(共17张PPT)
22.1 一元二次方程
第22章 一元二次方程
A
D
(易错变式)(3分)(河南月考改编)方程(m－2)x|m|－3x－7＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－2 C．m＝±2 D．m≠±2
3．(3分)一元二次方程x2＋5x－81＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．1，5，81 B．x2，5x，－81
C．1，5，0 D．1，5，－81
B
D
4．(9分)(教材P19练习变式)将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)x(2x－1)＝1;
解：原方程化为一般式为2x2－x－1＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为－1，常数项为－1
(2)5x(x＋2)＝3(x＋1)；
解：原方程化为一般式为5x2＋7x－3＝0，
∴二次项系数为5，一次项系数为7，常数项为－3
(3)(x＋1)(x－1)＝2x－4.
解：原方程化为一般式为x2－2x＋3＝0，
∴二次项系数为1，一次项系数为－2，常数项为3
一元二次方程的根
5．(3分)(深圳中考)已知方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为____．
6．(3分)(洛阳实验中学月考)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2 021－a－b的值是( )
A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 023
(变式)(3分)(封丘县期中)已知m是一元二次方程x2－x－3＝0的解，则代数式－2m2＋2m的值为_________．
2
C
－6
根据实际问题列一元二次方程
7．(3分)(湘潭中考改)为执行国家药品降价政策，给老百姓带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得____________________．
100(1－x)2＝64
8．(7分)根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；
(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两支队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队支数x.
一、选择题(每小题6分，共12分)
9．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后的一次项系数为－2，则m的值为( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
D
10．(河南省实验中学月考)如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为( )
A．32×20－32x－20x＝540
B．(32－x)(20－x)＋x2＝540
C．32x＋20x＝540
D．(32－x)(20－x)＝540
D
二、填空题(每小题6分，共12分)
11．(教材P20习题T2变式)已知关于x的一元二次方程mx2－3x＝x2－m2＋1有一个根是0，则m＝_______，方程的另一个根为x＝_______.
12．一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿、竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，沿门对角斜着拿竿，正好进屋，你知道竹竿长有多少？若设竹竿长为x尺，根据勾股定理可列方程为______________________________，它的一般形式为______________________．
－1
(x－4)2＋(x－2)2＝x2
x2－12x＋20＝0
14．(8分)已知关于x的方程(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1＝0，求：
(1)当m为何值时，原方程为一元二次方程？
(2)当m为何值时，原方程为一元一次方程？
解：(1)当m2－1≠0时，(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1＝0是一元二次方程，解得m≠±1
(2)当m2－1＝0，且m＋1≠0时，(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1＝0是一元一次方程，解得m＝±1，且m≠－1，∴m＝1
15．(10分)某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图①、图②和图③所示(阴影部分为草坪).
设道路的宽为x m，在每种方案中都只列出方程不解．
(1)甲方案设计(图①)草坪的总面积为600平方米：________________________；
(2)乙方案设计(图②)草坪的总面积为600平方米：________________________；
(3)丙方案设计(图③)草坪的总面积为540平方米：_________________________．
(35－2x)(20－2x)＝600
(35－x)(20－x)＝600
(35－2x)(20－x)＝540(共15张PPT)
22.2 一元二次方程的解法
第22章 一元二次方程
22.2.1 直接开平方法和因式分解法
第1课时 直接开平方法
用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程
1．(3分)关于x的方程x2＝p：
(1)当p＞0时，方程有_______________的实数根；
(2)当p＝0时，方程有_______________的实数根；
(3)当p＜0时，方程__________________．
(变式)(2分)若关于x的方程x2＝a－5有解，则a的取值范围是( )
A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≠5
两个不相等
两个相等
无实数根
C
2．(3分)用直接开平方法解方程：x2－16＝0；
解：移项，原方程化为___________．
直接开平方，得__________，
即x1＝______，x2＝____．
(变式)(2分)方程3x2－27＝0的解是________________．
x2＝16
x＝±4
－4
4
x1＝－3，x2＝3
3．(8分)用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－25＝0;
(2)4x2＝1；
(3)0.8x2－4＝0;
(4)4－6x2＝－20.
