－，) C. [，) D. [，1)
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．下列函数在(0，)上不是凸函数的是(　　)
A. f(x)＝sin x－cos x B. f(x)＝ln x－2x C. f(x)＝－x3＋2x－1 D. f(x)＝xex
10. 下列不等式正确的是(　　)
A. 2ln 2πe D. ln 3>ln π
11. 已知函数f(x)＝ax－ln x(a∈R)，则下列说法正确的是(　　)
A. 若a≤0，则函数f(x)没有极值
B. 若a>0，则函数f(x)有极值
C. 若函数f(x)有且只有两个零点，则实数a的取值范围是(－∞，)
D. 若函数f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是(－∞，0]∪
12. 关于函数f(x)＝aln x＋，下列结论正确的是(　　)
A. 函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(a－2)x－y－a＋4＝0
B. x＝是函数f(x)的一个极值点
C. 当a＝1时，f(x)≥ln 2＋1
D. 当a＝－1时，不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为(，1)
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数f(x)＝xln x＋1的图象总在直线y＝ax的上方，则实数a的取值范围是________．
14. 设点A是曲线f(x)＝ex上的一个动点，点B是直线x－y－1＝0上一点，则AB的最小值为________．
15. 已知函数f(x)＝若关于x的方程2[f(x)]2＋(1－2m)f(x)－m＝0有5个不同的实数解，则实数m的取值范围是________．
16. 函数f(x)＝的最大值是________；若对任意x1，x2∈[a，＋∞)，都有f(x1)－f(x2)≤成立，则实数a的最小值是________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
已知函数f(x)＝x3－ax＋b在x＝－1处取得极值．
(1) 求实数a的值；
(2) 若函数y＝f(x)在[0，2]内有零点，求实数b的取值范围．
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.
(1) 求函数f(x)在[，1]上的值域；
(2) 若 x1∈[，1]， x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围．
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝2.
(1) 求a，b的值；
(2) 若对函数f(x)定义域内任意一个实数x，有xf(x)20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x2－(m＋1)x＋mln x，m∈R，g(x)＝.
(1) 求g(x)的极值；
(2) 若对任意的x1，x2∈[2，4](x1≠x2)，当x121.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋4(a∈R).
(1) 解关于x的不等式：f(x)≤4－2a；
(2) 若对任意的x∈[1，4]，f(x)＋a＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 已知函数g(x)＝mx＋5－2m，当a＝2时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2＋x)＋2.
(1) 当a＝1时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2) 当a>0时，若f(x)的极大值点为x1，求证：f(x1)<－2ln 2＋.
导数及其应用综合练习（1）（基础篇）答案
1. C　解析：由题得f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)>0得x>2或x<－2；令f′(x)<0得－20，∴ 函数f(x)的零点个数为2，故选C.
2. C　解析：由不等式x2＋mx－3m≥0，可化为m≤，设f(x)＝，x∈[－1，1]，则f′(x)＝＝，当x∈[－1，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，1]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，又由f(－1)＝，f(1)＝，所以函数f(x)的最大值为f(1)＝，要使得存在x∈[－1，1]，使得x2＋mx－3m≥0，则m≤，则m的最大值为，故选C.
3. A　解析：根据题意，设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，作出示意图如图所示，则r2＝R2－＝1－，∴ 圆柱的体积V(h)＝πr2×h＝π(h－h3)，∴ V′(h)＝π(1－h2)(00，解得04. B　解析：设f(x1)＝f(x2)＝t，则t≤1，不妨设x1>x2，则ln x1＝x2＋1＝t，解得x1＝et，x2＝t－1，∴ x1－x2＝et－t＋1，设g(t)＝et－t＋1，则g′(t)＝et－1>0，解得t>0，又t≤1，∴ g(t)在(－∞，0)上是减函数，在[0，1]上是增函数，∴ g(t)min＝g(0)＝2，∴ |x1－x2|的最小值为2，故选B.
5. B　解析：设x1>x2，则f(x1)－kx>f(x2)－kx，设g(x)＝f(x)－kx2，则g(x)在[1，2]上单调递增，∴ g′(x)≥0，即－2kx≥0对x∈[1，2]恒成立，∴ ≥k对x∈[1，2]恒成立，∴ k≤，∴ k的最大值为，故选B.
6. C　解析：∵ f(x)＋f′(x)>1，设g(x)＝ex[f(x)－1]，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，∴ g(x)在R上是增函数．又f(0)＝2 020，则g(0)＝2 019，不等式f(x)>2 019e－x＋1可化为ex[f(x)－1]>2 019，即g(x)>g(0)，∴ x>0，∴ 不等式的解集是(0，＋∞)，故选C.
