2.3函数的单调性和最值-第1课时 课件（共24张PPT）

第二章
§3
函数的单调性和最值
第1课时　函数的单调性
1.理解函数单调性的概念.
2.会根据函数的图象判断函数的单调性.
3.能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
学习目标
情境导学
新知学习
我们知道,“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色,因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究,并给出了类似右图所示的记忆规律.
如果我们以x表示时间间隔(单位:h),y表示记忆保持量,则不难看出,图中y是x的函数,记这个函数为y=f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律?你能从中得到什么启发?
一、增函数、减函数的定义
探究新知
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} ?
增函数
减函数
条 件
设函数????=????(????)的定义域是????:如果对于任意的????1,????2∈????,当????1 ????(????1) ????(????1)>????(????2)
结 论
函数????=????(????)是增函数
称函数????=????(????)是减函数
条 件
特别地,当????是定义域????上的一个区间时
结 论
称函数????=????(????)在区间????上单调递增
称函数????=????(????)在区间????上单调递减
图象特征
自左向右图象逐渐上升
自左向右图象逐渐下降
图示





名师点析 x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈I;
(2)任意性,即不可用区间I上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1 即时巩固 若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1) A.为增函数 B.为减函数 C.先增后减 D.单调性不能确定
解析:由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的依据的,也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可.因此本题选D.
D
二、单调性、单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.
名师点析 自变量的大小与函数值的大小关系:
(1)若f(x)在区间I上单调递增,则x1x2?f(x1)>f(x2).
(2)若f(x)在区间I上单调递减,则x1f(x2),x1>x2?f(x1)即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化.
拓展 单调性的等价结论
任取x1,x2∈[a,b],x1≠x2,那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?????(????1)?????(????2)????1?????2>0?f(x)在[a,b]上单调递增;
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?????(????1)?????(????2)????1?????2<0?f(x)在[a,b]上单调递减.
?
根据下图写出在每一单调区间上,函数是单调递增还是单调递减.
解:函数在[-1,0]上是单调递减,在[0,2]上是单调递增,在[2,4]上是单调递减,在[4,5]上是单调递增.
即时巩固
思考 函数y=1x的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),能否说函数y=1x在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减?
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提示:不能.
不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符号“∪”连接.
如y=1????在区间(-∞,0)和(0,+∞)单调递减.
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1.利用图象判断函数的单调性
例1 根据函数图像直观判断下列函数的单调性:(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.
典例剖析
判断函数的单调性
分析:本题中所给出的两个函数解析式中均含有绝对值,可以采取去绝对值的方法,将函数转化为分段函数再画出函数的图象,也可以通过图象变换得到函数图象.通过图象观察判断函数的单调性.
解:(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的图象,保留其在x轴上及x轴上方部分,将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方,得到y=|x2+2x-3|的图象,如图所示.
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,
原函数在区间(-∞,-3]和[-1,1]上单调递减.
(2)y=?????2+2????+1,????≥0,?????2?2????+1,????<0,即y=?(?????1)2+2,????≥0,?(????+1)2+2,????<0,函数图象如图所示,
原函数在区间(-∞,-1]和[0,1]上单调递增,在区间[-1,0]和[1,+∞)上单调递减.
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反思感悟 图象法判断函数单调性的注意点
图象法判断函数的单调性主要用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断,或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象,从而进行单调性的判断.
变式训练 已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象判断函数的单调性.
解:f(x)=x|x-2|=????(?????2),????≥2,????(2?????),????<2,图象如右图所示.
由图象可知,
函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
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2.利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
例2 判断函数f(x)=2????2?3????的单调性.
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反思感悟 利用单调函数的运算性质判断函数单调性的思路
当函数解析式通过变换、转化之后,是由几个基本函数的解析式构成的,则可分析这几个基本函数的单调性,看是否符合单调函数运算性质的规律,若符合,可直接得出结论,否则,不能用这种方法判断函数的单调性.此外,研究函数的单调性时,一定要坚持“定义域优先”的原则.
解:因为f(x)=2????2?3????=2x-3????,且函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
又函数y=2x和y=-3????在区间(-∞,0)上均单调递增,所以f(x)=2x-3????在区间(-∞,0)上单调递增.
同理可得f(x)=2x-3????在区间(0,+∞)上也单调递增,
所以函数f(x)=2????2?3????在区间(-∞,0)和(0,+∞)上为单调递增.
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变式训练 判断函数f(x)=????3?4????+3????(x<0)的单调性.
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解:因为f(x)=????3?4????+3????=x2-4+3????(x<0),且函数y=x2-4及y=3????在(-∞,0)上都单调递减,
所以f(x)=????3?4????+3????(x<0)是单调递减.
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利用定义证明函数的单调性
典例剖析
例3 证明:函数f(x)=-2x2+3x+3在区间 -∞,34 上单调递增.
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证明:任取x1,x2∈?∞,34,且x1则f(x2)-f(x1)=(-2????22+3x2+3)-(-2????12+3x1+3)=2????12-2????22+3x2-3x1
=2(x1+x2)(x1-x2)-3(x1-x2)=[2(x1+x2)-3](x1-x2).
由x1,x2∈?∞,34且x1所以f(x2)>f(x1),故函数f(x)=-2x2+3x+3在区间?∞,34上单调递增.