解：x1＝5，x2＝－5
解：x1＝2，x2＝－2
用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程
4．(2分)一元二次方程(x＋6)2＝36可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝6，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝6 B．x－6＝－6
C．x＋6＝6 D．x＋6＝－6
5．(4分)解方程(x－1)2＝25：
解：直接开平方，得_____________，
即x1＝______，x2＝____．
(变式)(2分)方程3(2x－1)2－48＝0的解是______________________．
D
x－1＝±5
－4
6
3
解：x1＝1，x2＝－3
解：x1＝－1，x2＝5
B
D
二、填空题(每小题6分，共12分)
11．(兰考县期中)关于y的方程2y2＋3py－2p＝0有一个根是y＝2，则关于x的方程x2－3＝p的解为___________________．
12．在实数范围内定义运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋2)*5＝0的解为_____________________．
x1＝1，x2＝－1
x1＝3，x2＝－7
13．(12分)解下列方程：
(1)3x2－1＝26；
解：x1＝3，x2＝－3
(2)6(x－1)2－54＝0；
解：x1＝4，x2＝－2
(3)(3x－1)2＝(3－2x)2.
14．(12分)(鼓楼区校级月考)已知关于x的方程(x－1)2＝4m－1有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．
【素养提升】
15．(12分)已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求三角形ABC的周长．
解：∵(x－3)2＝1，∴x－3＝±1，解得x1＝4，x2＝2，∵一元二次方程(x－3)2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，三角形ABC的周长为2＋4＋4＝10(共18张PPT)
22.2 一元二次方程的解法
第22章 一元二次方程
22.2.1 直接开平方法和因式分解法
第2课时 因式分解法
D
x1＝－1，x2＝4
x(6x－1)＝0
6x－1＝0或x＝0
0
C
5．(4分)利用因式分解法解方程：
(x－3)2＋2(x－3)＝0，
把方程左边因式分解后，
得________________________，
由此得______________或_____________，
解得x1＝____，x2＝____．
(变式)(3分)(兰州中考)一元二次方程x(x－2)＝x－2的解是( )
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
(x－3)(x－3＋2)＝0
x－3＝0
x－1＝0
3
1
D
6．(4分)用因式分解法解下列方程：
(1)2(x－3)＝3x(x－3)；
(2)(x＋2)2＝2x＋4.
解：x1＝0，x2＝－2
7．(6分)(洛阳期末)小明与小亮两位同学解方程3(2x－5)＝(2x－5)2的过程如下框：
任务一：你认为他们的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”；若错误请在横线上打“×”：
小明____，小亮____；
×
×
任务二：写出你的解答过程．
用平方差公式、完全平方公式解一元二次方程
8．(4分)用因式分解法解方程：(x－3)2－25＝0.
因式分解，得______________________________．
整理，得________________________．
解得x1＝____，x2＝____．
9．(3分)由方程x2－4x＋4＝0可得(________)2＝0，则_______＝0，解得x1＝x2＝____．
[(x－3)＋5][(x－3)－5]＝0
(x＋2)(x－8)＝0
－2
8
x－2
x－2
2
10．(4分)解下列一元二次方程：
(1)(2x＋3)2－49＝0；
(2)x2－6x＝－9.
解：x1＝－5，x2＝2
解：x1＝x2＝3
一、选择题(每小题9分，共18分)
11．如果二次三项式x2＋px＋q能分解成(x＋3)(x－1)的形式，则方程x2＋px＋q＝0的两个根为( )
A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝－3，x2＝－1
C．x1＝3，x2＝－1 D．x1＝3，x2＝1
12．(新安期末)若实数x，y满足(x＋y＋2)(x＋y－1)＝0，则x＋y的值为( )
A．1 B．－2
C．2或－1 D．－2或1
A
D
0或4
0，±1
三、解答题(共24分)
15．(24分)用因式分解法解下列方程：
(1)3x(x－2)＝9(x－2)；
解：x1＝2，x2＝3
(2)2(x－3)2＝x2－9；
解：x1＝3，x2＝9
(3)(2x－1)2－x2－4x－4＝0.
