4.2 简单幂函数的图象和性质 课件（共20张PPT）

第二章
§4
函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2　简单幂函数的图象和性质
1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数????=????,????=1x,????=????2,????=x,????=????3的图象,理解它们的变化规律.
3.能利用幂函数的基本性质解决相关问题.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
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学习目标
情境导学
新知学习
同学们,请你写出:
(1)棱长为x的正方体体积y;
(2)面积为x的正方形的边长y.
显然(1)y=x3;(2)y=????,即y=????12.这两个函数都是幂函数.
幂函数在生活、建筑、军事等多个领域都有着重要的应用.那么幂函数如何定义?它的图象和性质是怎样的呢?
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探究新知
一、幂函数的定义
一般地,形如　　　　　(α为常数)的函数,即　　　　是自变量、　　　　是常数的函数称为幂函数.?
y=xα
底数
指数
名师点析
1.幂的指数是一个常数,它可以取任意实数;
2.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数y=5 就不是幂函数.
3.幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.
即时巩固 在函数①y=1????4,②y=3x2,③y=x2+2x中,幂函数的序号为　　　　　.（填序号）
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①
二、幂函数的图象和性质
1.常见的五种幂函数的图象
可以发现任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内无图象.
2.幂函数的性质
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 幂函数
????=????
????=????2
????=????3
????=????????????
????=?????????
定义域
R
R
R
(?∞,0)∪(0,+∞)
值域
R

R
(?∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性


奇函数
?

单调性
在R上是　 　　?
在[0,+∞)上　 　,
在(-∞,0]上　 　?
在R上是　 ?
在[0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上　　 　,
在(-∞,0)上　 　　?
公共点
(0,0),　　　?
(1,1)
[0,+∞)
[0,+∞)
[0,+∞)
奇函数
偶函数
既不是奇函数,也不是偶函数　
奇函数
增函数
单调递增
单调递减
增函数
单调递减
(1,1)
单调递减
名师点析 幂函数y=xα的上述性质可归纳如下:
(1)当α>0时,图象都通过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增.
(2)当α<0时,图象都通过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
即时巩固 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.(　　)
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).(　　)
×
×
即时巩固
(1)函数y=????32的图象是(　　)

?
(2)已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2, 2??),则函数f(x)为(　　)
A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减
C.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递增
D.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
?
C
C
C
例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
反思感悟 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
幂函数的概念
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
典例剖析
变式训练 如果幂函数????=????2?3????+3????????2??????2的图象不过原点,求实数m的取值.
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解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
例2 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c 分析:利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分析并判断a,b,c的大小关系.
解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0典例剖析
幂函数的图象
A
反思感悟 （1）本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.
（2）对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
①恒过点(1,1).
②当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
③由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=????12,y=x3)来判断.
④当α>0时,幂函数在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上都是减函数.
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变式训练 如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　)
A.n C.n>m>0 D.m>n>0
解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n A
例3 比较下列各组中两个数的大小:
(1)2512与1312;　　(2)?23?1与?35?1; (3)1234与3412.

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分析：(1)利用y=????12的单调性比较大小;(2)利用y=x-1的单调性比较大小;(3)利用中间量1212比较大小.
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典例剖析
利用幂函数的单调性比较大小
解:(1)∵幂函数y=????12在[0,+∞)上是增函数,又25>13,∴2512>1312.
(2)∵幂函数y=x-1在区间(-∞,0)上单调递减,又-23<-35,∴?23?1>?35?1.
(3)∵函数y1=12????在定义域内为减函数,且34>12,∴1212>1234.
又函数y2=????12在[0,+∞)上是增函数,且34>12,∴3412>1212.∴3412>1234.
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反思感悟
1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
变式训练 已知a=243,b=425,c=2513,则(　　)
A.b?
A
幂函数图象的应用
例4 已知点(2,2)在幂函数f(x)的图象上,点?2,14在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有:(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)?
典例剖析
分析:先利用幂函数的定义求出f(x),g(x)的解析式,再利用图象判断.
解:设f(x)=xa(a∈R).
∵点(2,2)在幂函数f(x)的图象上,∴2=(2)a,解得a=2.∴f(x)=x2.
设g(x)=xb(b∈R).
∵点?2,14在幂函数g(x)的图象上,∴14=(-2)b,解得b=-2.∴g(x)=x-2.
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1?
变式训练 已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求m的取值范围.
解:根据幂函数y=x1.3的图象,知当0 又根据幂函数y=x0.7的图象,知
当x>1时,y>1,∴1.30.7>1.
于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,
当x>0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m>0.
1.幂函数y=kxα过点(4,2),则k-α的值为(　　)
A.-1 B.12 C.1 D.32
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随堂小测
B
2.幂函数y=x2,y=x-1,y=????13,y=?????12在第一象限内的图象依次是下图中的曲线(　　)
A.C2,C1,C3,C4 B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3
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解析:幂函数图象在第一象限内直线x=1右侧的“高低”关系是“指大图高”,故幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,y=x-1在第一象限内的图象为C4,y=????13在第一象限内的图象为C2,y=?????12在第一象限内的图象为C3.
?
D
3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在区间(0,+∞)上是单调递减,且对定义域中的任意x,有f(-x)=f(x),则m等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,则3m-5<0,即m<53.
又m∈N,故m=0或m=1.
∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.
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解析:由题意,设f(x)=xα,由题意f(2)=2α=14,故α=log214=-2,故f(m)=m-2=16,所以m=14.
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4.已知幂函数的图象经过点A2,14,B(m,16),则m=　　　　　.?
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B
????????
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5.比较下列各组中两个值的大小:
(1)1.535与1.635; (2)0.61.3与0.71.3; (3)3.5?23与5.3?23; (4)0.18-0.3与0.15-0.3.
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解:(1)∵幂函数y=????35在区间(0,+∞)上单调递增,且1.5<1.6,∴1.535<1.635.
(2)∵幂函数y=x1.3在区间(0,+∞)上单调递增,且0.6<0.7,∴0.61.3<0.71.3.
(3)∵幂函数y=?????23在区间(0,+∞)上单调递减,且3.5<5.3,∴3.5?23>5.3?23.
(4)∵幂函数y=x-0.3在区间(0,+∞)上单调递减,且0.18>0.15,∴0.18-0.3<0.15-0.3.
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课堂小结