7.1.1数系的扩充与复数的概念基础版 基础版课时练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

第七章7.1.1数系的扩充与复数的概念基础版课时训练一--人教版A版必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“复数为纯虚数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知复数（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（ ）．
A． B． C． D．
4．复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
5．下列命题一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则是纯虚数
D．若且，则且
6．设，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（ ）
A．1 B．2 C．－2 D．－4
8．已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．若，则是纯虚数
B．若是纯虚数，则实数
C．若，则为实数
D．若，且，则
10．（多选）若，且，则等于（ ）
A．4 B． C．2 D．0
11．下列命题中，不正确的是（ ）
A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数
C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则
12．（多选）已知为复数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则__________.
14．欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为______．
15．设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是______（请填代号）．
①； ②； ③； ④．
16．已知复数，若是纯虚数，则实数______．
四、解答题
17．实数a分别取什么值时，复数是
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数？
18．设方程中，为锐角，若实数是方程的一个根，求角和实数的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据欧拉公式得到复数的代数形式，结合诱导公式计算即可得答案.
【详解】，
则虚部为．
故选：C．
2．A
【分析】，时是纯虚数，是纯虚数，则，得到答案．
【详解】，
时是纯虚数，充分；是纯虚数，则，不必要．
故选：A
3．B
【分析】由已知得到，解出，对选项逐一验证即可.
【详解】由已知可得，即，
解得或
计算选项中的三角函数可得，
，，，
故选：B.
4．D
【分析】由题可得，进而即得答案.
【详解】要使复数为纯虚数，则，
若，则；若，则，
所以且．
故选：D．
5．D
【分析】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断.
【详解】对于，当时，，故选项错误；
对于，当时，，但并不相等，故选项错误；
对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误；
对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确，
故选：.
6．D
【分析】根据复数相等可得答案.
【详解】，
解得.
故选：D.
7．B
【分析】根据复数相等的定义列方程求解即可．
【详解】解：由得
，
，
，
解得，
．
故选：B．
8．B
【分析】根据复数为纯虚数的条件可列出方程及不等式，即可求得答案.
【详解】因为为纯虚数，
故，则，解得.
故选：B
9．CD
【分析】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当，可得的不是纯虚数，故A错误；
对于B中，当，可得，此时不是纯虚数，所以B错误；
对于C中，当时，可得，所以为实数，所以C正确；
对于D中，由，且，所以，所以D正确．
故选：CD
10．AD
【分析】根据，列方程组求解即可.
【详解】因为，且，
所以，解得或，
所以或0．
故选：AD
11．BCD
【分析】根据复数的概念逐项分析即得.
【详解】由复数的定义可知A命题正确；
形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误；
若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；
两个虚数不能比较大小，故D命题错误．
故选：BCD．
12．BCD
【分析】根据复数的定义以及复数模的概念对选型分别判断即可.
【详解】若，则为实数，当时，满足，但，故C项不正确；
因为两个虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正确；
当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如，但，所以B项不正确；
因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A项正确．
故选:BCD．
13．
【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可．
【详解】由已知．
故答案为：．
14．##
【分析】根据欧拉公式直接代入即可求解．
【详解】由公式得，
所以复数虚部为，
故答案为：
15．②
【分析】求得判断①；求得判断②；求得判断③；求得判断④
【详解】，则①判断正确；，则②判断错误；
，则③判断正确；，则④判断正确
故答案为：②
16．1
【分析】根据纯虚数的概念求解.
【详解】解：因为复数，且是纯虚数，
所以，解得，
故答案为：1
17．(1)
(2)且
(3)或
【分析】分式中分母不等于0，
（1）表示实数，则b=0；
（2）表示虚数，则b≠0；
（3）表示纯虚数，则a=0且b≠0；
【详解】（1）由题意知，
∴当a=5时，复数z是实数.
（2）由题意知，且
∴当且时，复数z是虚数.
（3）由题意知，或
∴当或时，复数z是纯虚数.
18．，．
【分析】将实数代入方程后，左边整理成复数的标准形式，然后根据复数相等的条件，让实部和虚部均为0，
即可求出结果.
【详解】因为实数是方程的一个根，所以，
即，因为，，
所以，解得，，因为为锐角，所以
所以，