【素养提升】
15．(12分)已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求三角形ABC的周长．
解：∵(x－3)2＝1，∴x－3＝±1，解得x1＝4，x2＝2，∵一元二次方程(x－3)2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，三角形ABC的周长为2＋4＋4＝10
微清小贴士
阅读与思考：整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，反过来为x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，恰好是因式分解．
(1)基于上述原理，将式子x2－x－6分解因式．如下：
x2－x－6
一次项－x＝x·(－3)＋x·2
①分解二次项和常数项；
②交叉相乘验(中)一次项：x×2＋x×(－3)＝－x；
③横向写出两因式：x2－x－6＝(x＋2)(x－3).
像这样系数交叉相乘分解因式的方法叫做“十字相乘法”．
(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.
试用上述的方法和原理解下列方程．
①x2＋4x＋3＝0；
解：①(x＋3)(x＋1)＝0，∴x＋3＝0或x＋1＝0，∴x＝－3或x＝－1
②3x2－10x－8＝0.(共15张PPT)
22.2 一元二次方程的解法
第22章 一元二次方程
22.2.2 配方法
配方
1．(4分)(教材P27练习T1变式)用适当的数(式)填空：
(1)x2＋8x＋(____)＝(x＋____)2；
(2)x2＋(____)＋25＝(x＋5)2；
(3)x2－6x＋(____)＝(x－____)2；
(4)x2－px＋(____)＝(x－____)2.
2．(2分)用配方法解方程x2－6x＝1时，方程两边应同时加上____，就能使方程左边配成一个完全平方式．
3．(2分)(赤峰中考改)已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48
C．32 D．16
16
4
10x
9
3
9
A
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
4．(8分)解方程x2－4x－2＝0.
将常数项移到右边，得________________．
两边同时加上____，得___________________．
即___________＝_____．
直接开平方，得_______________．
所以x1＝___________，x2＝____________．
x2－4x＝2
4
x2－4x＋4＝6
(x－2)2
6
5．(3分)(镇平期中)用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0，配方后得到的方程为( )
A．(x－1)2＝m－1
B．(x－1)2＝m＋1
C．(x－1)2＝1－m
D．(x－1)2＝m2－1
6．(3分)(泰安中考)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( )
A．－4，21 B．－4，11 C．4，21 D．－8，69
B
A
7．(6分)用配方法解下列方程：
(1)x2＋4x＝－1;
(2)x2－6x＋5＝0.
x1＝5，x2＝1
D
D
D
B
二、填空题(每小题6分，共12分)
13．已知方程x2＋4x＋n＝0可以配方成(x＋m)2＝3，则(m－n)2 021＝____．
14．规定：a b＝(a＋b)b，如：2 3＝(2＋3)×3＝15，若2 x＝3，则x＝
_____________．
1
1或－3
三、解答题(共36分)
15．(12分)用配方法解下列方程：
(1)x2＋1＝3x；
(2)2x2＋7x－4＝0；
(3)3(x－1)(x＋2)＝x－7.
16．(10分)已知关于x的方程3x2－6x＋3p＝0，其中p是常数．请用配方法解这个一元二次方程．
【素养提升】
17．(14分)(原创)先阅读下面的内容，再解决问题：对于形如x2＋2ax＋a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x＋a)2的形式，但对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使它与x2＋2ax成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2＋2ax－3a2＝(x2＋2ax＋a2)－a2－3a2
＝(x＋a)2－4a2＝(x＋a)2－(2a)2
＝(x＋3a)(x－a)
像这样，先加后减使整个式子的值不变的方法是解一元二次方程的常用方法．解决下列问题：
(1)分解因式：a2－8a＋15＝_____________________；
(2)方程(x＋1)2－8(x＋1)＋15＝0的解为________________________；
(3)根据题干的方法，求当x为何值时，多项式－2x2－4x＋3有最大值？并求出这个最大值；
(4)若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2＋b2－14a－8b＋65＝0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值．
解：(3)－2x2－4x＋3＝－2(x2＋2x＋1－1)＋3＝－2(x＋1)2＋5，∴当x＝－1时，多项式有最大值，最大值是5
(4)∵a2＋b2－14a－8b＋65＝0，∴(a2－14a＋49)＋(b2－8b＋16)＝0，即(a－7)2＋(b－4)2＝0，∴a－7＝0，b－4＝0，解得a＝7，b＝4.∵△ABC的三边长是a，b，c，∴3＜c＜11.又∵c边的长为奇数，∴c＝5，7，9，当a＝7，b＝4，c＝5时，△ABC的周长最小，最小值为7＋4＋5＝16
(a－3)(a－5)
x1＝2，x2＝4(共16张PPT)
22.2 一元二次方程的解法
第22章 一元二次方程
22.2.3 公式法
求根公式的推导与限制条件
1．(7分)【自主探究】解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
解：移项，得_____________________．
二次项系数化为1，得_____________________，
配方，得___________________________，
即_________________．
当b2－4ac≥0时，x＝________________，
即x1＝__________________，x2＝____________________．
ax2＋bx＝－c
≥
C
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
4．(4分)把方程(x＋3)(x－1)＝x(1－x)整理成ax2＋bx＋c＝0的形式为______________，b2－4ac的值是____．
2x2＋x－3＝0
25
用公式法解一元二次方程
