18.1.2三角形的中位线 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
18.1.2三角形的中位线
人教版八年级下册
知识回顾
问题 平行四边形的性质和判定有哪些？
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
AB∥CD, AD∥BC
AB=CD, AD=BC
AB∥CD, AB=CD
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
AO=CO,DO=BO
判定
性质
知识回顾
三角形的中线 连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段.
一个三角形有三条中线，中线交于一点，称为重心.
1.掌握三角形中位线的定义、定理.
2.能熟练运用三角形中位线的定理.
教学目标
新知导入
如图，在测量池塘的长AB时，由于绳长不够，于是在平地上取一点O，找出OA，OB的中点M，N，小刚说只要量出了MN的长，就能求出AB的长.
你知道这是什么原理吗？
新知探究
思考
　　如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
A　
B　
C　
D　
E　
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题，反过来，能否用平行四边形研究三角形呢？
一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？
知识点1
三角形中位线的定义
新知探究
问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
F
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
新知探究
思考 如图，DE是△ABC的中位线，观测一下DE与BC之间有什么数量、位置关系？
A
B
C
D
E
DE//BC
再任意画个三角形，观测一下看看能得到什么结果.
新知探究
知识点2
三角形中位线的定理
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
你能对它进行证明吗？
新知探究
如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 的中点.
求证：DE//BC，且DE=BC.
A
B
C
D
E
角相等
平行
四边形
线段
平行
线段相等
一条线段是另外一条线段的一半
倍长法
新知探究
证明：如图，延长 DE 到点 F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵ AE=CE，DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形，AD=CF，AD//CF
A
B
C
D
E
F
∴ BD=CF，BD//CF
∴四边形DBCF是平行四边形，BC=DF，BC//DF
又
∴ DE//BC，且DE=BC
方法一
新知探究
证明：如图，延长DE至点F，使得DE=EF，连接FC.
∵ 点E是△ABC的边AC的中点 ∴AE=CE
A
B
C
D
E
F
∵ AE=CE ，∠AED=∠CEF，DE=EF
∴△ADE≌△CFE(SAS)
∴∠ADE=∠CFE ∴AD=CF，AD//CF
∴ BD=CF，BD//CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF=BC，DF//BC
∵ DE=EF
∴DE//BC，且DE=BC
方法二
新知小结
三角形的中位线定理：
D
E
符号语言：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
∵ 如图，在△ABC中，DE是中位线.
∴DE//BC.
新知探究
如图，在测量池塘的长AB时，由于绳长不够，于是在平地上取一点O，找出OA，OB的中点M，N，小刚说只要量出了MN的长，就能求出AB的长.
小刚说的对不对？
对，因为MN为△AOB的中位线，所以MN=
新知探究
思考 你能将一块三角形蛋糕分成大小相等、形状相同的四块吗？
新知探究
一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都是原三角形周长的，每个小三角形的面积都是原三角形面积的.
现在你能将一个三角形分成四个面积相等的小三角形吗？
新知练习
1.如图，在△ABC中，DE是中位线.
(1)若∠AED=60 ， ∠A=50 ，则∠C= , ∠B= .
A
B
C
D
E
(2)若DE=3， 则BC= .
60
70
6
新知练习
2. 如图，已知 D、E、F 分别是边 AB、BC、AC 上的中点，求证：四边形 DECF 是平行四边形.
D
A
B
C
E
F
证明： ∵ D、E、F分别是边 AB、BC、AC 上的中点
∴ DE、DF是△ABC的中位线
∴
∴四边形 DECF 是平行四边形
新知典例
例1　如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长是______cm.
10
新知探究
例2　如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC.
∵点E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝ AC，EF∥AC.同理可得GH＝ AC，GH∥AC，
新知探究
解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，
∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.
在△AMD和△AMC中，
∴△AMD≌△AMC(ASA)，
∴AD＝AC＝3，DM＝CM.
∴BN＝CN，
∴MN为△BCD的中位线，
又∵点N为BC的中点，
例3　如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，AM⊥CM，垂足为M，延长CM交AB于点D，求MN的长．
课堂总结
三角形中位线
定义
定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
课堂练习
A. B．3 C．6 D．9
1．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(　 　)
C
课堂练习
2.如图， ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（ ）.
A.15 B.18 C.21 D.24
A
C
D
B
O
E
A
课堂练习
∴OE是△DBC的中位线，△DOE的周长是△DBC周长的一半
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，BC=AD
解析：∵点O是 ABCD 对角线的交点，E是CD的中点
∴ △DBC的周长为 BC+CD+BD=18+12=30
∴ △DOE的周长为15
又 ABCD的周长为36
∴BC+CD=18
A
C
D
B
O
E
课堂练习
3. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A. 12
B. 14
C. 24
D. 21
课堂练习
在有公共边的三角形中运用中位线定理
实现等线段转化
本题中△ABD和△ACD有公共边AD，△ABC和△BCD有公共边BC，此时运用中位线定理可将四边形EFGH的周长转化为线段AD和BC的和，从而将待求结论和已知条件联系起来，实现题设条件的有效转化.
课堂练习
∴
解：BD⊥CD，BD=4，CD=3
E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点
∴
∴四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+EH=AD+BC
AD=7，BC=5 ∴四边形EFGH的周长=12
课堂练习
3．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出AC和BC的中点M，N.如果测得MN＝20 m，那么A，B两点的距离是_____m，理由是___________________________________________________．
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三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
课堂练习
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝ AB，点E，F分别为边BC，AC的中点．
求证：DF＝BE.
证明：∵E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB且EF＝ AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝90°.
又∵AD＝ AB，
∴EF＝AD.
又∵∠EFC＝∠DAF＝90°，FC＝AF，
∴EC＝DF.
又∵EC＝BE，
∴DF＝BE.
∴△CFE≌△FAD（SAS）
谢谢
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