7. D　解析：由题意函数y＝－m(x－1)与y＝的图象有两个交点，令h(x)＝，则h′(x)＝，∴ 当x∈(0，e)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；又y＝－m(x－1)恒过点(1，0)，当x>1时，h(x)>0，
在同一坐标系中作出函数y＝－m(x－1)与h(x)＝的图象，如图：
由图象可知，当直线y＝－m(x－1)为函数y＝图象的切线时，由h′(1)＝1可得－m＝1；若函数y＝－m(x－1)与y＝的图象有两个交点，则－m>0且－m≠1，∴ m<0且m≠－1，即m∈(－∞，－1)∪(－1，0)，故选D.
8. A　解析：令f(x)<0，即 ex(2x－1)－时，g′(x)>0，则g(－)＝－2e－，当x→－∞时，g(x)→0，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，h(x)＝mx－m恒过定点(1，0)，在同一坐标系中，作出两函数的图象如图所示：
∵ 有且仅有两个不同的整数n，使得f(n)<0，所以有且仅有两个不同的整数n，使得g(x)的图象在h(x)的图象的下方，∴ 即解得≤m<，∴ 实数m的取值范围是[，)，故选A.
9. AD　解析：对于A，f′(x)＝cos x＋sin x，f″(x)＝－sin x＋cos x＝－sin (x－)，当x∈(0，)时，－0，故f(x)＝sin x－cos x不是凸函数；对于B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－<0，故f(x)＝ln x－2x是凸函数；对于C，f′(x)＝－3x2＋2，对任意的x∈(0，)，f″(x)＝－6x<0，故f(x)＝－x3＋2x－1是凸函数；对于D，f′(x)＝(x＋1)ex，对任意的x∈(0，)，f″(x)＝(x＋2)ex>0，故f(x)＝xex不是凸函数，故选AD.
10. AC　解析：设f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1，∴ 当x>2时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数，∴ f(2) e，∴ g(x)在(0，e)上是增函数，在(e，＋∞)上是减函数，∴ g(2) eln 2，∴ B错误；又g(e)>g(π)，即>，即πln e>eln π，∴ eπ>πe，∴ C正确；又g()11. ABD　解析：由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝a－＝，当a≤0时，f′(x)<0恒成立，此时f(x)单调递减，没有极值，又当x趋近于0时，f(x)趋近于＋∞，当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于－∞，∴ f(x)有且只有一个零点．当a>0时，在(0，)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴ 当x＝时，f(x)取得极小值，同时也是最小值，∴ f(x)min＝f()＝1＋ln a，当x趋近于0时，ln x趋近于－∞，f(x)趋近于＋∞，当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于＋∞.当1＋ln a＝0，即a＝时，f(x)有且只有一个零点；当1＋ln a<0，即012. ACD　解析：∵ f(x)＝aln x＋，∴ f(1)＝2，f′(x)＝－，∴ f′(1)＝a－2，∴ 在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y－a＋4＝0，∴ A正确；当a<0时，f′(x)＝－<0在x∈(0，＋∞)上恒成立，∴ 函数f(x)在定义域内单调递减，无极值点，∴ B错误；当a＝1时，f′(x)＝－＝，由f′(x)>0得x>2；由f′(x)<0得00可得解得13. (－∞，1)　解析：∵ f(x)的图象总在y＝ax上方，∴ xln x＋1>ax恒成立．∵ f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴ a0)，∴ g′(x)＝－＝.当x∈(0，1)时，g′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，∴ g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴ g(x)min＝g(1)＝1，∴ a<1，即实数a的取值范围是(－∞，1).
14. 　解析：当点A是与直线x－y－1＝0平行的直线与曲线f(x)相切的切点时，点A到直线x－y－1＝0的距离为AB的最小值，设切点为A(a，ea)，则f′(a)＝ea＝1，解得a＝0，此时A(0，1)，∴ 点A到直线x－y－1＝0的距离d＝＝，∴ AB的最小值为.
15. (0，)　解析：设y＝，则y′＝，由y′＝0，解得x＝e，当x∈(0，e)时，y′>0，函数为增函数，当x∈(e，＋∞)时，y′<0，函数为减函数．∴ 当x＝e时，函数取得极大值也是最大值为，方程2[f(x)]2＋(1－2m)·f(x)－m＝0化为[f(x)－m][2f(x)＋1]＝0，解得f(x)＝m或f(x)＝－，如图，画出函数图象，可得m的取值范围是(0，).
