1.4.3诱导公式与对称 课件（共31张PPT）

北师大版（2019）高中数学必修第二册
第一章 三角函数
第4节 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.3诱导公式与对称
新课程标准解读
核心素养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式
数学抽象
2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角正弦函数、余弦函数的化简、求值问题
数学运算、逻辑推理
“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美．而三角函数与圆(单位圆)是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，圆有很好的对称性：既是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形．
观察下面三幅图，红色终边所表示角有什么对称关系吗？







问题　借助单位圆，这些对称的角之间的正/余弦值有什么关系？
角????与角?????的正弦函数、余弦函数
?
思考：
如图，角????与角?????的正弦函数、余弦函数有何关系？
?
提示：
角－α与角α的终边关于x轴对称
角????与角?????的正弦函数、余弦函数
?
设任意角????的终边与单位圆的交点为????（????,????），
则角-????的终边与单位圆交点????’坐标为(????,-????).
即
①?????????????????=?????????????????，
所以正弦函数????=????????????????是奇函数；
②?????????????????=????????????????，
所以余弦函数????=????????????????是偶函数.
?
角????与角????±????的正弦函数、余弦函数
?
提示：
角????±????与角????的终边关于原点对称
?
思考：
如图，角????与角????±????的正弦函数、余弦函数有何关系？
?
角????与角????±????的正弦函数、余弦函数
?
设任意角????的终边与单位圆的交点为????（????,????），
则角????±????的终边与单位圆交点????’坐标为(-????,-????).
即
????????????????+????=?????????????????,
????????????????+????=?????????????????,
?????????????????????=?????????????????;
?????????????????????=?????????????????.
?
角????与角?????????的正弦函数、余弦函数
?
提示：
角?????????与角α的终边关于y轴对称
?
思考：
如图，角????与角?????????的正弦函数、余弦函数有何关系？
?
角????与角?????????的正弦函数、余弦函数
?
设任意角????的终边与单位圆的交点为????（????,????），
则角?????????的终边与单位圆交点????’坐标为(-????,????).
即
?????????????????????=????????????????;
?????????????????????=?????????????????.
?
典例剖析
例1 画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系.
⑴5????4与????4； ⑵2????3与????3； ⑶11????6与????6； ⑷?31????6与????6.
?
解：
(1)如图，5????4与????4的终边与单位圆的交点关于原点对称；
(2)如图，2????3与????3的终边与单位圆的交点关于????轴对称；
?
典例剖析
例1 画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系.
⑴5????4与????4； ⑵2????3与????3； ⑶11????6与????6； ⑷?31????6与????6.
?
解：
(3)如图，11????6与????6的终边与单位圆的交点关于????轴对称；
(4)如图，?31????6与????6的终边与单位圆的交点关于????轴对称；
?
典例剖析
例2 求下列三角函数的值：
⑴sin?5????4； ⑵cos2????3； ⑶sin11????6； ⑷cos?31????6.
?
解：
(1)sin?5????4=?sin5????4=?sin????4+????=????????????????4=22;
(2)cos2????3=cos?????3+????=?cos?????3=?????????????????3=?12;
(3)sin11????6=sin2?????????6=sin?????6=?????????????????6=?12;
(4)cos?31????6=cos31????6=cos7????6+4????=????????????7????6
=????????????????6+????=?????????????????6=?32.
?
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角． (　　)
(2)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)． (　　)
(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的． (　　)
(4)cos(－α－β)＝cos(α＋β)． (　　)
√
×
×
√
D
题型一　给角求值问题
【例1】　求下列三角函数式的值：
(1)sin 495°·cos(－675°)；
解　sin 495°·cos(－675°)
＝sin(135°＋360°)·cos 675°
＝sin 135°·cos 315°
＝sin(180°－45°)·cos(360°－45°)
＝sin 45°·cos 45°
|通性通法|
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α转化；
(2)“大化小”——用终边相同的三角函数值相等化为0到2π之间的角；
(4)“求值”——得锐角三角函数后求值．　
求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；
题型二　给值(式)求值问题
【例2】　(1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________；
解析　∵sin(π＋α)＝－0.3，sin(π＋α)＝－sin α，
∴sin α＝0.3.∴sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3.
－0.3
|通性通法|
利用诱导公式化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)利用诱导公式化简三角函数式的一般原则是负化正、大化小、异角化同角等．　
课堂小结
终边
关系
角－α与角α的终边关于x轴对称
角α±π与角α的终边关于原点对称
角π－α与角α的终边关于y轴对称
图示



公式
sin(－α)＝
________；
cos(－α)＝
________
sin(π＋α)＝________；
cos(π＋α)＝________；
sin(α－π)＝________；
cos(α－π)＝________
sin(π－α)＝
________；
cos(π－α)＝
________
－sinα
cosα
－sinα
－cosα
－sinα
－cosα
sinα
－cosα
教材对应习题
三维设计对应习题
课后作业
谢谢观看
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