第八章 向量的数量积与三角恒等变换单元检测卷-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019） 必修第三册（含答案）

新人教B版　第八章　向量的数量积与三角恒等变换单元检测卷
（原卷+答案）
(满分：150分　　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，a⊥(a＋b)，则x＝(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
2．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
4．已知θ为第二象限角，且cos ＝－，则的值是(　　)
A．－1 B．
C．1 D．2
5．若sin ＝，则cos 等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
6．三角形ABC中，若C>90°，则tan A·tan B与1的大小关系为(　　)
A．tan A·tan B>1 B．tan A·tan B<1
C．tan A·tan B＝1 D．不能确定
7．已知f(x)＝sin ，g(x)＝cos ，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)g(x)的周期为2π
B．函数y＝f(x)g(x)的最大值为1
C．将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象
D．将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象
8．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin B·cos2(－)＋cos2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m<1 B．m>－3
C．m<3 D．m>1
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列计算正确的是(　　)
A．＝1
B．1－2sin275°＝
C．cos4－sin4＝
D．cos275°＋cos215°＋cos75°cos 15°＝
10．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论不正确的是(　　)
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
11．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的单调递增区间有(　　)
A． B．
C． D．
12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则(　　)
A．<α< B．β<<α
C．<α<β D．<β<α
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．若cos x cos y＋sin x sin y＝，则cos (2x－2y)＝________．
14．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
15．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．
16．若<α<π，0<β<，且sin (α＋)＝，cos (β＋)＝－，则cos (α＋β)＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，求·(＋)的值．
18．(12分)(1)求值：；
(2)已知sin θ＋2cos θ＝0，求的值．
19．(12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b.
(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；
(2)若|a|＝|b|，a与b的夹角为60°，当k为何值时，c⊥d
20．(12分)已知ω>0，a＝(2sinωx＋cos ωx，2sin ωx－cos ωx)，b＝(sin ωx，cos ωx)，f(x)＝a·b，f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是.
(1)求ω的值．
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
21．(12分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈，求·的取值范围．
22．(12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x，1)，b＝(cos x，sin 2x＋m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
(2)当x∈[0，]时，－4参考答案
1．解析：由题设，a＋b＝(x＋1，2)，又a⊥(a＋b)，
所以(x＋1)×1＋2×1＝x＋3＝0，即x＝－3.
答案：D
2．解析：∵sin 2θ＝2sin θcos θ<0，∴θ是第二、四象限的角．又cos θ>0，∴θ是第四象限的角．
答案：D
3．解析：由于2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±.
所以a＝(1，±).所以|a|＝ ＝2.
答案：C
4．解析：∵θ为第二象限角，∴为第一或第三象限角．
∵cos ＝－，∴为第三象限角且sin ＝－，
∴＝＝1.故选C.
答案：C
5．解析：cos ＝cos
＝－cos ＝2sin2－1＝－.
答案：A
6．解析：在三角形ABC中，
因为C>90°，所以A，B都为锐角．
则有tanA>0，tan B>0，tan C<0，
又因为C＝π－(A＋B)，
所以tan C＝－tan (A＋B)
＝－<0，易知1－tan A·tan B>0，
即tan A·tan B<1.
答案：B
7．解析：因为f(x)＝sin ＝cos x，
g(x)＝cos ＝sin x，
所以y＝f(x)g(x)＝sin cos ＝cos x sin x＝sin 2x，所以其周期T＝＝π，最大值是，故排除A，B；
很明显，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos (x－)的图象．
答案：D
8．解析：f(B)＝4sin B cos2(－)＋cos2B
＝4sin B＋cos 2B
＝2sin B(1＋sin B)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.
因为f(B)－m<2恒成立，即m>2sin B－1恒成立．
因为0所以－1<2sin B－1≤1，故m>1.
答案：D
9．解析：对于选项A，＝tan45°＝1；对于选项B，1－2sin275°＝cos150°＝－；对于选项C，cos4－sin4＝(cos2＋sin2)(cos2－sin2)＝cos＝； 对于选项D，原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.
答案：ACD
10．解析：在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A错误；
又＝2a且||＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|·cos 120°＝－1，B，C错误；
因为(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，D正确．
答案：ABC
11．解析：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即函数的单调递增区间为(k∈Z)，
当k＝0时，得，当k＝1时，得，当k＝2时，得.故选ACD.
答案：ACD
12．解析：因为α为锐角，sin α－cos α＝>0，
所以<α<.
又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝，
所以α＋β＝，
又α>，所以β<<α.
答案：AB
13．解析：由cos x cos y＋sin x sin y＝，可知cos (x－y)＝，则cos (2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×－1＝－.
答案：－
14．解析：因为向量a，b的夹角为45°，
且|a|＝1，|2a－b|＝，
所以＝，
化为4＋|b|2－4|b|cos45°＝10，
化为|b|2－2|b|－6＝0，
因为|b|≥0，解得|b|＝3.
答案：3
15．解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos 〈a，b〉－2×16＝－14－3×3×4cos 〈a，b〉≥4，
∴cos 〈a，b〉≤－，又〈a，b〉∈[0，π]，
∴θ＝〈a，b〉∈.
答案：
16．解析：因为sin (α＋)＝，且<α<π，
所以cos (α＋)＝－.
因为cos (β＋)＝－，且0<β<，
所以sin (β＋)＝.
因为α＋＋β＋＝α＋β＋，
所以cos (α＋β)＝sin (α＋β＋)，
即cos (α＋β)＝sin
＝×(－)－×＝－.
答案：－
17.
解析：如图，由AM＝3，且＝2，可知||＝2.
∵M为BC的中点，
∴＋＝2＝，
∴·(＋)＝·
＝－2＝－||2＝－4.
18．解析：(1)原式＝
＝＝＝2＋.
(2)由sin θ＋2cos θ＝0，得sin θ＝－2cos θ，
又cos θ≠0，则tan θ＝－2，
所以＝
＝＝＝.
19．解析：(1)因为c∥d，所以c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b).
又a，b不共线，所以?k＝λ，
1＝得
即c＝－d，故c与d反向．
(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos 60°，
又c⊥d，故(k－1)a2＋a2＝0，
即(k－1)＋＝0，解得k＝1.
20．解析：f(x)＝a·b＝(2sin ωx＋cos ωx)sin ωx＋(2sin ωx－cos ωx)cos ωx
＝2sin2ωx＋3sinωx cos ωx－cos2ωx
＝1－cos2ωx＋sin 2ωx－(1＋cos 2ωx)
＝(sin 2ωx－cos 2ωx)＋
＝sin (2ωx－)＋.
(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，则ω＝1.
(2)f(x)＝sin (2x－)＋.
因为x∈[0，]，
所以(2x－)∈[－，]，
则当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
21．解析：(1)证明：因为·＝·，
所以·(－)＝0.
又＋＋＝0，则＝－(＋)，
所以－(＋)·(－)＝0.
所以2－2＝0.所以||2＝||2.
即|AB|＝|BC|，即△ABC为等腰三角形．
(2)因为B∈，则cos B∈.
设||＝||＝a.
又|＋|＝2，所以|＋|2＝4.
则有a2＋a2＋2a2cos B＝4.
所以a2＝，
则·＝a2cos B＝＝2－.
又cos B∈，所以·∈.
22．解析：(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋m
＝2sin (2x＋)＋m＋1.所以函数f(x)的最小正周期T＝π，在[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π].
(2)因为当x∈[0，]时，f(x)单调递增，
所以当x＝时，f(x)的最大值等于m＋3.
当x＝0时，f(x)的最小值等于m＋2.
由题设知解得－6