2.3函数的单调性和最值-第2课时 课件（共19张PPT）

第二章
§3
函数的单调性和最值
第2课时　函数的最值
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值(或值域).
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模
学习目标
情境导学
新知学习
某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(包含10元,14元)浮动时,每瓶饮料售价每增加0.5元,日均销售量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销售量为400瓶.那么当销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润最大?最大日均毛利润是多少元?同学们,你能帮助超市完成定价吗?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 名称
前提
条件
条件
函数的最大值????
设函数????=????(????)的定义域是????.
若存在实数M,对所有的????∈????
都有　　　　　?
且存在????0∈????,使得????(????0)=????
函数的最大值对应其图象
　　　　点的纵坐标?
函数的最小值????
函数的最小值对应其图象
　　　　点的纵坐标?
?都有　　　　　?
函数的最值
1.定义
f(x)≤M
f(x)≥M
最高
最低
探究新知
思考 若函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的增(或减)函数,这个函数有最值吗?如果是区间(a,b)呢?
提示:若y=f(x)是定义在区间[a,b]上是增函数,则其最小值为f(a),最大值为f(b);若为减函数,最大值为f(a),最小值为f(b).若为区间(a,b),则没有最值,但可以说值域为(f(a),f(b))(或f(b),f(a)).
2.函数的最大值和最小值统称为最值.
名师点析 函数的最值和值域的联系与区别
1.联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.
2.区别:
(1)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;
(2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素;
(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值.
即时巩固 已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是(　　)
A.f(-2),0　　　B.0,2 C.f(-2),2 D.f(2),2
解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.
C
例1 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.
解:y=-|x-1|+2=3?????,????≥1,????+1,????<1,函数图象如图所示.
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.
所以其值域为 (-∞,2].
?
分析：去绝对值→分段函数→作图→识图→结论
利用函数的图象求最值
典例剖析
变式训练 已知函数f(x)=1????,0 (1)画出f(x)的图象;
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
?
解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
利用函数的单调性求最值
例2 已知函数f(x)=x+4????.
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.
?
分析：(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;
(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.
典例剖析
解:(1)任取x1,x2∈[1,2],且x1 ∵x1 当1≤x10,1f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.
?
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+42=4;f(x)的最大值为f(1),f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.
?
反思感悟 函数的最值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.
(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
延伸探究 本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.
解:任取x1,x2∈[1,3],且x1 当1≤x1f(x2), f(x)在区间[1,2]上单调递减;
当20,40,∴f(x1) ∴f(x)的最小值为f(2)=2+42=4.
∵f(3)=3+43=133?
例3 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
典例剖析
与最值有关的应用问题
解:(1)当每辆车的月租金为3 600元时,未租出的车辆数为3?600?3?00050=12,所以此时租出了88辆.
(2)设每辆车的月租金为x元,租赁公司的月收益为y=100??????3?00050(x-150)-?????3?00050×50,整理得y=-????250+162x-21 000=-150(x-4 050)2+307 050.
所以当x=4 050,即每辆车的租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307 050元.
?
反思感悟
1.本题建立的是二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.
2.解函数应用题的一般程序是:
(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.
(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.
(4)还原.将用数学方法得到的还原为实际问题的结论.
(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
变式训练 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)=400?????12????2,0≤????≤400,80?000,????>400.?????????????????其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)
?
解:(1)设月产量为x台,则总成本为20 000+100x,从而f(x)=?12????2+300?????20?000,0≤????≤400,60?000?100????,????>400.?????????????????????????
(2)当0≤x≤400时,f(x)=-12(x-300)2+25 000,
∴当x=300时,f(x)max=25 000.
当x>400时,f(x)=60 000-100x单调递减,
f(x)<60 000-100×400<25 000.
∴当x=300时,f(x)max=25 000.即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元.
?
解:y=(x-a)2-1-a2.
当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.
故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.
当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,
函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.
典例剖析
利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值
例 求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
【审题视角】可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的相对位置关系→结合单调性与图象求解
当1 函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1.
当a>2时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④.
函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.
综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1 当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 对称轴????=?与[????,????]的位置关系
????(????)的单调性
最大值
最小值
? 在[????,????]上单调递增
????(????)
????(????)
?>????
在[????,????]上单调递减
????(????)
????(????)
????≤?≤????
????≤? 在[????,?]上单调递减,
在(?,????]上单调递增
????(????)
????(?)
?=????+????2
????(????)或????(????)
????(?)
????+????2 ????(????)
????(?)
方法点睛
1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:
(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:
变式训练 函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:
当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.
当????<1,????+1>1,即0当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上单调递增.∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.
综上可知,g(t)=????2+1,????≤0,1,0?
1.函数y=2????在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是(　　)
A.1,12 B.2,1 C.12,14 D.2,12　
?
随堂小测
2.函数y=|x+1|+2的最小值是(　　)
A.0 B.-1 C.2 D.3
3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为(　　)
A.[0,3] B.[-1,0] C.[-1,+∞) D.[-1,3]
解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1;当x=3时,函数取得最大值为3.
故函数的值域为[-1,3],
A
C
D
5.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.
解:设一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为12?4????4=(3-x)cm,两个正方形的面积之和为S cm2,
则S=x2+(3-x)2=2?????322+92(0所以当x=32时,S取得最小值92.
故这两个正方形面积之和的最小值为92 cm2.
?
4.若函数f(x)=2????+6,????∈[1,2],7?????,????∈[?4,1],则f(x)的最大值为　　　　　.?
?
11
解析:当x∈[1,2]时,f(x)为增函数,其最大值为f(2)=10;当x∈[-4,1]时,f(x)为减函数,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.
课堂小结