5．(4分)用公式法解方程2x2＝2－3x，步骤如下：
解：方程化为一般形式为_________________________，a＝____，b＝____，c＝_______，
b2－4ac＝____，方程有实数根，
所以x＝＝_____________，
即x1＝__________，x2＝________．
2x2＋3x－2＝0
2
3
－2
25
－2
C
C
解：x1＝－2，x2＝1
C
B
二、填空题(每小题6分，共12分)
11．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是_______．
12．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，－x}＝x2－x－1的解为______________．
－3
三、解答题(共36分)
13．(12分)用适当的方法解方程：
(1)x2－4x＋2＝0;
(2)6x2－13x＝5；
(3)y(y－3)＝2＋y(1－3y)；
(4)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).
14．(10分)当m取何值时，方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是一元二次方程，并求出此方程的解．
换元
化归(共14张PPT)
22.2 一元二次方程的解法
第22章 一元二次方程
22.2.4 一元二次方程根的判别式
不解方程判断一元二次方程根的情况
1．(4分)一元二次方程2x2－3x＝1化为一般形式为___________________，其二次项系数a＝____，一次项系数b＝_______，常数项c＝____，该一元二次方程的根的判别式Δ＝b2－4ac＝____．
2x2－3x－1＝0
2
－3
－1
17
D
B
4．(9分)(教材P33练习T1变式)不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：
(1)9x2＋6x＋1＝0；
解：∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－4×9×1＝0.∴此方程有两个相等的实数根
(2)16x2＋8x＝－3；
解：化为一般形式为16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128＜0.∴此方程没有实数根
(3)3(x2－1)－5x＝0.
解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根
C
D
7．(4分)关于x的一元二次方程x2＋2x－(m－2)＝0的根的判别式Δ＝_________，若方程有两个不相等的实数根，则m____； 若方程有两个相等的实数根，则m______； 若方程没有实数根，则m____．
8．(3分)(南阳一模)关于x的一元二次方程(a－1)x2＋3x－2＝0有实数根，则a的取值范围是___________________．
9．(8分)关于x的一元二次方程2x2＋(m－2)x＋2＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝m2－4m－12＝0，解得m1＝6，m2＝－2，当m＝6时，x1＝x2＝－1；当m＝－2时，x3＝x4＝1
4m－4
＞1
＝1
＜1
a≥－且a≠1
一、选择题(每小题6分，共12分)
10．若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A
11．(卧龙区月考)关于x的一元二次方程ax2＝4x－b有两个实数根，其中a，b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，则菱形ABCD面积的最大值为( )
A．4 B．6 C．2 D．5.5
C
1个或2个
、解答题(共36分)
14．(10分)(南召县期末)已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋1＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根．
15．(12分)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
解：(1)证明：∵Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，∴方程总有两个实数根
(2)∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，∴x1＝2，x2＝k＋1.∵方程有一根小于1，∴k＋1＜1，解得k＜0，∴k的取值范围为k＜0
【素养提升】
16．(14分)等腰三角形的三边长分别为a，b，c，若a＝6，b与c是方程x2－(3m＋1)x＋2m2＋2m＝0的两根，求此三角形的周长．
解：①若a＝6是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6.将x＝6代入原方程，得62－(3m＋1)×6＋2m2＋2m＝0，解得m1＝3，m2＝5.当m＝3时，原方程可化为x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6，∴此时三角形三边长分别为4，6，6，∴三角形的周长为4＋6＋6＝16；当m＝5时，原方程可化为x2－16x＋60＝0，解得x1＝6，x2＝10，此时三角形三边长分别为6，6，10，∴三角形的周长为6＋6＋10＝22.②若a＝6是三角形的底边，则b，c为腰且b＝c，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝[－(3m＋1)]2－4×1×(2m2＋2m)＝0，解得m1＝m2＝1，∴原方程可化为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，∵2＋2＝4<6，∴不能构成三角形，舍去．综上所述，此三角形的周长为16或22(共15张PPT)
22.2 一元二次方程的解法
第22章 一元二次方程
22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
直接利用根与系数的关系求两根之和与两根之积
1．(2分)(盐城中考)设x1、x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1＋x2的值为( )
A．－2 B．－3 C．2 D．3
2．(2分)(宜宾中考)一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为( )
A．－2 B．1 C．2 D．0
3．(2分)若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝_______．
C
D
－3
4．(6分)不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积.
