7.1.1数系的扩充与复数的概念 练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

第七章7.1.1数系的扩充与复数的概念--人教版A版必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数z满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数是虚数，则实数取值的集合是（ ）
A． B． C． D．
3．瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下，被誉为“数学中的天桥”，据此（ ）
A．1 B． C．0 D．
4．已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
6．若是纯虚数，则实数的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．
7．设i为虚数单位，，“复数不是纯虚数“是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知复数，，并且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（ ）
A． B．
C．是该方程的根 D．是该方程的根
10．数学家们在探寻自然对数底与圆周率之间的联系时，发现了如下公式：
（1）
（2）
（3）
以下命题，正确的是（ ）
A．（为虚数单位） B．（为虚数单位）
C．（为虚数单位） D．（为虚数单位）
11．已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
12．已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
A．若x,,则的充要条件是
B．是纯虚数
C．若,则
D．当时,复数是纯虚数
三、填空题
13．设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的______条件．
14．已知复数的实部为2，其中，为实数，则的最小值为________．
15．已知复数， ，若，则的取值范围为 ____________；
16．设，则下列命题中为真命题的序号是___________.
①若，则；
②的充要条件为；
③复数为实数的充要条件为；
④若，则为纯虚数.
四、解答题
17．若关于的方程总有一个实根，求此实根的取值范围．
18．已知集合，，讨论实数m取何值时：
(1)；
(2)．
参考答案：
1．D
【分析】设，由复数相等，得出的关系式，消去得到关于的一元二次方程有实数解，利用，求解即可得出答案.
【详解】设，则，
整理得：,
所以，消去得,
因为方程有解，所以，解得：.
故选：D.
2．C
【分析】根据复数是虚数的条件为虚部不为零，列式求得结果，选出答案.
【详解】由复数是虚数，
所以，所以实数取值的集合是，
故选：C.
3．B
【分析】根据所给公式及指数的运算求解即可.
【详解】
，
故选：B
4．A
【分析】根据复数的性质及充分条件、必要条件求解即可.
【详解】，复数和是实数，成立，
当时，例如，推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．A
【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可
【详解】由题意，
故为实数
或
故选：A
6．C
【解析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.
【详解】由题是纯虚数，
为纯虚数，
所以m=1.
故选：C
【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.
7．A
【分析】先化简z，求出a，再判断即可.
【详解】，
z不是纯虚数，则，所以，即，
所以是的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
8．D
【分析】根据，得，消去m，可得的表达式，根据的范围，结合二次函数图像与性质，即可求得的取值范围.
【详解】由，得，
消去m，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝，
由于－1≤sin θ≤1，
所以当时，有最小值为，
所以当时，有最大值为7，
所以，
故选：D
【点睛】本题考查根据复数相等求参数、二次函数的图像与性质，难点在于将整理成关于的二次函数，并根据的范围，进行求解，考查分析理解，化简求值的能力，属中档题.
9．ABD
【分析】根据每个选项的描述进行判断，即可得出结果.
【详解】解：对于A选项，由于是方程的根，则，
而，故，选项A正确；
对于B选项，由虚根成对定理可知，也是方程的根，故，选项B正确；
对于C，且，故不是该方程的根，选项C错误；
对于D，，而，代入方程得，，
是该方程的根，即是该方程的根，选项D正确.
故选：ABD.
10．AB
【分析】根据题意得，即，再令即可得答案.
【详解】解：根据题意，，
，
所以（为虚数单位），故A选项正确，C选项错误；
当时，，所以（为虚数单位），故B选项正确，D选项错误；
故选：AB
11．ACD
【解析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于的一元二次方程，解方程求得，根据特殊角三角函数值和的范围可求得结果.
【详解】由题意得： ，解得：或
或或
故选：
【点睛】本题考查根据三角函数值求角的问题，涉及到复数实部和虚部的概念、二倍角公式的应用等知识；关键是能够通过实部和虚部互为相反数构造出关于的方程.
12．BD
【解析】选项A：取,满足方程，所以错误；选项B：,恒成立，所以正确；选项C：取,,，所以错误；选项D：代入
，验证结果是纯虚数，所以正确.
【详解】取,,则,
但不满足,故A错误；
,恒成立,所以是纯虚数,
故B正确；
取,,则,但不成立,故C错误;
时，复数是纯虚数,
故D正确.
故选:BD.
【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.
13．必要不充分
【分析】利用复数的概念即可得到二者间的逻辑关系
【详解】由、中至少有一个数是虚数，不妨设，
此时不是虚数，
则“、中至少有一个数是虚数”不是“是虚数”的充分条件
不妨设，
由是虚数，可得，则，
则不成立，则、不能均为实数，则、中至少有一个数是虚数，
则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的必要条件
综上“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
14．
【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】∵复数的实部为2，
∴，即．
则，
当且仅当，即，时取等号，
∴所求最小值为．
故答案为：．
15．
【分析】由复数相等及消参得到，根据正弦函数的值域及二次函数性质求参数范围.
【详解】由得：，
解得，而，
当时，，当时，，
综上，的取值范围为．
故答案为：
16．③
【分析】利用实数可以比较大小，复数不能比较大小判断①；举反例判断结合充分，必要条件的定义可判断②；根据充分，必要条件的定义可判断③；举反例说明④.
【详解】对于①，实数可以比较大小，但复数不能比较大小，为实数，但与不一定为实数，如，，故①错误；
对于②，当，时，，故为的充分不必要条件，故②错误；；
对于③，设复数，若为实数，则；若，即，得；所以复数为实数的充要条件为，故③正确；
对于④，若，则为实数，故④错误.
故答案为：③
【点睛】思路点睛：本题考查命题真假的判定，充分必要条件的判定，复数的相关概念，解决复数的相关问题，可以设复数，再结合题目条件判断，属于基础题.
17．
【分析】设方程的实根，代入方程，根据复数为，得到方程组，可解得，设的三角形式，代入可得的范围.
【详解】设为方程的实根，则，即，
所以
由①②消去，得．
令，，
则．
所以，此实根的取值范围是．
18．(1);
(2)或.
【分析】（1）判断出，即可求得；（2）由得到，分类讨论，分别列方程，利用复数相等的条件即可求得.
【详解】（1）因为，所以；
因为，所以.
所以，所以恒成立.
即无论实数m取任何值，恒成立.
故.
（2）因为，所以.
因为，，
所以或.
当时，有：，解得：；
当时，有：，解得：.
综上所述：或.