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反思感悟
1.利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
2.作差变形的常用技巧:
(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后通常进行因式分解.
(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.
(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.
(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
变式训练 判断函数f(x)=????????+1????+2????≠12在(-2,+∞)上的单调性.并给出证明.
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解:任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1∵f(x)=????????+2????+1?2????????+2=a+1?2????????+2,
∴f(x2)-f(x1)=????+1?2????????2+2?????+1?2????????1+2=(1-2a)·(1????2+2?1????1+2)=(1-2a)·????1?????2(????2+2)(????1+2).
∵x1,x2∈(-2,+∞),∴1(????2+2)(????1+2)>0,又x1-x2<0,∴当1-2a>0,即a<12时,f(x2)当1-2a<0,即a>12时,f(x2)>f(x1).
故当a<12时,f(x)在区间(-2,+∞)上单调递减;当a>12时,f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增.
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函数单调性的应用
分析:要比较两个函数值的大小,需先比较自变量的大小.
典例剖析
例4 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与f34的大小.
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解:∵a2-a+1=?????122+34≥34,∴34与a2-a+1都是区间(0,+∞)上的值.
∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,∴f(a2-a+1)≤ f34 .
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反思感悟
1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性比较函数值大小时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间内.
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.
3.由分段函数单调性求参数范围时,一般从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面是考虑端点处的衔接情况,由此列出另一相关式子,求解即可.
例5 若函数f(x)=????2+1,????≥1,?????????1,????<1在R上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.?
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解析:因为函数f(x)在R上是单调递增,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,故a>0.设y=ax-1,x∈(-∞,1),
因为a>0,所以y 故只需a-1≤2,即a≤3即可.所以a的取值范围是(0,3].
(0,3]
变式训练 已知函数g(x)的定义域是[-2,2],且在[-2,2]上单调递增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
解:∵g(x)在区间[-2,2]上单调递增,且g(t)>g(1-3t),
∴?2≤????≤2,?2≤1?3????≤2,????>1?3????,即?2≤????≤2,?13≤????≤1,????>14.∴14
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复合函数单调性的判断
对于复合函数f(g(x)),设t=g(x)在区间[a,b]上是单调函数,且y=f(t)在区间[g(a),g(b)]或区间[g(b),g(a)]上也是单调函数,那么f(g(x))在区间[a,b]上的单调性如何呢?下面我们来探讨一下.
(1)若t=g(x)在区间[a,b]上单调递增,且y=f(t)也单调递增:
任取x1,x2∈[a,b],x1 又y=f(t)也单调递增,所以有f(g(x1)) (2)若t=g(x)在区间[a,b]上单调递增,y=f(t)单调递减:
任取x1,x2∈[a,b],x1 又y=f(t)单调递减,所以有f(g(x1))>f(g(x2)),则根据减函数的定义知f(g(x))在区间[a,b]上单调递减.
类似地,我们不难发现:
当t=g(x)在区间[a,b]上单调递减,且y=f(t)单调递增时,则f(g(x))在区间[a,b]上单调递减;
当t=g(x)在区间[a,b]上单调递减,且y=f(t) 单调递减时,则f(g(x))在区间[a,b]上单调递增.
典例剖析
根据上面的探讨,y=f(g(x))在区间[a,b]上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”.
若一个函数是由多个基本函数复合而成的,则此复合函数的单调性由基本函数中减函数的个数决定.
若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;
若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} ????=????(????)
????=????(????)
????=????(????(????))
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
例 已知函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减,则f(1-x2)的单调递减区间为　　　　　.?
解析:∵f(x)的定义域为[0,+∞),∴1-x2≥0,即x2≤1,解得-1≤x≤1.
令u=1-x2(u≥0),则f(1-x2)=f(u).
当x∈[0,1]时,u=1-x2单调递减,则f(1-x2)单调递增;
当x∈[-1,0]时,u=1-x2单调递增,则f(1-x2)单调递减.
故f(1-x2)的单调递减区间为 [-1,0].
反思感悟 对于复合函数y=f(g(x)),把函数y=f(g(x))通过中间变量t分解为两个函数:外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x),内层函数的值域是外层函数定义域的子集.要先确定复合函数的定义域.
[-1,0]
1.若函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则k的取值范围是(　　)
A.k>12 B.k<12 C.k>-12 D.k<-12
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2.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调递减区间为(　　)
A.[-4,-2] B.[1,4]
C.[-4,-2]和[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]
随堂小测
D
C
3.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-∞,5)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.?∞,?103 B.?103,+∞ C.?∞,103 D.103,+∞
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解析:因为函数f(x)=x2+3ax+5的单调递减区间为?∞,?3????2,所以(-∞,5)??∞,?3????2,所以a≤-103.　
?
A
4.已知函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,且f(x-2)解析:由题意,得?1≤?????2≤1,?1≤1?????≤1,解得1≤x≤2.①
因为f(x)在区间[-1,1]上单调递增,且f(x-2)由①②得1≤x<32. 所以满足题设条件的x的取值范围为1,32.
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5.求证:函数f(x)=1????2在区间(0,+∞)上单调递减.
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证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1∵00,x2+x1>0,????12????22>0.∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴函数f(x)=1????2在区间(0,+∞)上单调递减.
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????,????????
?
课堂小结