(1)x2＋2x＋1＝0;
(2)5x－5＝6x2－4.
解：(1)x1＋x2＝－2，x1·x2＝1
间接利用根与系数的关系求一元二次方程中字母及代数式的值
6．(2分)如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )
A．－3，2 B．3，－2 C．2，－3 D．2，3
7．(2分)(新乡月考)已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝4，那么b的值为( )
A．5 B．－5 C．4 D．－4
A
A
8．(2分)(易错)若关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为 ( )
A．2 B．0 C．1 D．2或0
9．(2分)(教材P35练习T3变式)若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0有一个根为0，则另一个根为_________.
B
一、选择题(每小题6分，共12分)
11．(郑州外国语学校月考)若m，n是一元二次方程x2＋3x－9＝0的两个实数根，则m2＋4m＋n的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．12
12．(易错)若关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为( )
A．－1 B．－4
C．－4或1 D．－1或4
C
A
二、填空题(每小题6分，共12分)
13．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝____．
14．在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5.请你写出正确的一元二次方程__________________．
－1
x2－6x＋6＝0
三、解答题(共36分)
15．(12分)(龙亭区月考)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋(m－4)x－3＝0(m为实数，m≠1).
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若方程一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
解：(1)证明：∵m≠1，Δ＝(m－4)2－4(m－1)×(－3)＝m2＋4m＋4＝(m＋2)2≥0，∴此方程总有两个实数根
(2)把x＝1代入方程得m－1＋m－4－3＝0，解得m＝4，则方程化为x2－1＝0，设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得1＋t＝0，解得t＝－1，∴m的值为4，方程的另一个根为－1(共14张PPT)
22.3 实践与探索
第22章 一元二次方程
第1课时 图形面积问题
规则图形的面积问题
1．(4分)某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，则长为________米，根据题意，可列方程为_________________．
2．(4分)(天水中考)从一块正方形的木板上锯掉2 dm宽的矩形木条，剩下的面积是48 dm2，则原来这块木板的面积是( )
A．64 dm2 B．100 dm2 C．121 dm2 D．144 dm2
(变式)(4分)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是____m.
