5.3.2.1函数的极值 课件（共16张PPT）

5.3.2.1函数的极值
李若男
1、导数的几何意义是什么？
切线的斜率
2、如何利用导数研究函数的单调性？
（1）在某个区间（a，b）内，若f′（x）>0，则f（x）在（a，b）上是增函数。
（2）在某个区间（a，b）内，若f′（x）＜0，则f（x）在（a，b）上是减函数。
复习巩固
情境导入
这是江西庐山群山叠嶂的景象。苏轼在《题西林壁》中这样写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的就是庐山的高低起伏，错落有致。在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不是群山的最高处，但它却是其附近的最高点。
那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？
情境导入
思考1：从单调性的变化来看，图中哪些 点比较特殊？
思考2：这些点处的函数值有什么共同特征？
局部最值——极值
思考3：这些点处的导数值是多少？
思考4：这些点附近，导数的正负性有什 么规律？（以h,i两点附近的导数为例）
探究与发现
概念生成
如图，函数 ????=???????? 在点 ????=???? 的函数值 ???????? 比它在点 ????=???? 附近其他点的函数值都小， ????′????=???? ；而且在点 ????=???? 附近的左侧 ????′???????? ，则把点 ????=???? 叫作函数 ????=???????? 的极小值点， ???????? 叫作函数 ????=???????? 的极小值.
函数 ????=???????? 在点 ????=???? 的函数值 ???????? 比它在点 ????=???? 附近其他点的函数值都大， ????′????=???? ；而且在点 ????=???? 附近的左侧 ????′????>???? ，右侧 ????′?????
概念生成

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。
注：1、极值点不是点，而是该极值的横坐标的数值。
2、极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的 特征。
局部
概念巩固
问题1：极大值点是 。
极大值是 。
极小值点是 。
极小值是 。
问题2：极大值一定大于极小值吗？
不一定。极大值和极小值没有必然的联系（局部性质）。
问题3：函数的极值唯一吗？
不唯一。可能有多个，可能不存在。
e、g、i
f(e)、f(g)、f(i)
d、f、h
f(d)、f(f)、f(h)
概念应用
例1、判断下列函数是否有极值，如果有，说出是极大值还是极小值。
1、????????=2
2、????????=x
3、????????=-x2+3x-5
4、????????=sinx
?
无极值
无极值
有极大值
有极大值和极小值
例题讲解
例2、求函数????????=????????x3-x+4的极值。
?
概念理解
a
b
左减右增极小值
左增右减极大值
左负右正极小值
左正右负极大值
????′????=????
?
????′????=????
?
例题讲解
例2、求函数????????=????????x3-x+4的极值。
?
概念巩固
练习：求函数 y=3x3-x+1的极值。
[解析] y′=9x2?1 ，令 y′=0 ，解得 x1=13 ， x2=?13 .
当 x 变化时， y′ 和 y 的变化情况如表所示：
?
x
?∞,?13
?13
?13,13
13
13,+∞
y′
+
0
－
0
+
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，当 x=?13 时， y 有极大值，极大值为 119 ；
当 x=13 时， y 有极小值，极小值为 79 .
?
方法总结
1、图像法判断函数的极值
2、概念法判断函数的极值：
（1）确定函数的定义域，求导数 ????′???? ；
（2）求方程 ????′????=???? 的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．检测 ????′???? 在方程根左、右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 ???????? 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 ???????? 在这个根处取得极小值；如果左、右不改变符号，那么 ???????? 在这个根处无极值．
?
课后作业
1、思考：p：可导函数y=f(x)在a点处取得极值 q:????′????=0
p是q的什么条件？
2、课时作业（十九）1,2,3,6,9
?
谢谢观看！