4.1函数的奇偶性 课件（共24张PPT）

第二章
§4
函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.了解奇函数、偶函数图象的特征.
3.会判断(或证明)函数的奇偶性.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
学习目标
情境导学
新知学习
中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础,是各种民俗活动的重要组成部分.其传承延续的视觉形象和造型样式,蕴涵了丰富的历史文化信息,表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣,具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值.
折叠剪纸是最常见的一种制作表现方法,它折法简明,制作简便,尤其适于表现结构对称的形体和对称的图式,这种对称给人一种美的享受.
我们学习过的函数图象中,也有很多这样的对称现
象,请你想一想哪些函数的图象是对称的,都有哪些
对称方式?
探究新知
一、奇、偶函数的定义
注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} ?
奇函数
偶函数
条件
一般地,设函数????(????)的定义域是????,如果对任意的????∈????,有?????∈????,且
????(?????)=?????(????)
????(?????)=????(????)
结论
函数????(????)为奇函数
函数????(????)为偶函数
图象特征
图象关于原点对称
图象关于????轴对称
定义域特征
奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称.
名师点析
1.判断函数的奇偶性要“二看”
(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:
①f(-x)=f(x)?f(x)是偶函数;
②f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函数;
③f(-x)≠±f(x)?f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
④f(-x)=±f(x)?f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,且D关于原点对称.
2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} ????(????)
????(????)
????(????)+????(????)
????(????)?????(????)
????(????)????(????)
????[????(????)]
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.(　　)
(2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.(　　)
(3)若f(-2)=f(2),则f(x)(x∈R)是偶函数.(　　)
(4)若f(x)(x∈R)是偶函数,则f(-2)=f(2).(　　)
(5)若f(2)≠f(-2),则f(x)(x∈R)不是偶函数.(　　)
(6)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).(　　)
即时巩固
×
×
×
√
√
√
思考 已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0∈D,f(0)是否为定值?
提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
二、函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.
名师点析
1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.
2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这就是单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.
若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是(　　)
A.增函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1
C.减函数且最大值是-1 D.减函数且最小值是-1
解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.
C
即时巩固
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=2????2+2????????+1;　(2)f(x)=x3-2x; (3)f(x)=1?????2+????2?1; (4)f(x)=????(1?????),????<0,????(1+????),????>0.
?
分析:利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑?????????????????与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.
?
典例剖析
判断函数的奇偶性
解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(3)由1?????2≥0,????2?1≥0,得x2=1,即x=±1.函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.
?
(4)函数的定义域关于原点对称.
(方法一)当x>0时,-x<0, f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数.
(方法二)函数f(x)=????(1?????),????<0,????(1+????),????>0的图象如图所示.
图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
?
反思感悟
1.根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数也是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.
2.判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法:
(2)图象法:
变式训练 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=3????????2+3; (2)f(x)=|x+2|+|x-2|; (3)f(x)=0.
?
解:(1)f(x)的定义域是R,
又f(-x)=3(?????)(?????)2+3=-3????????2+3=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R,
又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.
(3)因为f(x)的定义域为R,
又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
?
例2 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
典例剖析
利用函数的奇偶性求解析式
分析:(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.
解:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.
当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.
所以f(x)的解析式为f(x)=?2????2+3????+1,????>0,0,????=0,2????2+3?????1,????<0.
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反思感悟
1.这类问题常见的情形是:已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=f(-x)=φ(-x).
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
延伸探究 若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,
所以f(x)的解析式为f(x)=?2????2+3????+1,????≥0,?2????2?3????+1,????<0.
?
1.比较函数值的大小
例3 已知偶函数f(x)的定义域为R,当f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π) 解析:∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).
∵2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴f(2)典例剖析
函数奇偶性与单调性的综合应用
A
反思感悟 应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
延伸探究 (1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个函数值的大小.
解:(1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).
又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以函数在R上是增函数,
因为-3<-2<π,所以f(-3) 2.解函数不等式
例4 已知定义在区间[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,若f(1-m) 解:因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在[-2,2]上单调递减.
又f(1-m)????,即?1≤????≤3,?2≤????≤2,????<12.解得-1≤m<12.
故实数m的取值范围是-1≤m<12.
?
反思感悟 解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.
延伸探究 若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上单调递减,所以函数在[0,2]上单调递增,
不等式可化为f(|1-m|)故可得?2≤1?????≤2,?2≤????≤2,|1?????|<|????|,即?1≤????≤3,?2≤????≤2,????>12,解得12故实数m的取值范围为12,2.
?
例1 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则(　　)
A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数
B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数
C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数
D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性
典例剖析
利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题
解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.
令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.
设x10,所以f(x2-x1)<0,故f(x2) 所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B.
B
例 已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),
求证:函数f(x)为偶函数.
证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①
令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②
由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
反思感悟
1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.
2.有时需要在整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.
比如:上面典例1中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.
变式训练 定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意α,β∈R,总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2 019,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)-1是奇函数 B.f(x)+1是奇函数
C.f(x)-2 019是奇函数 D.f(x)+2 019是奇函数
解析:令α=β=0,则f(0)-[f(0)+f(0)]=2 019,即f(0)=-2 019.
令β=-α,则f(0)-[f(α)+f(-α)]=2 019,即f(α)+f(-α)=-4 038,
则f(-α)+2 019=-2 019-f(α)=-[2 019+f(α)],即f(x)+2 019是奇函数,故选D.
D
1.函数y=????2(????+4)????+4(　　)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
?
随堂小测
D
2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=(　　)
A.-1 B.-3 C.1 D.3
解析:当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,故f(1)=-f(-1)=-3,故选B.
B
解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),∵-2<-32<-1,又f(x)在(-∞,-1]上单调递增,∴f(-2)?
3.函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则(　　)
A.f?32C.f(2)?
解:当x<0时,-x>0,此时f(x)=f(-x)=2?????+1,所以f(x)=2????+1,????≥0,2?????+1,????<0,即f(x)=2|????|+1.
?
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=2????+1,试求f(x)的解析式.
?
D
5.判断函数f(x)=12????2+1,????>0,?12????2?1,????<0的奇偶性.
?
解:函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,-x<0,f(-x)=-12(-x)2-1=-12????2+1=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=12(-x)2+1=12x2+1=-?12????2?1=-f(x).
综上所述,在(-∞,0)∪(0,+∞)上总有f(-x)=-f(x).因此函数f(x)是奇函数.
?
6.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.
解:∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,∴f(3a-10)<-f(4-2a).
∵f(x)为奇函数,∴-f(4-2a)=f(2a-4).∴f(3a-10) 又f(x)在R上是减函数,∴3a-10>2a-4.∴a>6.故a的取值范围为(6,+∞).
课堂小结