x＋10
x(x＋10)＝900
A
12
3．(10分)(周口月考)2021年河南郑州特大暴雨，牵动了十几亿人民的心．如图，郑州市某校在暴雨过后准备重新在教学楼后面搭建一个大型矩形车棚ABCD，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为72米)，另外三边利用学校准备的总长为140米的铁栏围成，当围成的矩形车棚的面积为2 400平方米时，求矩形车棚BC的长．
边框与甬道问题
4．(4分)(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )
A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0
C
5．(4分)(新野期中改编)如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形垃圾周转区，它们面积之和为60平方米，两块周转区之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为( )
A.1米 B．2米 C．8米 D．8米或1米
A
6．(10分)(襄阳中考)为响应市委市政府提出的建设“绿色家园”的号召，某单位准备将院内一块长30米，宽20米的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532平方米，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
解：设小道进出口宽度为x米，依题意，得(30－2x)(20－x)＝532，整理，得x2－35x＋34＝0.解得x1＝1，x2＝34(不合题意，舍去)，则小道进出口宽度应为1米
一、选择题(每小题8分，共16分)
7．如图，把长40 cm，宽30 cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm(纸板的厚度忽略不计)，若折成长方体盒子的表面积是950 cm2，则x的值是( )
A．3 cm B．4 cm C．4.8 cm D．5 cm
D
8．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
B
10．(14分)(郑州金水区月考)如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？
解：设AB＝x米，则BC＝(22－3x＋2)米，
依题意，得x(22－3x＋2)＝45，整理，得x2－8x＋15＝0，解得x1＝3，x2＝5.当x＝3时，22－3x＋2＝15>14，不合题意，舍去；当x＝5时，22－3x＋2＝9，符合题意．
答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米
【素养提升】
11．(16分)已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒．
(1)求几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2
(2)求几秒后，PQ的长度等于5 cm
(3)运动过程中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．(共14张PPT)
22.3 实践与探索
第22章 一元二次方程
第2课时 平均变化率与销售问题
平均变化率问题
1．(6分)为解决老百姓看病贵的难题，国家医保局会对相关进入医保名录的药品与各大药企进行“灵魂砍价”．一种针剂药品原市场价70万/针，连续两次砍价，平均每次砍价的百分率是x，第一次砍价后每针的价格为___________万元，第二次砍价后每针的价格为____________万元，若经过两次砍价后这种药品的价格是3.3万/针，则可列方程为__________________．
2．(4分)(社会热点)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底全市5G用户数达到9.68万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为( )
A．120% B．130% C．140% D．150%
70(1－x)
70(1－x)2
70(1－x)2＝3.3
A
3．(10分)某网店于今年二月份销售某优质农产品192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
(2)若增长率保持不变，预计该网店五月能销售多少袋？
销售问题(每……每……)
4．(6分)某商户购进某种电子产品的进价是50元/件，根据市场调研发现当售价为80元/件时，每周可卖出160件．若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20件；若商户计划下周利润达到5 200元，则此电子产品的售价为每件多少元？
分析问题：设每件降低x元，则降低后的销售单价为________元/件，每件利润为__________元，每周能多卖出_______件，每周一共能卖出_______________件，根据题意列式为________________________________．
80－x
30－x
5．(4分)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植_________株．
2或3
6．(10分)某超市于年初以25元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月份销售了256件．二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了400件．
(1)求二、三月份销售量的月平均增长率．
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，销售量增加5件．当每件商品降价多少元时，商场获利4 250元？
解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x，则256(1＋x)2＝400，
解得x1＝25%，x2＝－2.25(不合题意，舍去)，
答：二、三月份销售量的月平均增长率是25%
(2)设降价y元，(40－y－25)(400＋5y)＝4 250，整理，得y2＋65y－350＝0，解得y1＝5，y2＝－70(不合题意，舍去)，
答：当商品降价5元时，商场当月获利4 250元
一、选择题(每小题6分，共12分)
7．(原创题)中央电视台播放的一则国家医药专家与药企就相关药品进入医保名目的价格进行谈判的视频火了．某制药厂生产的某种针剂，每支市场定价为25元，由于专家连续两次“杀价”，现在的拟定价是每支16元，则平均每次“杀价”的百分率是( )
A．10% B．20% C．7% D．8%
8．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．要使每天所得的销售利润为2 000元，则销售单价为( )
A．30元 B．40元
C．30元或40元 D．10元或20元
B
C
二、填空题(每小题6分，共12分)
9．(郑州期中改编)商场中换季衣服都要打折处理，今年10月某商店将某种春秋装以原价的8.1折出售，到了11月，再次降价，现将这种春秋装仅以原价的6.4折出售，经过两次降价，则平均折扣率是_________．
10．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价____元．
20%
5
三、解答题(共36分)
11．(16分)(教材P22习题T7变式)(社会热点)某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，开始采用“场内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【素养提升】
12．(20分)李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件(20≤x≤40).
(1)请用含x的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；
(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．
①求该商品的售价；
②李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．
解：(1)∵该商品的售价为x元/件(20≤x≤40)，且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60＋3(40－x)＝(180－3x)件
(2)①依题意，得(x－20)(180－3x)＝900，整理，得x2－80x＋1 500＝0，
解得x1＝30，x2＝50(不合题意，舍去).答：该商品的售价为30元/件
②0.5×(180－3×30)＝45(元).答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元