16. 　1　解析：函数的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝，当00，f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴ 当x＝e时，f(x)取得最大值；若对任意x1，x2∈[a，＋∞)，都有f(x1)－f(x2)≤成立，等价于当x∈[a，＋∞)时，f(x)max－f(x)min≤，当a≥e时，f(x)max≤，且f(x)>0，满足题意；当017. 解：(1) ∵ f′(x)＝3x2－a，又f(x)在x＝－1处取得极值，
∴ f′(－1)＝3－a＝0，解得a＝3.
经验证a＝3时，f(x)在x＝－1处取得极值．
(2) 由(1)知f(x)＝x3－3x＋b，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，∴ y＝f(x)的极值点为1，－1.
将x，f(x)，f′(x)在[0，2]内的取值列表如下：
x 0 (0，1) 1 (1，2) 2
f′(x) / － 0 ＋ /
f(x) b ? 极小值b－2 ? b＋2
∵ y＝f(x)在[0，2]内有零点，
∴ 解得－2≤b≤2，∴ 实数b的取值范围是[－2，2].
18. 解：(1) ∵ f′(x)＝1－＝，∴ 当x∈[，1]时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数．又f()＝，f(1)＝5，∴ f(x)在[，1]上的值域为[5，].
(2) ∵ x1∈[，1]， x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，∴ f(x1)min≥g(x2)min.∵ x2∈[2，3]，
∴ g(x2)≥22＋a＝4＋a，∴ 5≥4＋a，解得a∈(－∞，1].
19. 解：(1) f′(x)＝，∵ 点(1，f(1))在直线x＋y＝2上，∴ f(1)＝1.又直线x＋y＝2的斜率为－1，∴ f′(1)＝－1，则解得
(2) 由(1)得f(x)＝(x>0)，由xf(x)0)，∴ h(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，∴ 当0h(1)＝0.当x>1时，h(x)0，当x>1时，g′(x)<0，∴ g(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，∴ g(x)max＝g(1)＝1，∴ m>1，∴ 实数m的取值范围是(1，＋∞).
20. 解：(1) g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，当x>1时，g′(x)>0；当0∴ g(x)的极小值为e，无极大值．
(2) 由(1)可得g(x)在[2，4]上为增函数，∵ x2>x1，∴ f(x1)－f(x2)<|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)0在[2，4]上恒成立，∴ v(x)为增函数，∴ v(x)在[2，4]上的最小值为v(2)＝2＋，∴ m≤2＋，∴ m的最大值为2＋.
21. 解：(1) ∵ f(x)≤4－2a，∴ x2－(a＋2)x＋2a≤0，即(x－a)(x－2)≤0.当a<2时，解得a≤x≤2；当a＝2时，解得x＝2；当a>2时，解得2≤x≤a.综上，当a<2时，不等式的解集为{x|a≤x≤2}；当a＝2时，不等式的解集为{x|x＝2}；当a>2时，不等式的解集为{x|2≤x≤a}．
(2) ∵ 对任意的x∈[1，4]，f(x)＋a＋1≥0恒成立，即对任意的x∈[1，4]，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立，当x＝1时，0≤4恒成立，∴ 对任意的x∈(1，4]时，a≤x－1＋恒成立．令t＝x－1＋≥2＝4，当且仅当 x－1＝，即 x＝3时取等号，∴ a≤4，
∴ 实数a的取值范围是(－∞，4].
(3) 当a＝2时，f(x)＝x2－4x＋4，x∈[1，4]的值域是[0，4]，∵ 对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，∴ f(x)的值域是g(x)的值域的子集．当m>0时，g(x)∈[－m＋5，2m＋5]，则解得m≥5；当m<0时，g(x)∈[2m＋5，－m＋5]，则解得m≤－；当m＝0时，g(x)∈{5}，不成立．综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－]∪[5，＋∞).
22. (1) 解：当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋x2＋x＋2，∵ f′(x)＝＋2x＋1，∴ f′(0)＝2.又f(0)＝2，∴ f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋2.
(2) 证明：f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2＋x)＋2的定义域为(－1，＋∞)，∴ f′(x)＝＋a(2x＋1)＝.令g(x)＝2ax2＋3ax＋a＋1，Δ＝a2－8a.① 当Δ≤0，即00，即a>8时，g(x)的对称轴为直线x＝－.
∵ g(－1)＝g(－)＝1>0，g(－)＝1－<0，∴ 函数g(x)在区间(－1，－)上有两个零点x1，x2.不妨设x10，f′(x)>0，∴ f(x)在(－1，x1)上单调递增；当x1x2时，g(x)>0，f′(x)>0，∴ f(x)在(x2，＋∞)上单调递增．此时函数f(x)有唯一的极大值点为x1，且－10，∴ φ(t)单调递增，且φ(t)<φ(－)＝－2ln 2＋，∴ f(x1)<－2ln 2＋.